【优化方案】高中数学 第1章§5.2估计总体的数字特征课件 北师大版必修3.ppt

5用样本估计总体5 1估计总体的分布5 2估计总体的数字特征 5 2估计总体的数字特征 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标1 理解频率分布直方图 频率折线图的概念 2 会用样本频率分布去估计总体分布 3 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 4 体会统计问题的基本思想 课前自主学案 1 初中学过的众数 中位数 平均数 其定义分别是 1 在一组数据中 的数据叫作这组数据的众数 2 将一组数据按大小顺序依次排列 把处在 的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫作这组数据的中位数 出现次数最多 最中间位置 2 反映数据的离散程度的量有 等 方差 标准差 方差 s2 标准差s 1 频率分布直方图和频率折线图 fi xi 频率fi 1 中点 顶端中点 中点 样本数的频率 概率 频率分布直方图 概率 随之减小 一条光滑曲线 估计总体分布 3 估计总体的数字特征样本平均数和样本标准差可分别用来估计 和 如果抽样的方法比较合理 那么样本可以反映总体的信息 从样本中所得到的有关总体的估计可能互不相同 这一现象是由抽样的 引起的 当 很大时 样本数据确实反映了总体的信息 总体的平均数 标准差 随机性 样本容量 1 如何绘制频率分布直方图 提示 2 如何把握样本的平均数 标准差二者在估计总体中的作用 提示 1 样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度 样本的标准差越大 总体数据估计越分散 样本的标准差越小 总体估计越集中 特别地 当样本的标准差为0时 则标明总体数据估计没有波动 估计数据全相等 2 样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征 在应用平均数和标准差解决问题时 若平均数不同 则直接应用平均数比较优劣 若平均数相同 则要由标准差研究其与平均数的偏离程度 课堂互动讲练 频率分布表是反映总体频率分布的表格 一般内容有数据的分组 频率的统计 频数和频率等内容 根据这个表格 就可以在坐标系中画频率分布直方图 为了了解某所中学男生身高情况 对该中学同龄的50名男生的身高进行了测量 结果如下 单位 cm 1 列出样本的频率分布表 画出频率分布直方图和频率折线图 2 估算该中学男生身高在 164 5 176 5 的频率 思路点拨 依据绘制频率分布表 频率分布直方图 频率折线图的步骤 首先合理分组 确定组距 然后列频率分布表 绘频率分布直方图 频率折线图 解 1 步骤 求极差 在这个样本中 最大值是184 最小值是157 所以极差等于184 157 27 决定组距与组数 可以取组距为4 分成7组 将数据分组 156 5 160 5 160 5 164 5 164 5 168 5 168 5 172 5 172 5 176 5 176 5 180 5 180 5 184 5 列频率分布表 画频率分布直方图 如图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 得频率折线图 如图 2 根据频率分布表和频率分布直方图可得 样本中男生身高落在 164 5 176 5 的频率为0 24 0 24 0 26 0 74 所以该中学男生身高在 164 5 176 5 的频率是0 74 名师点评 将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来 左 右两端点分别向外延伸半个组距 并取此组距上在x轴上的点与折线的首 尾分别连接 可得到频率折线图 也可以直接用频率表作出频率折线图 其方法为 用每组中点的数作横坐标 相应频率除以 组距所得的数作纵坐标描点 然后用折线依次连接起来即可 其中 频率折线图与横轴相连 是为了看图方便 横轴上的左右两端点没有实际的意义 自我挑战1 2011年锦州质检 有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本数据的分组及各组的频数如下 1 列出样本的频率分布表 2 画出频率分布直方图和频率折线图 3 根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2000元的频率 解 1 样本频率分布表 2 频率分布直方图和频率折线图如图 3 起始月薪低于2000元的频率为0 07 0 11 0 04 0 94 故起始月薪低于2000元的频率估计为0 94 列频率分布表和画出频率分布直方图的最终目的是通过样本分布估计总体分布 在估计时 只需要求出相应的样本分布中的有关数据即可推知总体分布的情况 为了让学生了解环保知识 增强环保意识 某中学举行了一次 环保知识竞赛 共有900名学生参加了这次竞赛 为了解本次竞赛成绩情况 从中抽取了部分学生的成绩 得分均为整数 满分为100分 进行统计 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 解答下列问题 1 填充频率分布表的空格 2 补全频率分布直方图 3 若成绩在75 5分 85 5分的学生为二等奖 问该校获得二等奖的学生约为多少人 解 1 频率分布表如下 2 频率分布直方图如图所示 因为成绩在80 5分 90 5分的学生频率为0 32 所以成绩在80 5分 85 5分的学生频率为0 16 所以成绩在75 5分 85 5分的学生频率为0 26 由于有900名学生参加了这次竞赛 所以该校获得二等奖的学生约为0 26 900 234 人 名师点评 1 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据 非常直观地表明分布的形状 使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式 2 频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性 由抽样的代表性 利用样本在某一范围内的频率 可近似地估计总体在这一范围内的可能性 自我挑战2为了解某校初中毕业男生的体能状况 从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试 把所得数据 精确到0 01米 进行整理后 分成6组画出频率分布直方图的一部分 如图 已知从左到右前5个小组的频率分别为0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 第6小组的频数是7 1 请将频率分布直方图补充完整 2 该校参加这次铅球测试的男生有多少人 3 若成绩在8 0米以上 含8 0米 的为合格 试求这次铅球测试的成绩的合格率 解 1 由频率分布直方图的意义可知 各小组频率之和为1 故第6小组的频率为 1 0 04 0 10 0 14 0 28 0 30 0 14 易知第6小组与第3小组的频率相等 故两个小长方形等高 图略 2 由 1 知 第6小组的频率是0 14 3 由图可知 第4 5 6小组成绩在8 0米以上 含8 0米 其频率之和为 0 28 0 30 0 14 0 72 故合格率为72 从高三抽出50名学生参加数学竞赛 由成绩得到如图的频率分布直方图 由于一些数据丢失 试利用频率分布直方图求 1 这50名学生成绩的众数与中位数 2 这50名学生的平均成绩 解 1 由众数的概念可知 众数是出现次数最多的数 在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求 所以众数应为75 由于中位数是所有数据中的中间值 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等 即频率也相等 从而就是小矩形的面积和相等 因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求 0 004 10 0 006 10 0 02 10 0 04 0 06 0 2 0 3 前三个小矩形面积的和为0 3 而第四个小矩形面积为0 03 10 0 3 0 3 0 3 0 5 中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为x 高为0 03 令0 03x 0 2得x 6 7 故中位数应为70 6 7 76 7 2 样本平均值应是频率分布直方图的 重心 即所有数据的平均值 取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可 平均成绩为45 0 004 10 55 0 006 10 65 0 02 10 75 0 03 10 85 0 021 10 95 0 016 10 74 综上 1 众数是75 中位数约为76 7 2 平均成绩约为74 名师点评 1 利用频率分布直方图求数字特征 众数是最高的矩形的底边的中点 中位数左右两侧直方图的面积相等 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 2 利用直方图求众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数和平均数 平均数反映了数据取值的平均水平 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 越不稳定 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 越稳定 甲 乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如图 1 分别求出两人得分的平均数与方差 2 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价 从折线图看 甲的成绩基本呈上升状态 而乙的成绩上下波动 可知甲的成绩在不断提高 而乙的成绩则无明显提高 名师点评 当总体容量较大时 用样本的数字特征去估计总体的数字特征 方差和标准差都是刻画数据的离散程度的 但在实际问题中多采用标准差 如生产中当样本的平均数或标准差超过了规定界限时 说明这批产品质量距生产要求有了较大偏离 应及时进行检查解决