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文档简介
1 定义1 内积 一 内积的定义及性质 Innerproduct 2 内积的运算性质 1 定义2 令 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 norm 解 单位向量 夹角 2 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 三 正交向量组的概念及求法 orthogonal 证明 正交向量组的性质 定理1 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 解 规范正交基 例如 定义3 同理可知 求规范正交基的方法 下面介绍施密特正交化方法 Gram Schmidtorthogonalization smethod 施密特正交化方法设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基 例2设a1 1 2 1 T a2 1 3 1 T a3 4 1 0 T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1 a1 再令 e1 e2 e3即为所求 定义4 定理 四 正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 解 所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列 由于 例 判别下列矩阵是否为正交阵 所以它是正交矩阵 由于 例 解 1 将一组基规范正交化的方法 先用施密特正交化方法将基正交化 然后再将其单位化 五 小结 2 为正交矩阵的充要
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