江苏省重点中学高三数学高考复习：思想方法之5（转化与化归）新人教版.ppt

专题五转化与化归的思想方法 第一部分数学思想方法 知识概要 解决数学问题时 常遇到一些问题直接求解较为困难 通过观察 分析 类比 联想等思维过程 选择运用恰当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说 对自己较熟悉的问题 通过新问题的求解 达到解决原问题的目的 这一思想方法我们称之为 化归与转化的思想方法 专题五转化与归纳的思想方法 2 化归与转化思想的实质是揭示联系 实现转化 除极简单的数学问题外 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的 从这个意义上讲 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想 解题的过程实际上就是一步步转化的过程 数学中的转化比比皆是 如未知向已知转化 复杂问题向简单问题转化 新知识向旧知识的转化 命题之间的转化 数与形的转化 空间向平面的转化 高维向低维转化 多元向一元转化 高次向低次转化 超越式向代数式的转化 函数与方程的转化等 都是转化思想的体现 知识概要 专题五转化与归纳的思想方法 3 转化有等价转化和非等价转化 等价转化前后是充要条件 所以尽可能使转化具有等价性 在不得已的情况下 进行不等价转化 应附加限制条件 以保持等价性 或对所得结论进行必要的验证 知识概要 专题五转化与归纳的思想方法 4 化归与转化应遵循的基本原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验和问题来解决 2 简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式 或者转化命题 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获解 专题五转化与归纳的思想方法 5 利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下 知识概要 专题五转化与归纳的思想方法 考题剖析 2007 烟台模拟题 若 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则 a0 a2 a4 2 a1 a3 2的值为 a 0b 1c 1d 2 1 c 解析 令f x 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 f 1 f 1 2 4 2 4 1 所以选c 专题五转化与归纳的思想方法 点评 本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题 关键是要看清 a0 a2 a4 2 a1 a3 2的结构特点 可以分解因式 而分解因式后与前面式子联系起来看 就不难转化为一个函数问题了 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 2 c 解析 由原式可以变形为 即可以看作是动点 x y 到点 3 1 的距离与到定直线x y 3 0的距离之比为 故点m x y 的轨迹是双曲线 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 2 2007 云南昆明市质检题 若则点m x y 的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 点评 本题如果直接对原式进行变形 是有一定的运算量 效率也不高 但将式子转化为这种公式之后 它的几何意义就凸现出来了 解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 3 在 x2 3x 2 5的展开式中x的系数为 a 160b 240c 360d 800 3 b 分析 本题要求 x2 3x 2 5展开式中x的系数 而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理 因此 就要把对x系数的计算用下面两种思路进行转化 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 思路1 直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解 则 x2 3x 2 5展开式是一个关于x的10次多项式 x2 3x 2 5 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2 它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到 故为 3x 24 5 3 16x 240 x 所以应选b 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算 x2 3x 2 x2 3x 2 x2 2 3x x2 3x 2 x 1 x 2 1 x 2 x 这条思路下又有四种不同的化归与转化方法 如利用x2 3x 2 x2 3x 2 转化 可以发现只有 3x 2 5中会有x项 即 3x 24 240 x 故选b 如利用x2 3x 2 x2 2 3x进行转化 则只有 x2 2 4 3x中含有x一次项 即 3x 24 240 x 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 如利用x2 3x 2 x2 3x 2进行转化 就只有 x2 3x 24中会有x项 即240 x 如选择x2 3x 2 1 x 2 x 进行转化 x2 3x 2 5 1 x 5 2 x 5展开式中的一次项x只能由 1 x 5中的一次项乘以 2 x 5展开式中的常数项加上 2 x 5展开式中的一次项乘以 1 x 5展开式中的常数项后得到 即为x 25 24 x 15 160 x 80 x 240 x 故选b 点评 化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 4 2007 北京宣武区模拟题 某厂2006年生产利润逐月增加 且每月增加的利润相同 但由于厂方正在改造建设 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等 随着投入资金的逐月增加 且每月增加投入的百分率相同 到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同 问全年总利润m与全年总投入n的大小关系是 a m nb m nc m nd 无法确定 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 4 a 解析 每月的利润组成一个等差数列 an 且公差d 0 每月的投资额组成一个等比数列 bn 且公比q 1 a1 b1 且a12 b12 比较s12与t12的大小 若直接求和 很难比较出其大小 但注意到等差数列的通项公式an a1 n 1 d是关于n的一次函数 其图象是一条直线上的一些点列 等比数列的通项公式bn a1qn 1是关于n的指数函数 其图象是指数函数上的一些点列 在同一坐标系中画出图象 直观地可以看出ai bi则s12 t12 即m n 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 点评 把一个原本是求和的问题 退化到各项的逐一比较大小 而一次函数 指数函数的图象又是每个学生所熟悉的 在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵 通过对问题的反思 再加工后 使问题直观 形象 使解答更清新 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 5 若关于x的方程cos2x 4asinx a 2 0在区间 0 上有两个不同的解 则实数a的取值范围是 解析 cos2x 4asinx a 2 1 2sin2x 4asinx a 2 2sin2x 4asinx a 1令t sinx t 0 1 则原题转化为方程 2t2 4at a 1 0在 0 1 上有两个根 令f x 2t2 4at a 1 由二次函数图象可知 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 a 解得 点评 本题涉及到多种转化 一是三角函数的异名化同名 三角函数转化为代数问题 二是方程的问题转化为函数的问题 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 a 解析 x2 px 4x p 3 x 1 p x2 4x 3 0令g p x 1 p x2 4x 3 则要使它对0 p 4均有g p 0 只要有 x 3或x 1 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 6 若不等式x2 px 4x p 3对一切0 p 4均成立 试求实数x的取值范围 点评 在有几个变量的问题中 常常有一个变元处于主要地位 我们称之为主元 由于思维定势的影响 在解决这类问题时 我们总是紧紧抓住主元不放 这在很多情况下是正确的 但在某些特定条件下 此路往往不通 这时若能变更主元 转移变元在问题中的地位 就能使问题迎刃而解 本题中 若视x为主元来处理 既繁且易出错 实行主元的转化 使问题变成关于p的一次不等式 使问题实现了从高维向低维转化 解题简单易行 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 7 2007 湘潭市调研题 已知二次函数f x ax2 2x 2a 1 其中x 2sin 0 若二次方程f x 0恰有两个不相等的实根x1和x2 求实数a的取值范围 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 分析 注意0 则 1 2sin 2 即 1 x 2 问题转化为二次方程根的分布问题 根据图象得出等价的不等式组 解析 由以上分析 问题转化为二次方程ax2 2x 2a 1 0 在区间 1 2 上恰有两个不相等的实根 由y f x 的图象 如图所示 得等价不等式组 解得实数a的取值范围为 3 点评 本题体现了函数与方程的转化 数与形的转化 直观明了 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 8 如下图所示 图 a 为大小可变化的三棱锥p abc 1 将此三棱锥沿三条侧棱剪开 假定展开图刚好是一个直角梯形p1p2p3a 如图 b 所示 求证 侧棱pb ac 2 由 1 的条件和结论 若三棱锥中pa ac pb 2 求侧面pac与底面abc所成角 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 3 将此三棱锥沿三条侧棱剪开 假定其展开图刚好是一个三角形p1p2p3 如图 c 所示 已知p1p3 p2p3 p1p2 2a 若三棱锥相对棱pb与ac间的距离为d 求此三棱锥的体积 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 解析 1 在平面图中p1b p1a p2b p2c 故三棱锥中 pb pa pb pc pb 平面pac pb ac 2 由 1 在三棱锥中作pd ac于d 连结bd 由三垂线定理得bd ac pdb是所求二面角的平面角 在展开图中 连结bp3得bp3 ac 作ae cp3于e 得ae p1p2 4 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 设pa ac x 则p1a ac p3a x 由p2c cp3 ce ep3 ep3 故cp3 2 p2p3 4 由ac dp3 cp3 aedp3 又bp3 bd 在 pdb中 cos pdb 侧面pac与底面abc所成的角的大小为arccos 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 3 在平面图中 由剪法知 a b c分别是三角形三边的中点 由此得 ab bc ac a 在三棱锥中 取ac中点d 连结pd bdac pd ac bd 故ac 平面pdb 且d到pb的距离为异面直线pb与ac之间的距离d s pdb ad v a2d 点评 立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化 有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解 考题剖析 专题五转化与归纳的思想方法 规律总结 1 逐步树立转化与化归意识 遇到难题试着转换 2 转化与化归应遵循五条原则 3 化归的基本方法与途径 专题五转化与归纳的思想方法 转化与化归应遵循五条原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题化为熟悉的问题来解决 2 简单化原则 将复杂问题化为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式 或者转化命题 使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 4 直观化原则