高中数学 212余弦定理精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

1 2余弦定理 1 了解向量法证明余弦定理的推导过程 2 掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题 1 利用余弦定理求三角形中的边角问题及正 余弦定理的综合应用是本节热点 2 三种题型都有可能出现 属中 低档题 1 在rt abc中 c 90 三边满足勾股定理 2 在 abc中 正弦定理是 a2 b2 c2 3 若 为锐角 则cos 0 若 为钝角 则cos 0 若 为直角 则cos 0 4 在 abc中 若a 3 b 5 c 45 三角形确定吗 又如何求边c的长 在 abc中 若a 4 b 5 c 6 能求角a b c吗 1 余弦定理 1 语言叙述三角形中任何一边的平方等于减去的积的 2 公式表达a2 b2 c2 其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 3 推论cosa cosb cosc 2 余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题 一类是已知解三角形 另一类是已知解三角形 两边及夹角 三边 答案 a 答案 a 答案 钝角三角形 答案 2 既可以先用正弦定理求出角c 再求其余的边和角 也可以先由余弦定理列出边长a的方程 解出a后再用正弦定理求角a和角c 题后感悟 通过比较两种解法 可以看出 方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程 运用解方程的方法求出a边的长 这样可免去判断取舍的麻烦 方法二直接运用正弦定理 先求角再求边 运算较简 但要判断解的情况进行取舍 两种方法各有优劣 策略点睛 题后感悟 已知三角形三边求角可先用余弦定理 再用正弦定理 利用余弦定理求角时 角是唯一确定的 用正弦定理求角时 则需根据三角形边角关系确定角的取值 要防止产生增解或漏解 既可以将条件统一为边的条件 利用边的关系进行判断 也可以将条件转化为角的关系 通过角来判断 题后感悟 判断三角形的形状 通常有两个途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用 a b c 这个结论 在两种方法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 1 余弦定理与勾股定理之间的联系 1 对于余弦定理c2 a2 b2 2abcosc中 若c 90 则c2 a2 b2 此即为勾股定理 也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况 2 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 也是解三角形的重要工具 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 余弦定理也为求三角形的有关量 如面积 外接圆 内切圆等 提供了工具 它可以用来判定三角形的形状 证明三角形中的有关等式 在一定程度上 它比正弦定理的应用更加广泛 注意 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解 原因是余弦定理中涉及的是边长的平方 求得结果常有两解 因此 解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件 2 解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类 1 已知三角形的两边和其中一边的对角 解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角 用三角形的内角和定理求出第三个角 再用正弦定理求出第三边 注意判断解的个数 2 已知三角形的两角和任一边 解三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一边 再由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求第三边 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求第三个角 再由正弦定理求另外两边 3 已知两边和它们的夹角 解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边 再用正弦定理或余弦定理求另一角 最后用三角形内角和定理求第三个角 4 已知三角形的三边 解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角 再用正弦定理或余弦定理求出另一个角 最后用三角形内角和定理 求出第三个角 要解三角形 必须已知三角形的一边的长 若已知条件中一条边的长也不给出 三角形可以是任意