《非线性方程求解》PPT课件.ppt

2 1化工实际问题的提出2 2实根的对分法2 3直接迭代法2 4松弛迭代法2 5韦格斯坦法2 6牛顿迭代法2 7割线法2 8非线性方程组的牛顿方法2 9化工生产中非线性方程组求解应用实例 第2章非线性方程求解 2 1化工实际问题的提出 求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题 与线性方程相比 非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上 都要比线性方程复杂的多对于一般的非线性f x 0 计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言 2 1化工实际问题的提出 例如 求解高次方程组7x6 x3 x 1 5 0的根 求解含有指数和正弦函数的超越方程ex sin x 0的零点 解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题 一般地 我们用符号f x 来表示方程左端的函数 方程的一般形式表示为f x 0 方程的解称为方程的根或函数的零点 2 1化工实际问题的提出 通常 非线性方程的根不止一个 而任何一种方法只能算出一个根 因此 在求解非线性方程时 要给定初始值或求解范围 而对于具体的化工问题 初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定 2 1化工实际问题的提出 常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式 2 1化工实际问题的提出 当我们已知雷诺数Re 如何根据公式 2 1 求出摩擦系数 这是我们在管路设计中必须首先解决的问题 对于方程 2 1 而言 无法用解析的方法求出摩擦系数 只能用数值求解的方法 如用在下面即将介绍的松弛迭代法 假设 则利用松弛迭代公式可得 这是一个典型的非线性方程 我们在管路设计中经常碰到 2 1化工实际问题的提出 经11次迭代可得摩擦系数为0 07593 同样 在n个组分的等温闪蒸计算中 通过物料和相平衡计算 我们可得到如下非线性方程 2 3 2 1化工实际问题的提出 在方程 2 3 中只有 是未知数 ki为相平衡常数 zi为进料组分的摩尔浓度 均为已知数 方程 2 3 也无法直接解析求解 必须利用数值的方法 借助于计算机方可精确的计算 2 3 2 1化工实际问题的提出 对于这个问题的求解 可利用我们下面介绍的牛顿迭代法进行计算 也可利用其他迭代公式进行计算 如采用牛顿迭代公式 则可以得到如下的具体迭代公式 2 4 2 1化工实际问题的提出 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据 虽然我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数据 我们通常利用前人已经测量得到的数据或回归的公式来获取 这可以减轻我们大量的基础实验工作 公式 2 5 是一种常用的饱和蒸气压计算公式 2 1化工实际问题的提出 因为公式 2 5 两边都有未知变量 并且无法用解析的方法求解 必须用数值计算的方法求解 通过上面的一些例子 我们可以发现 如果没有适当的手段和办法来求解非线性方程 那么化学化工中的许多研究 设计等工作将无法展开 这势必影响化学化工的发展 下面我们将介绍一些实用的非线性方程求解方法 并提供计算机程序 2 5 2 2实根的对分法 2 2 1使用对分法的条件2 2 2对分法求根算法2 2 3对分法VB程序清单 2 2 1使用对分法的条件 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法 设函数f x 在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上至少有一零点 这是微积分中的介值定理 也是使用对分法的前提条件 计算中通过对分区间 逐步缩小区间范围的步骤搜索零点的位置 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根 但又不满足f a f b 0 这时 我们必须通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件 2 2 2对分法求根算法 计算f x 0的一般计算步骤如下 1 输入求根区间 a b 和误差控制量 定义函数f x 2 判断 如果f a f b 0则转下 否则 重新输入a和b的值 3 计算中点x a b 2以及f x 的值 2 2 2对分法求根算法 分情况处理 1 f x 停止计算x x 转向步骤4 2 f a f x 0 修正区间 a x a b 重复3 3 f x f b 0 修正区间 x b a b 重复34 输出近似根x 右图给出对分法的示意图 2 2 3对分法VB程序清单 PrivateSubCommand1 Click Dimx1 x2 x y1 y2 y eer80 x1 InputBox x1 x2 InputBox x2 y1 f x1 y2 f x2 Ify1 y2 0ThenGoTo100ElsePrint pleaserepeatinputx1andx2 GoTo80EndIf100 x x1 x2 2y f x IfAbs y 0 001ThenPrint thefunctionrootis xPrint y y ElseIfy1 y 0Thenx2 xy2 yGoTo100Elsex1 xy1 yGoTo100EndIfEndIfEndSubPublicFunctionf x Dimyy x 3 x 2 1f yEndFunction 2 2 3对分法求解实例 用对分法求在区间 1 2 之间的根 解 1 f 1 2 8 f 2 0 3 由介值定理可得有根区间 a b 1 2 2 计算x2 1 2 2 1 5 f 1 5 0 45 有根区间 a b 1 5 2 3 计算x3 1 5 2 2 1 75 f 1 75 0 078125 有根区间 a b 1 5 1 75 2 2 3对分法求解实例 一直做到 f xn 计算前给定的精度 或 a b 时停止 详细计算结果见表2 1 对分法的算法简单 然而 若f x 在 a b 上有几个零点时 如不作特殊处理只能算出其中一个零点 另一方面 即使f x 在 a b 上有零点 也未必有f a f b 0 这就限制了对分法的使用范围 对分法只能计算方程f x 0的实根 对于多个零点的方程 我们可以通过将给定的区间 a b 进行细分 然后在细分后的区间内用二分法分别求解 从而得到多个零点 例如求方程在0 30内的所有根 需要对二分法进行以下处理 即先给定一个a 本例中为0 然后不断增加 直到找到一个b 使f a f b 0 调用二分法 计算在 a b 范围内的根 然后将b作为a 重复上面的工作 直到计算范围超出30为止 2 3直接迭代法 对给定的方程f x 0 将它转换成等价形式 给定初值x0 由此来构造迭代序列 k 1 2 如果迭代收敛 即 有 则就是方程f x 0的根 在计算中当小于给定的精度控制量时 取为方程的根 2 3直接迭代法 例如 代数方程x3 2x 10 0的三种等价形式及其迭代格式如下 2 3直接迭代法 对于方程构造的多种迭代格式 怎样判断构造的迭代格式是否收敛 收敛是否与迭代的初值有关 根据数学知识 我们可以直接利用以下收敛条件 1 当有 2 在 a b 上可导 并且存在正数L 1 使任意的 有 则在 a b 上有唯一的点满足 称为的不动点 而且迭代格式对任意初值均收敛于的不动点 并有下面误差估计式 2 6 2 3直接迭代法 要构造满足收敛条件的等价形式一般比较困难 事实上 如果为f x 的零点 若能构造等价形式 而 由的边疆性 一定存在的邻域 其上有 这时若初值迭代也就收敛了 由此构造收敛迭代格式有两个要素 其一 等价形式 应满足 其二 初值必须取自的充分小邻域 其大小决定于函数f x 及做出的等价形式 2 6 2 3直接迭代法 例 求代数方程x3 2x 5 0 在x0 2附近的零点 解 1 x3 2x 5 构造的迭代序列收敛 取x0 2 则准确的解是x 2 09455148150 2 将迭代格式写为迭代格式不能保证收敛 但并不一定不收敛 VB程序界面 2 4松弛迭代法 有些非线性方程或方程组当用上一节中的直接迭代法求解时 迭代过程是发散的 这时可引入松弛因子 利用松弛迭代法 通过选择合适的松弛因子 就可以使迭代过程收敛 松弛法的迭代公式如下 2 7 由上式可知 当松弛因子 等于1时 松弛迭代变为直接迭代 当松弛因子 大于1时松弛法使迭代步长加大 可加速迭代 但有可能使原来收敛的迭代变成发散 当0 1时 松弛法使迭代步长减小 这适合于迭代发散或振荡收敛的情况 可使振荡收敛过程加速 当 0时 将使迭代反方向进行 可使一些迭代发散过程收敛 2 4松弛迭代法 松弛法的迭代公式如下 2 7 松弛法是否有效的关键因子是松弛因子 的值能否正确选定 如果 值选用适当 能使迭代过程加速 或使原来不收敛的过程变成收敛 但如果 值选用不合适 则效果相反 有时甚至会使原来收敛的过程变得不收敛 松弛因子的数值往往要根据经验选定 但选用较小的松弛因子 一般可以保证迭代过程的收敛 2 4松弛迭代法 例 用松弛迭代法求解下面非线性方程组 并分析松弛因子对迭代次数及收敛过程的影响 已知迭代初值x和y均为0 收敛精度 0 001解 取以下迭代表达式 2 4松弛迭代法 若取松弛因子为1 1则其迭代过程如左表 若改变松弛因子 迭代过程及迭代所需的次数亦将发生变化 详见右表 由右表数据可知 当松弛因子小于1时 增大松弛因子 可加速迭代过程 减少迭代次数 但当松弛因子大于1时 迭代次数反而增加 当松弛因子达到1 56时 迭代过程分散 此法是一种迭代加速方法 在图2 3中 从x0开始 曲线y x 和直线y x之间的阶梯形折线为单变量的直接迭代过程 其迭代步长为每个阶梯的水平距离 2 5韦格斯坦法 图2 3韦格斯坦法迭代示意图 若利用图2 3中曲线 x 上的两个点作一直线 通过求该直线和y x的交点C的横坐标xW作为新的迭代点 这样的迭代计算过程就是韦格斯坦法 即韦格斯坦法需要在已知两点的前提下迭代计算第三点 一般第一点为人为设定 第二点利用直接迭代计算而得 则第三点就可以用韦格斯坦法迭代求解 2 5韦格斯坦法 图2 3韦格斯坦法迭代示意图 已知A点的坐标为 x1 y1 B点的坐标为 x2 y2 则过A B两点的直线方程为 求该直线和y x的交点可得 韦格斯坦法的一般计算通式为 2 5韦格斯坦法 2 5韦格斯坦法 由上述公式可知 韦格斯坦法也是一种松弛法 其松弛因子为一般情况下 当1 k 0时 迭代过程为单调收敛过程 当 1 k 0时 迭代过程为振荡收敛过程 但当k 1时 收敛将发散 故在编程计算时应注意当k 1时则取k 0进行计算 韦格斯坦法求解方程x3 2x2 5x 4 0根的QB程序 2 6牛顿迭代法 2 6 1牛顿法的理论推导2 6 2牛顿法的几何意义 对方程f x 0可构造多种迭代格式 牛顿迭代法是借助于对函数f x 0的泰勒展开而得到的一种迭代格式 将f x 0在初始值x0做泰勒展开得 取展开式的线性部分作为的近似值 则有 设则令 2 6 1牛顿法的理论推导 类似地 再将f x 0在x1作泰勒展开并取其线性部分得到 一直做下去得到牛顿法的迭代格式 牛顿迭代格式对应于f x 0的等价方程为 若b是f x 的单根时 则有 只要初值x0充分接近b 牛顿迭代都收敛 牛顿迭代是二阶迭代方法 可以证明 b为f x 的a重根时 迭代也收敛 但这是一阶迭代 收敛因子为 若这时取下面迭代格式 它仍是二阶方法 2 6 1牛顿法的理论推导 以为斜率作过 x0 f x0 点的直线 即作f x 在x0的切线方程 令y 0 则在x1处的切线与x轴的交点x1 即 再作f x 在x1处的切线 得交点x2 逐步逼近方程的根b 如图2 4所示 在区域 x0 x0 h 的局部 以直代曲 是处理非线性问题的常用手法 在泰勒展开中 截取函数展开的线性部分替代f x 2 6 2牛顿法的几何意义 图2 4牛顿切线法示意图 2 6 2牛顿法的几何意义 例 用牛顿迭代法求方程f x x3 7 7x2 19 2x 15 3 在x0 1附近的零点 解 计算结果列于表2 4中 比较表2 1和表2 4的数值 可以看到牛顿迭代法的收敛速度明显快于对分法 牛顿迭代法也有局限性 2 6 2牛顿法的几何意义 在牛顿迭代法中 选取适当迭代初始值x0是求解的前提 当迭代的初始值x0在某根的附近时迭代才能收敛到这个根 有时会发生从一个根附近跳向另一个根附近的情况 尤其在导数数值很小时 如图2 5所示 如果f x 0没有实根 初始值x0是实数 则迭代序列不收敛 图2 6给出迭代函数f x 2 x2 初始值x0 2的发散的迭代序列 图2 5 图2 6 2 7割线法 在牛顿迭代格式中 用差商代导数 并给定初始值x0和x1 那么迭代格式可写成如下形式 上式称为割线法 用割线法迭代求根 每次只需计算一次函数值 而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值 但割线收敛速度稍慢于牛顿迭代法 割线法为1 618阶迭代方法 2 7割线法 做过两点 x0 f x0 和 x1 f x1 的一条直线 弦 该直线与x轴交点就是生成的迭代点x2 再做过 x1 f x1 和 x2 f x2 的一条直线 x3是该直线与x轴的交点 继续做下去得到方程的根f a 0 如图2 4所示 图2 4牛顿切线法示意图 2 7割线法 例2 5 用割线法求方程的根 取x0 1 5 x1 4 0 解 计算结果列于表VB程序 为了叙述的简单 我们以解二阶非线性方程组为例演示解题的方法和步骤 类似地可以得到解更高阶非线性方程组的方法和步骤 设二阶方程组其中x y为自变量 为了方便起见 将方程组写成向量形式 将在 x0 y0 附近进行二元泰勒展开 并取其线性部分 得到下面方程组 令则有 2 8非线性方程组的牛顿方法 2 8非线性方程组的牛顿方法 如果再将原方程组在u1处进行二元泰勒展开 并取其线性部分 得到下面方程组 解出得出继续做下去 每一次迭代都是一个方程组 即为止 2 8非线性方程组的牛顿方法 例2 6求解下面非线性方程组取初始值解 解方程得继续做下去 直到时停止 2 9化工生产中非线性方程组求解应用实例 在化工生产中 为了求解反应前后各物料的浓度 常常要联立求解一些非线性方程组 这些方程组难以用常规