【学海导航】高三数学第一轮总复习 11.4 导数的应用课件（1）.ppt

排列 组合 二项式定理和概率 第十一章 1 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 题型3利用导数研究函数的最值 第一课时 11 4导数的应用 解 1 f x 3x2 6x 9 令f x 0 解得x 1或x 3 所以函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 因为f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以f 2 f 2 因为在 1 3 上 f x 0 所以f x 在 1 2 上单调递增 又由于f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有22 a 20 解得a 2 故f x x3 3x2 9x 2 因此f 1 1 3 9 2 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 点评 求函数在指定区间 a b 上的最值 一般先求区间 a b 上的极值点 然后比较极值点与区间端点函数值的大小 函数f x 3x4 6x2 1在 2 2 上的最大值为 a 1b 0c 25d 2解 令f x 12x3 12x 0 解得x 0或x 1 又f 2 25 f 1 2 f 0 1 所以 f x max 2 故选d d 2 已知函数f x x4 4x3 mx2 1在区间 0 1 上是增函数 在区间 1 2 上是减函数 而g x nx 1 若方程f x g x 恰好有四个不等的解 求n的取值范围 解 易得f x 4x3 12x2 2mx 由单调性得f 1 0 所以m 4 从而由f x g x 得x 0或n x3 4x2 4x 可得 式有三个不为0的不等根 题型4利用导数研究函数的图像 所以0 n 即n的取值范围为 0 设y1 n y2 x3 4x2 4x 则两函数y1 y2的图象有三个不同的交点 又y 2 3x2 8x 4 3x 2 x 2 0 所以x 或x 2 易得x 时 y2取极大值 为 x 2时 y2取极小值 为0 所以函数y1 y2的图象为 点评 方程解的问题可以转化为函数图象交点问题 通过导数研究函数图象的性质 再结合图象的性质观察交点情况 由图象直观地得出相应的结论 这既体现了函数与方程思想 又体现了数形结合思想 求函数f x x3 x2 x 2的图象与x轴的交点的个数 解 f x 3x2 2x 1 令f x 0 解得x 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 又f f 1 1 故可得f x 的大致图象如下 由此可知 f x 的图象与x轴只有一个交点 3 用总长14 8m的钢条制做一个长方体容器的框架 如果所制做容器的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解 设容器底面边长为xm 则另一边长为 x 0 5 m 高为3 2 2x 由3 2 2x 0和x 0 解得0 x 1 6 设容器的容积为ym3 则有y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 即y 2x3 2 2x2 1 6x 题型5导数在实际问题中的应用 令y 0 有 6x2 4 4x 1 6 0 即15x2 11x 4 0 解得x1 1 x2 不合题意 舍去 所以当x 1时 ymax 2 2 2 1 6 1 8 m3 点评 涉及实际问题的最值问题 一般是利用函数知识来解决 即先建立函数关系 把实际问题转化为数学问题 然后利用求函数最值的方法求得最值 注意求得的解要符合实际意义 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与利率的平方成正比 比例系数为k k 0 贷款的利率为4 8 且银行吸收的存款能全部放贷出去 求 1 若存款的利率为x x 0 0 048 试写出存款量g x 及银行应支付给储户的利息h x 的函数表达式 2 存款利率定为多少时 银行可获得最大收益 解 1 由题意 存款量g x kx2 银行应支付的利息h x x g x kx3 2 设银行可获得收益为y 则y 0 048 kx2 kx3 所以y 0 096kx 3kx2 令y 0 即0 096kx 3kx2 0 解得x 0 或x 0 032 又当x 0 0 032 时 y 0 x 0 032 0 048 时 y 0 所以y在 0 0 032 内单调递增 在 0 032 0 048 内单调递减 故当x 0 032时 y在 0 0 048 内取得极大值 即最大值 即存款利率为3 2 时 银行可获得最大收益 1 注意极值与最值概念的联系与区别 极值是一个局部概念 而最值是一个整体概念 两者既有联系又有区别 最值可能是极值 极值也可能是最值 但极值不能在区间端点产生 最大值一定不小于最小值 但极小值不一定小于极大值 2 函数在其定义域上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 3 求可导函数