高三数学高考二轮复习专题课件1：函数与方程思想.ppt

1 函数与方程的转化 函数问题转化为方程解决 如函数求值域中的 法 方程问题转化为函数解决 如方程解的个数可转化为两个函数图象的交点个数 2 函数与不等式的相互转化 对于函数y f x 当y 0时就转化为不等式f x 0 借助函数图象和性质可解决有关问题 学案1函数与方程思想 3 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 4 函数f x a bx n n n 与二项式定理密切相关 利用这个函数 用赋值法和比较法可以解决与二项式定理有关的诸多问题及求和的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线与二次曲线的位置关系问题 需通过二元方程组才能解决 6 立体几何中的有关线段 角 面积的计算 经常需用到方程或建立函数表达式的方法加以解决 建立空间向量后 立体几何与函数方程之间的关系就能较为密切 1 设函数f x x3 x 则对任意实数a b a b 0 是 f a f b 0 的 a 充分必要条件b 充分而不必要条件c 必要而不充分条件d 既不充分也不必要条件解析因为函数f x x3 x 所以f x 在r上是递增的奇函数 又a b 0 所以a b 则f a f b f b 所以f a f b 0 且每一步都是可逆的 故选a a 2 已知 a 2 b 1 为a与b的夹角 则关于x的方程x2 a x a b 0有实数根的概率为 a b c d 解析因方程x2 a x a b 0有实数根 所以 a 2 4a b 4 1 2 0 c 3 对任意a 1 1 若函数f x x2 a 4 x 4 2a的值恒为正 则x的取值范围是 a 1 3 b 1 3 c 1 2 d 1 2 解析因为函数f x x2 a 4 x 4 2a的值恒为正 可看成关于a的一次函数 不妨令g a x 2 a x2 4x 4 x 1或x 3 x 1 3 b 4 已知等差数列 an 的前n项和满足s7 s16 则s23 解析由题意可设sn an2 bn 所以72a 7b 162a 16b 即23a b 0 所以s23 232a 23b 23 23a b 0 0 题型一运用函数与方程思想解决函数 方程和不等式的有关问题 例1 对于满足0 p 4的一切实数 不等式x2 px 4x p 3恒成立 试求x的取值范围 解不等式x2 px 4x p 3恒成立 即 x 1 p x2 4x 3 0恒成立 构造函数f p x 1 p x2 4x 3 当x 1时 f p 0 不满足f p 0 f p 表示p的一次函数 p 0 4 函数f x 的图象是一条线段 要使f p 0在 0 4 上恒成立 解得x 1或x 3 所以x的取值范围是 1 3 探究拓展 本题看上去是一个不等式的问题 但是经过等价转化 确定适合的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更加明朗化 因此我们把它转化为一个简单的一次函数 并借助函数图象建立一个关于x的不等式组 从而求得x的取值范围 变式训练1设不等式2x 1 m x2 1 对满足 m 2的一切实数m的取值都成立 求x的取值范围 解设f m x2 1 m 2x 1 此为关于m的一次函数或常函数 即2x 1 m x2 1 对 m 2的一切m都成立 所以x的取值范围是 题型二运用函数思想证明不等式问题 例2 若x 0 求证 证明 当t 1 时 f t 0 所以函数f t 在区间 1 上是增函数 则有f t f 1 0 即t 1 lnt 当t 1 时 g t 0 所以函数g t 在区间 1 上是增函数 探究拓展 在解决值的大小比较问题时 往往通过构造适当的函数 利用函数的单调性或图象解决 这是一种重要的思想方法 利用导数解决不等式问题时 一般要先根据欲证不等式的结构形式及特点 构造相应的函数借助导数研究函数的单调性 从而使问题迅速解决 变式训练2证明令x 1 2 n 1时 代入上式 将所得不等式两边相加 得 题型三利用函数思想解决数列问题 例3 已知设f n s2n 1 sn 1 试确定实数m的取值范围 使得对于一切大于1的正整数n 不等式解由f n s2n 1 sn 1 得 f n f n 1 f 3 f 2 n n n 2 要使对于一切大于1的正整数n 原不等式恒成立 设y logm m 1 2 则y 0 探究拓展 在解答这类问题时 应首先确定f n 的表达式 而f n 是一个不可求和的的数列 直接求f n 的最小值是不可能的 进而研究f n 的单调性可知 f n 是单调递增所以f n min f 2 结合不等式恒成立 进一步利用函数与方程思想使问题得以解决 变式训练3已知f x 是定义在正整数集n 上的函数 当x为奇数时 f x 1 f x 1 当x为偶数时 f x 1 f x 3 且满足f 1 f 2 5 1 求证 f 2n 1 n n 是等差数列 2 求f x 的解析式 1 证明由于n n 则2n为偶数 2n 1为奇数 由题意得 两式相加得 f 2n 1 f 2n 1 4 所以 f 2n 1 n n 是以4为公差的等差数列 2 解所以f 2n 1 f 1 n 1 4 2 2n 1 因此当x为奇数时 f x 2x 又因为当x为奇数时 f x 1 f x 1 所以f x 1 2x 1 2 x 1 1 故当x为偶数时 f x 2x 1 题型四运用函数与方程思想解决立体几何问题 例4 三棱锥s abc sa x 其余所有棱长均为2 它的体积为v 1 求v f x 的表达式 2 当x为何值时 v有最大值 并求出最大值 解 1 取bc的中点d 连接sd ad sd bc ad bc 所以bc 平面sad 取sa的中点e 连接ed 因为sd ad 所以de sa 探究拓展 在解答立体几何中的 运动问题 最值问题 等问题时 常常借助函数思想来解决 建立目标函数后 运用函数的方法来解决 变式训练4正三角形abc的边长为a 直线de bc 交ab ac于点d e 现将 ade沿de折起成60 的二面角 求de在何位置时 折起后点a到bc的距离最短 最短距离是多少 解取bc的中点m 连接am交de于n 则am de 沿de折起时 如图所示 an de mn de 则 anm是二面角a de m的平面角 即 anm 60 且am bc 则线段am的长为所求 设an x 则mn 在 amn中 am2 an2 mn2 2an mn cos60 所以当x 时 即de为 abc的中位线时 am最短 且最短距离为 考题再现 2008 天津 设函数f x x4 ax3 2x2 b x r 其中a b r 1 当a 时 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 仅在x 0处有极值 求a的取值围 3 若对于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 解题示范 解 1 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 f x x 4x2 10 x 4 2x 2x 1 x 2 2分令f x 0 解得x1 0 x2 x3 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 0 2 内是增函数 在 0 2 内是减函数 5分 2 f x x 4x2 3ax 4 显然x 0不是方程4x2 3ax 4 0的根 为使f x 仅在x 0处有极值 必须4x2 3ax 4 0恒成立 即有 9a2 64 0 6分解此不等式 得这时 f 0 b是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 8分 3 由条件a 2 2 可知 9a2 64 0 从而4x2 3ax 4 0恒成立 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 因此函数f x 在 1 1 上的最大值是f 1 与f 1 两者中的较大者 10分为使对任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 当且仅当所以b 4 13分因此满足条件的b的取值范围是 4 14分 1 函数与方程思想方法的应用 主要体现在根据问题的需要构造辅助函数 从而将所给问题转化为构造的辅助函数的性质 如单调性 周期性 奇偶性 正负性 图象的交点个数 最值等 2 要用好函数与方程思想解决问题 必须熟练掌握一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 三角函数等基本初等函数的图象与性质等具体特征 合理运用图象与性质 3 在解答非函数 方程问题时 要注意对题中各量的 观察分析 会用函数和变量来思考 学会转化已知与未知的关系 在解题时 用函数思想作指导就需把字母看作变量 把代数式看做函数 利用函数性质作工具进行分析 解决问题 用方程思想作指导就需要把含字母的等式看作方程 研究方程根有什么要求 一 选择题1 已知正数x y满足xy x 9y 7 则xy的最小值为 a 32b 43c 49d 60解析因为xy x 9y 7 所以 c 2 已知关于x的方程sin2x cosx k 0有实数解 则实数k的取值范围是 a b c d 解析原方程可化为cos2x cosx k 1 c 3 不等式f x ax2 x c 0的解集为 x 2 x 1 则函数y f x 的图象为 解析因为不等式f x ax2 x c 0的解集为 x 2 x 1 所以a 0 则函数f x ax2 x c的图象与x轴的交点分别为 2 0 1 0 又函数y f x 的图象与函数y f x 的图象关于y轴对称 故选d d 4 已知实数x y满足3x 5y 3 y 5 x 则下面式子成立的是 a x y 0b x y 0c x y 0d x y 0解析设函数则是定义域上的增函数 而3x 5y 3 y 5 x 可化为即x y x y 0 a 5 定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y r f 1 2 则f 3 等于 a 2b 3c 6d 9解析f 1 f 0 1 f 0 f 1 2 0 1 f 0 f 1 f 0 0 f 0 f 1 1 f 1 f 1 2 1 1 f 1 f 1 2 f 1 0 f 1 f 2 1 f 2 f 1 2 2 1 f 2 f 1 4 f 2 2 f 2 f 3 1 f 3 f 1 2 3 1 f 3 f 1 6 f 3 6 c 6 设f x 是连续的偶函数 且当x 0时是单调函数 则满足的所有x之和为 a 3b 3c 8d 8解析因为f x 是连续的偶函数 且x 0时是单调函数 由偶函数的性质可知若f x f 只有两种情况 x x 0 由 知x2 3x 3 0 故两根之和为x1 x2 3 由 知x2 5x 3 0 故其两根之和为x3 x4 5 因此满足条件的所有x之和为 8 c 二 填空题7 已知 3x2 2x 1 2 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a4 x 1 4 则a1 a2 a3 a4 解析令x 0 得a0 a1 a2 a3 a4 1 令x 1 得a0 4 由 可得a1 a2 a3 a4 3 3 8 若函数 a b c 0 则下式正确的是 解析所以g x 是减函数 因为a b c 0 所以g a g b g c 9 方程 x 1 2 1 在 1 上的解为 解析原方程可化为x x 2 两边平方整理得 x 2 x3 2x2 1 0 所以 x 2 x 1 x2 x 1 0的解为x1 2 x2 1 所以方程在 1 的解为 经检验x 1不满足题意 10 三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc两两垂直 pc 1 pa x pb y 且x y 4 则该三棱锥取得最大体积时 顶点p到底面的距离为 解析由题意知vp abc 此时x y 2 如图 易知 pa pb 2 作cd ab于d 且点d是ab的中点 pq cd于q 则线段pq的长为所求 因cd 三 解答题11 已知二次函数f x ax2 bx a b为常数 且a 0 满足条件 f x 1 f 3 x 且方程f x 2x有相等实根 1 求函数f x 的解析式 2 是否存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 4m 4n 如果存在 求出m n的值 如果不存在 说明理由 解 1 方程ax2 bx 2x 0有等根 b 2 2 0 得b 2 由f x 1 f 3 x 知此函数图象的对称轴方程为x 1 2 f x x 1 2 1 1 4n 1 即n 而抛物线y x2 2x的对称轴为x 1 当n 时 f x 在 m n 上为增函数 若满足题设条件的m n存在 解得m 0或 2 n 0或 2 又m n m 2 n 0 这时定义域为 2 0 值域为 8 0 由以上知满足条件的m n存在 m 2 n 0 12 已知实数a b c满足 a b c 2 abc 4 1 求a b c中的最大者的最小值 2 求 a b c 的最小值 解 1 不妨设a是a b c中的最大值 即a b a c 由题设条件可知 a 0 b c 2 a 于是b c是关于x