MATLAB符号运算.ppt

第9章MATLAB符号计算 9 1符号计算基础9 2符号函数及其应用9 3符号积分9 4级数9 5符号方程求解 9 1符号计算基础 9 1 1符号对象1 建立符号变量和符号常量MATLAB提供了两个建立符号对象的函数 sym和syms 两个函数的用法不同 1 sym函数sym函数用来建立单个符号量 一般调用格式为 符号量名 sym 符号字符串 该函数可以建立单个符号量 符号字符串可以是常量 变量 函数或表达式 符号量一旦建立 用户就可以在表达式中使用它进行各种运算 例9 1 考察符号变量和数值变量的差别 程序 a sym a b sym b c sym c d sym d 定义4个符号变量w 10 x 5 y 8 z 11 定义4个数值变量A a b c d 建立符号矩阵AA a b c d B w x y z 建立数值矩阵BB 105 811det A 计算符号矩阵A的行列式ans a b b cdet B 计算数值矩阵B的行列式ans 150 应用sym函数还可以定义符号常量 使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同 例9 2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别 程序 pi1 sym pi k1 sym 8 k2 sym 2 k3 sym 3 定义符号变量pi2 pi r1 8 r2 2 r3 3 定义数值变量sin pi1 3 计算符号表达式的值ans 1 2 3 1 2 sin pi2 3 计算数值表达式的值ans 0 8660 sqrt k1 计算符号表达式的值ans 2 2 1 2 sqrt r1 计算数值表达式的值ans 2 8284sqrt k3 sqrt k2 计算符号表达式的值ans 3 2 1 2 1 2 sqrt r3 sqrt r2 计算数值表达式的值ans 2 1010 结论 用符号常数进行计算象是进行数学演算 得到的结果为数学表达式 而数值计算将结果近似为一个有限小数 2 syms函数MATLAB提供了另一个函数syms 一次可以定义多个符号变量 syms函数的一般调用格式为 syms符号变量名1符号变量名2 符号变量名n 注意 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符 变量间用空格而不要用逗号分隔 2 建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式 符号表达式包括符号代数式 符号方程 符号矩阵 抽象函数等 建立符号表达式有3种方法 1 利用单引号来生成符号代数式 2 用sym函数建立符号表达式 3 使用已经定义的符号变量组成符号表达式 1 建立代数式方法 用sym函数建立符号表达式 使用已经定义的符号变量组成符号表达式 利用单引号建立 例9 3 用两种方法建立符号表达式 3x2 5y 2xy 6程序 U sym 3 x 2 5 y 2 x y 6 定义符号表达式U 3 x 2 5 y 2 x y 6symsxy 建立符号变量V 3 x 2 5 y 2 x y 6 定义符号表达式ans 3 x 2 5 y 2 x y 6U 3x2 5y 2xy 6 U 3x2 5y 2xy 62 U V 6 求符号表达式的值ans 3 x 2 5 y 5 x y 12 2 建立符号方程方法 用sym函数建立符号方程 利用单引号建立 例9 4 y sym ax2 bx c 0 建立了一个符号方程注意 因为符号方程中含有等号 故不能采用赋值的方法来建立符号方程 否则方程中的等号和命令中的赋值号会混淆 3 建立符号矩阵方法 直接建立例9 5 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值 A 1 1 1 a b c a2 b2 c2 程序 symsabc U a b c A 1 1 1 U U 2 建立范得蒙矩阵det A 计算矩阵行列式的值 4 建立抽象函数定义 所谓抽象函数就是函数关系未确定的函数 如 z f x y 例9 6 建立x y的一般二元函数 程序 symsxy f sym f x y 9 1 2符号表达式运算 1 符号表达式的四则运算符号表达式的加 减 乘 除运算可分别由函数symadd symsub symmul和symdiv来实现 幂运算可以由sympow来实现 结果仍旧为符号表达式 2 符号表达式的提取分子和分母运算可用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母 其调用格式为 n d numden s 该函数提取符号表达式s的分子和分母 分别将它们存放在n与d中 3 符号表达式的因式分解与展开函数的调用格式为 factor s 对符号表达式s分解因式 expand s 对符号表达式s进行展开 collect s 对符号表达式s合并同类项 collect s v 对符号表达式s按变量v合并同类项 例9 7 对下列符号矩阵A的每个元素分解因式A 2a2b3x2 4ab4x3 10ab6x4 3xy 5x2 4 a3 b3 程序 symsabxy A 2 a 2 b 3 x 2 4 a b 4 x 3 10 a b 6 x 4 3 x y 5 x 2 4 a 3 b 3 factor A 对A的每个元素分解因式ans 2 a 2 b 3 x 2 4 a b 4 x 3 10 a b 6 x 4 3 x y 5 x 2 4 a 3 b 3 例9 8 计算表达式S的值s 7x2 8y2 x2 3y2 程序 symsxy S 7 x 2 8 y 2 x 2 3 y 2 expand s ans 7 x 4 13 x 2 y 2 24 y 4Collect s x ans 7 x 4 13 x 2 y 2 24 y 4factor ans ans 7 x 2 8 y 2 x 2 3 y 2 4 符号表达式的化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有 simplify s 应用函数规则对s进行化简 simple s 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简 并显示化简过程 例9 9 化简s s2 y2 2 s2 y2 2程序 symsxy s x 2 y 2 2 x 2 y 2 2simple s Simplify 这是simple函数自动调用函数 并非由用户调入 下同2 x 4 2 y 4radsimp 2 x 4 2 y 4 combine trig 2 x 4 2 y 4factor 2 x 4 2 y 4expand 2 x 4 2 y 4combine s 2 y 2 2 s 2 y 2 2convert exp s 2 y 2 2 s 2 y 2 2 convert sincos s 2 y 2 2 s 2 y 2 2convert tan s 2 y 2 2 s 2 y 2 2collect x 2 x 4 2 y 4ans 2 x 4 2 y 4 可见 simple函数试探使用各种函数化简 其化简过程是机械的 部分过程可以省略 5 符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式 5 符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式 9 1 3符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量 该函数的调用格式为 findsym s n 函数返回符号表达式s中的n个符号变量 若没有指定n 则返回s中的全部符号变量 例9 10 注意 如果变量缺省时 MATLAB将按照离字符 x 最近的原则确定缺省变量 例9 11 9 1 4符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式 所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行 但应注意这些函数作用于符号矩阵时 是分别作用于矩阵的每一个元素 由于符号矩阵是一个矩阵 所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算 MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数 这些函数作用于单个的数据无意义 transpose s 返回s矩阵的转置矩阵 determ s 返回s矩阵的行列式值 其实 曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数 如diag triu tril inv det rank eig等 也可直接应用于符号矩阵 9 2符号函数及其应用 9 2 1符号极限limit函数的调用格式为 1 limit f x a 求符号函数f x 的极限值 即计算当变量x趋近于常数a时 f x 函数的极限值 2 limit f a 求符号函数f x 的极限值 由于没有指定符号函数f x 的自变量 则使用该格式时 符号函数f x 的变量为函数findsym f 确定的默认自变量 即变量x趋近于a 3 limit f 求符号函数f x 的极限值 符号函数f x 的变量为函数findsym f 确定的默认变量 没有指定变量的目标值时 系统默认变量趋近于0 即a 0的情况 4 limit f x a right 求符号函数f的极限值 right 表示变量x从右边趋近于a 5 limit f x a left 求符号函数f的极限值 left 表示变量x从左边趋近于a 例9 12求下列极限 极限1 symsamx f x exp sin x 1 2 exp tan x 1 x a limit f x a ans 1 2 a exp sin a 1 2 a exp tan a 1 a极限2 symsxt limit 1 2 t x 3 x x inf ans exp 6 t 极限3 symsx f x sqrt x 2 1 x limit f x inf left ans 1 2极限4 symsx f sqrt x sqrt 2 sqrt x 2 sqrt x x 4 limit f x 2 right ans 1 2 9 2 2符号函数求导及其应用 diff函数用于对符号表达式求导数 该函数的一般调用格式为 1 diff s 没有指定变量和导数阶数 则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数 2 diff s v 以v为自变量 对符号表达式s求一阶导数 3 diff s n 按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数 n为正整数 4 diff s v n 以v为自变量 对符号表达式s求n阶导数 例9 13求函数的导数 p202例7 3 命令如下 symsabtxyz f sqrt 1 exp x diff f 求 1 未指定求导变量和阶数 按缺省规则处理f x cos x diff f x 2 求 2 求f对x的二阶导数diff f x 3 求 2 求f对x的三阶导数f1 a cos t f2 b sin t diff f2 diff f1 求 3 按参数方程求导公式求y对x的导数 diff f1 diff f2 2 diff f1 2 diff f2 diff f1 3 求 3 求y对x的二阶导数f x exp y y 2 diff f x 求 4 z对x的偏导数diff f y 求 4 z对y的偏导数f x 2 y 2 z 2 a 2 zx diff f x diff f z 求 5 按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy diff f y diff f z 求 5 按隐函数求导公式求z对y的偏导数 例9 14在曲线y x3 3x 2上哪一点的切线与直线y 4x 1平行 命令如下 x sym x y x 3 3 x 2 定义曲线函数f diff y 对曲线求导数g f 4 solve g 求方程f 4 0的根 即求曲线何处的导数为4 9 3符号积分 9 3 1符号函数的不定积分符号不定积分由函数int来实现 调用格式为 1 int s 没有指定积分变量和积分阶数时 系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分 2 int s v 以v为自变量 对被积函数或符号表达式s求不定积分 例9 15求不定积分 命令如下 x sym x f 3 x 2 3 int f 求不定积分 1 f sqrt x 3 x 4 int f 求不定积分 2 g simple ans 调用simple函数对结果化简 9 3 2符号函数的定积分int s v a b 求定积分运算 a b分别表示定积分的下限和上限 当函数f关于变量v在闭区间 a b 上可积时 函数返回一个定积分结果 当a b中有一个是inf时 函数返回一个广义积分 当a b中有一个符号表达式时 函数返回一个符号函数 例9 16求定积分 命令如下 x sym x t sym t int abs 1 x 1 2 求定积分 1 f 1 1 x 2 int f inf inf 求定积分 2 int 4 t x x 2 sin t 求定积分 3 f x 3 x 1 100 I int f 2 3 用符号积分的方法求定积分 4 double I 将上述符号结果转换为数值 例9 17求椭球的体积 命令如下 symsabcz f pi a b c 2 z 2 c 2 V int f z c c V 4 3 pi a b c 9 3 3积分变换 积分变换的定义积分变换的思路常见的积分变换 傅立叶变换 拉普拉斯换和Z变换 1 傅立叶 Fourier 变换在MATLAB中 进行傅立叶变换的函数是 fourier f x t 求函数f x 的傅立叶像函数F t ifourier F t x 求傅立叶像函数F t 的原函数f x 例9 18求函数的傅立叶变换及其逆变换 命令如下 symsxt y abs x Ft fourier y x t 求y的傅立叶变换fx ifourier Ft t x 求Ft的傅立叶逆变换 2 拉普拉斯 Laplace 变换在MATLAB中 进行拉普拉斯变换的函数是 laplace fx x t 求函数f x 的拉普拉斯像函数F t ilaplace Fw t x 求拉普拉斯像函数F t 的原函数f x 例9 19计算y x2的拉普拉斯变换及其逆变换 命令如下 x sym x y x 2 Ft laplace y x t 对函数y进行拉普拉斯变换fx ilaplace Ft t x 对函数Ft进行拉普拉斯逆变换 3 Z变换当函数f x 呈现为一个离散的数列f n 时 对数列f n 进行z变换的MATLAB函数是 ztrans fn n z 求fn的Z变换像函数F z iztrans Fz z n 求Fz的z变换原函数f n 例9 20求数列fn e n的Z变换及其逆变换 命令如下 symsnzfn exp n Fz ztrans fn n z 求fn的Z变换f iztrans Fz z n 求Fz的逆Z变换 9 4级数 9 4 1级数的符号求和符号表达式求和函数symsum 其调用格式为 symsum s v n m 其中s表示一个级数的通项 是一个符号表达式 v是求和变量 v省略时使用系统的默认变量 n和m是求和的开始项和末项 例9 21求级数之和 命令如下 n sym n s1 symsum 1 n 2 n 1 inf 求s1s2 symsum 1 n 1 n 1 inf 求s2 未指定求和变量 缺省为ns3 symsum n x n n 1 inf 求s3 此处的求和变量n不能省略 s4 symsum n 2 1 100 求s4 计算有限级数的和 9 4 2函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数 其调用格式为 taylor f v n a 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数 展开到第n项 即变量v的n 1次幂 为止 n的缺省值为6 v的缺省值与diff函数相同 参数a指定将函数f在自变量v a处展开 a的缺省值是0 例9 22求函数在指定点的泰勒展开式 命令如下 x sym x f1 1 x x 2 1 x x 2 f2 sqrt 1 2 x x 3 1 3 x x 2 1 3 taylor f1 x 5 求 1 展开到x的4次幂时应选择n 5taylor f2 6 求 2 9 5符号方程求