高考数学一轮复习 6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题精品课件 理 新人教A版.ppt

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 1 二元一次不等式ax by c 0 或ax by c 0 表示的平面区域 1 在平面直角坐标系中作出直线ax by c 0 2 在直线的一侧任取一点p x0 y0 特别地 当c 0时 常把原点作为此特殊点 3 若ax0 by0 c 0 则包含此点p的半平面为不等式ax by c 0所表示的平面区域 不包含此点p的半平面为不等式ax by c 0所表示的平面区域 2 线性规划的有关概念 1 线性约束条件 由条件列出的一次不等式 或方程 组 2 线性目标函数 由条件列出的一次函数表达式 3 线性规划问题 求线性目标函数在约束条件下的最大值或者最小值问题 4 可行解 满足的解 x y 5 可行域 的集合 6 最优解 使取得最大值或最小值的可行解 3 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行解 可行域 将约束条件中的每一个不等式所表示的平面区域作出 并求其公共部分 2 作出目标函数的 3 确定最优解 在可行域内平行移动目标函数等值线 从而确定 线性约束条件 所有可行解 目标函数 等值线 最优解 1 不等式5x 3y 1 0表示的平面区域在直线5x 3y 1 0的 a 左上方b 左下方c 右上方d 右下方解析 如右图 在平面直角坐标系中 作出直线5x 3y 1 0 如右图 将原点 0 0 代入直线方程得5 0 3 0 10表示的平面区域在直线5x 3y 1 0的右下方 答案 d 3 小明夫妇经过几年努力打拼 终于在市区购得一处住房 现需要装修 请木工需付工资每人60元 请瓦工需付工资每人50元 现有工人工资预算4000元 设木工x人 瓦工y人 请工人的约束条件是 热点之一二元一次不等式 组 表示平面区域二元一次不等式 组 表示平面区域的判定方法 1 同号上 异号下 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的上方 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的下方 2 直线定界 特殊点定域 注意不等式是否可取等号 不可取等号时直线画成虚线 可取等号时直线画成实线 若直线不过原点 特殊点常选取原点 思维拓展 1 求平面区域的面积 要先画出不等式组表示的平面区域 然后根据区域的形状求面积 2 求面积时 要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标 这样易求出底与高 必要时分割区域为特殊图形求解 热点之二求目标函数的最值1 利用线性规划求最值 一般用图解法求解 其步骤是 第一步 在平面直角坐标系内作出可行域 第二步 利用平移直线的方法在可行域内找到最优解所对应的点 第三步 将最优解代入目标函数求出最大值或最小值 2 线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得 3 求线性目标函数的最优解 要注意分析目标函数所表示的几何意义 通常与截距 斜率 距离等联系 1 z 2x y y 2x z 当直线y 2x z经过可行域内点m 2 3 时 直线在y轴上的截距最大 z也最大 此时zmax 2 2 3 7 当直线y 2x z经过可行域内点a 1 2 时 直线在y轴上的截距最小 z也最小 此时zmin 2 1 2 4 所以z的最大值为7 最小值为4 其中a 4 1 b 1 6 c 3 2 设z 4x 3y 直线4x 3y 0经过原点 0 0 作一组与4x 3y 0平行的直线l 4x 3y t 则当l过c点时 t值最小 当l过b点时 t值最大 z最大值 4 1 3 6 14 z最小值 4 3 3 2 18 故4x 3y的最大值为14 最小值为 18 2 求线性规划问题的整点最优解常用以下方法 1 平移直线法 先在可行域中画网格 再描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解 2 检验优值法 当可行域中整点个数较少时 可将整点坐标逐一代入目标函数求值 经过比较得出最优解 3 调整优值法 先求非整点最优解 再调整最优值 最后筛选出整点最优解 例3 某人有楼房一幢 室内面积共计180m2 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间每间面积18m2 可住游客5名 每名游客每天住宿费40元 小房间每间面积15m2 可住游客3名 每名游客每天住宿费为50元 装修大房间每间需要1000元 装修小房间每间需要600元 如果他只能筹款8000元用于装修 且游客能住满客房 他隔出大房间和小房间各多少间 能获得最大效益 思路探究 本题是一道用线性规划求解的实际应用问题 难点在于求目标函数的最优整数解 这里所用到的方法即是 局部微调法 需要先判断出在b点取得最大值 再在b点附近区域做微调 找到满足题意的整数解 即时训练 2009 四川理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 a 12万元b 20万元c 25万元d 27万元 从近两年的高考试题来看 二元一次不等式 组 表示的平面区域 的面积 求线性目标函数的最值 线性规划的实际应用问题等是高考的热点 题型既有选择题 也有填空题 不排除会在解答题中出现 难度为中低档 客观题主要考查可行域的求解 目标函数最值的求法 以及线性规划的实际应用 主观题重点考查线性规划的实际应用 这部分内容重点考查数形结合思想 分析问题 解决问题的能力 例4 2010 广东高考 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 za 2 5 9 4 0 22 5 zb 2 5 4 4 3 22 zc