江苏省江安高级中学2015届高考数学备忘录.doc

江苏省江安高级中学2015届高考数学备忘录一、集合与逻辑1考察集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质如函数的定义域；函数的值域；函数图像上的点集特别注意括号中的附加条件，如Z、N等【例】已知Ax|y，xR ，By|ylg(x21)，xR ，C(x，y)|yx，xR ，则AB ；AC 【答案】0，3，2区间的隐含条件是3若条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况【例】，Bx|x0，若AB，求a的取值范围【答案】a04进行集合运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和文氏图进行求解，特别注意边界值的验证求不等式(方程)的解集，或求定义域(值域)，你按要求写成集合的形式了吗？5补集思想常用于解决否定型或正面较复杂的有关问题【例】设全集为R，则CRA 【答案】0，1运用反证法时，注意弄清命题的否定是全称命题还是存在性命题6充要条件的概念记住了吗？判断方法：区分条件p和结论q； 判断p能否推出q； 判断q能否推出p； 下结论二、函数与导数7指数与对数： ，换底公式对数的运算法则：logaMlogaNlogaMN；logaMlogaNloga【例】2log32log3log38 【答案】1【例】函数yax1(a0，且a1)的图象恒过定点 【答案】(0，0) 【例】已知函数f(x) loga(x1)的定义域和值域都是0，1，则实数a的值是 【答案】28几种常规函数：(1)一次函数：；b0时为奇函数；【例】若一次函数yf(x)在区间1，2上的最大值为3，最小值为1，则f(x)的解析式为_【答案】x，或x (2)二次函数：三种形式：一般式()；顶点式()；零点式()；b0时为偶函数；区间最值：配方后一看开口方向，二讨论对称轴与区间的相对位置关系【例】若函数的定义域、值域都是2，2b，则b 【答案】2【例】设函数f(x)x22(a1)x1在区间(，4)上是减函数，则a的取值范围是_【答案】a3(3)三次函数的解析式的两种形式：一般式；零点式.【例】请画出函数yx3，yx3，yx32x2x2，yx32x2x2的图像【例】已知函数的图象如图， 则b的取值范围是 【答案】b0【例】若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 【答案】或(4)反比例函数：平移(中心为(b，a)(5)分段函数：分段处理，常转化为几个不等式组的问题；含有绝对值的函数通常可以化为分段函数注意结合函数图像来研究问题【例】设函数f(x) 若f(x0)1，则x0的取值范围是 【答案】(3，) (，1) 【例】已知f(x)是(，)上的增函数，那么a的取值范围是 【答案】(6)指数函数、对数函数：解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大于0，底数大于0且不等于1)字母底数还需分类讨论9函数是奇函数. a0时，区间上为增函数，a0时，在递减，在递增若对勾函数的定义域为时，求函数的最值？(当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性)【例】已知a0，求函数y的最小值【答案】0a1时，ymin2；a1时，ymin10研究函数的性质时一定要在定义域内进行(优先考虑定义域)【例】已知在0，1上是x的减函数，则a的范围_ABDC【答案】(1，2)提醒：要特别注意端点【例】周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，圆的半径 为x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式为f(x) 【答案】(2)x2lx，（0x【例】函数f(x)lg的定义域是 【答案】2，3)(3，4) 11不等式恒成立问题：当时，分离参数，通常转化为求函数的最值问题，af(x)恒成立 af(x)max；af(x)恒成立 af(x)min；分类讨论(含参)；数形结合等【例】对一切xR恒成立，求a的范围讨论二次项系数为0了吗?【答案】a2或12不等式有解问题：af(x)有解 af(x)min；af(x)有解 af(x)max；【例】求使 (x0， y0)恒成立的a的最小值【答案】13别忘了下列求导公式：(ax) axlna，14导数应用：(1)过某点的切线不一定只有一条特别注意函数图象在某点处的切线与过某点的切线的区别，设切点是处理这类问题的基本方法【例】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】【例】曲线yx33x22x在点(1，0)处的切线方程为 ；过点(0，1)的切线方程是 【答案】yx1 ; yx1 和yx1(2)研究单调性步骤：分析定义域；求导数；解不等式得增区间；解不等式得减区间；注意的点【例】函数在 上是减函数，在 上是增函数【答案】，【例】函数在区间上单调递减，则的取值范围为 【答案】a【例】设a0，函数在上单调函数，则实数a的取值范围 【答案】0a3(3)求极值、最值步骤：求导；变形；求解；列表；作答特别提醒：若函数f (x)在定义域内可导， x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f(x0)0，f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件； 给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)【例】函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，则ab的值为 【答案】7(4)注意借助导函数图象和原函数图象解决有关导数问题【例】已知曲线在点处的导数为1，则 【答案】 【例】函数在区间上的最小值是 ；最大值是 【答案】1， e【例】一气球的半径以2cm/s的速度增加，半径为6cm时，表面积对于时间的变化率是 【答案】96三、三角函数15三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)我们规定： sin；cos；tan特别地，当r1时，siny，cosx，tan【例】在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴正半轴重合，终边在直线yx上，且x0，则sin 【答案】 16 弧长公式：l|R，扇形面积公式：Sl R|R2， 1弧度(1rad)573【例】已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积【答案】设扇形的半径为r， 弧长为l，则有 ，解得故扇形的面积为Srl4cm217 关于函数yAsin(x)，( A，0) 五点法作图；【例】函数f(x)sinx2|sinx|， x(0，2)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 【答案】(1，3)要作出yf(x)的图象，运用数形结合的思想求解 周期T 你会求三角函数的周期吗？(先化简再求)一般来说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半如ysin2x， y|cosx|，但y|tanx|的周期是，y|sinx|cosx|的周期是；函数ysin(x2)， ysin|x|是周期函数吗？(都不是)【例】函数y|sinx|cosx1的最小正周期与最大值分别为 【答案】；y作出其图象知原函数的最小正周其为2，最大值为 单调性和对称性：ysinx的单调递增区间为2k，2k(kZ)；单调递减区间为2k，2k(kZ)；对称轴为xk(kZ)；对称中心为(k，0)(kZ)ycosx的单调递增区间为2k， 2k(kZ)；单调递减区间为2k，2k(kZ)；对称轴为xk(kZ)；对称中心为(k，0)(kZ)ytanx的单调递增区间为(k，k)(kZ)；对称中心为(，0)(kZ)【例】设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x(1) 求； (2) 求函数yf(x)的单调增区间； (3) 画出函数yf(x)在区间0，上的图象 【答案】(1) 解： x是函数yf(x)的图象的对称轴， (2) 由(1)得，因此，由题意得(3) 由知x0y1010 由此画出图象 变换：ysinx ? ysin(x) ? ysin(2x) ysinx ? ysin(2x) ? ysin(2x)你知道上述两种变换过程的区别吗？【例】要得到函数ycosx的图象，只需将函数ysin(2x)的图象上所有的点 ( ) A横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度【答案】选C 将函数ysin(2x)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数ysin(x)的图象；再向左平行移动个单位长度后便得ysin(x)cosx的图象故选C 18正弦定理：2R ; 内切圆半径r ; 余弦定理：a2b2c22accosA， cosA; SabsinCbcsinAacsinB注意：你要会证明正弦定理和余弦定理【例】已知函数f(x)sincoscos2 (1) 将f(x)写成Asin(x)k的形式并求其图像对称中心的横坐标；(2) 如果ABC的三边，a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域【答案】(1)f(x)sin(x)，由sin(x)0，即x k(kZ) 得x，kZ即对称中心的横坐标为，kZ (2)由已知b2ac，cosx，又 0x，sinsin(x)1 即f(x)的值域为，119利用正、余弦定理解与三角形有关的问题时，我们要根据条件，确定使用正弦定理还是余弦定理20解三角形时，可能会出现多解的情况，一定要注意检验比如，在已知两边a，b及一边的对角A的情况下，如果A为锐角，那么可能出现以下情况(如图) absinA absinA bsinAab ab无解 一解两解 一解【例】在ABC中，(1)已知a，b，A30，求B； (2)已知a，b1，A60，求B【答案】(1)B45或135；(2)3021 注意二倍角公式的变形，如：sin2， cos2(降幂公式)【例】化简sin2() sin2()sin2【答案】原式22 掌握辅助角公式，如：sincos2sin()2cos()提醒：特殊角30，45，60，120，的三角函数值别弄错了【例】求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间【答案】(1)函数ysin4x2sinxcosxcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin2x sin2xcos2x2sin(2x)故该函数的最小正周期是当2x2k时，即xk时，y有最小值(2) 令2k2x2k，kZ解得kxk，kZ令k0时， x又0x，0x， k1时， x 又0x函数y2sin(2x)的递增区间是0， ， 23注意sincos，sincos，sincos三者间的关系【例】已知(0，)，sincos， 求的值【答案】， 因为(0，)，sincos，所以sincos，sincos，所以原式24在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点【例】设为第四象限的角，若，则tan2 【错解】填 【答案】上面解答错在由cos2得sin2时没有考虑角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取负值因而tan2也只能为负值正确答案为cos22cos22cos21cos2又为第四象限角，即2k2k2，kZ，4k324k4，kZ 即2为第三、四象限角sin2 25在三角恒等变形中应多观察，以发现角、三角函数名及式子结构的差异，选择适当的公式转化差异【例】已知则 【答案】(提示：设)【例】当0x时，函数f(x)的最小值为 【答案】f(x)4tanx4，当且仅当tanx时取等号，所以最小值为4【例】已知6sin2sincos2cos20，求sin(2)的值 【答案】解法1 由已知得(3sin2cos) (2sincos)03sin2cos0或2sincos0由已知条件可知cos20，所以，即(，)于是tan0，tansin(2)sin2coscos2sin 将tan代入上式得sin(2)解法2 由已知条件可知cos0，则a，所以原式可化为6tan2tan20 即(3tan2)(2tan1)0又(，)tan0tan，下同解法1 四、平面向量26两向量的夹角的范围：0，【例】已知向量a(2，1)，b(x，1)，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 【答案】x且x227解决向量问题有两条途径：数的角度：利用平面向量基本定理，用两个基向量表示所求向量；ABDC 建系，利用坐标运算形的角度：利用向量运算的几何意义【例】如图在ABC中，BAC120，AB1，AC2，D为BC边上一点2，则 【答案】28向量共线基本定理：ab存在实数，使得ba(a0)x1y2x2y10【例】若a(2，2)，则与a平行的单位向量的坐标为 【答案】 (，)，(， )29平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1 e12 e2特别地，12，则121是三点P，A，B共线的充要条件30在ABC中：()G为ABC的重心；0P为ABC的重心； P为ABC的垂心；向量()(0)所在直线过ABC的内心五数列对数列相关的问题要有由特殊到一般(归纳)的意识和一般到特殊的意识(演绎)31注意一定要验证a1是否包含在an中，从而考虑要不要分段提醒：处理数列问题一定不要忘了数列下标的取值范围32an等差(常数) an等比q(定值)(a10)ana1qn133常见性质：等差数列中：;；若，则；;等比数列中：; ；若，则；当q1，Snna1；当q1，Sn 34求和常法：公式、分组、裂项相消、错位相减法、倒序相加法关键是要找准通项结构差数列求和一定要确定首项、末项和项数你还记得常用裂项形式吗？ 【例】数列的n项和为 【答案】【例】数列 的的n项和为 【答案】【例】求和：【答案】提醒：求和最后一步一定要检验哦！(通常检验)35求通项常法： (1)公式法(即等差等比数列通项)(2)先猜后证【例】如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图2，如此继续下去，得图3，试探求得个图形的边长和周长 【答案】(3)叠加法(迭加法)：；叠乘法(迭乘法)：【例】已知，求 【答案】36研究数列的单调性的方法：(1) (2) ；(3) 增减性，转化为研究函数的增减性，如【例】若，求数列中的最大项【答案】a3 六、不等式37在使用基本不等式求最值时，要注意到条件“一正、二定、三相等”；在解答题，遇到利用基本不等式求最值的问题，要交待清楚取等号的条件【例】(1)已知0x1y，则logxylogyx的值域是 【答案】(，2 (2)函数f(x)的值域是 【答案】，) 38不等式的解集，通常写成区间或集合的形式七、立体几何39证明共面、共线、共点问题时，通常运用定义、定理，做到言之有理，不能想当然40注意区分三棱锥、三棱柱、四面体、正三棱锥、正四面体体积计算要证明相关线段是高(即线面垂直)，锥体体积公式中不要忘记乘以41解立体几何问题时，作图要清楚明白，定理的运用一定要完整，要注意条件的充分性，结论的准确性，证明要严谨规范，计算要科学精确关于折叠问题，要认清平面图形与立体图形之间的对应关系【例】在ABC中，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点将ABD沿着AD折起到ABD的位置，连结BC(如图) (1)若平面A BD平面AD C，求三棱锥BAD C的体积； (2)记线段BC的中点为H，平面BED与平面HFD的交线为，求证：HF；(3)求证：ADBE42角范围两条异面直线所成的角090直线与平面所成的角090二面角0180八、解析几何43直线的倾斜角范围是：0，)，当90时，斜率不存在【例】已知直线l过P(1，2)，且与以A(2，3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围 【答案】 (，5，) 44直线方程的几种形式：点斜式：yy0k(xx0)；斜截式：ykxb；两点式：；截距式：1(a0，b0)；一般式：AxByC0(A2B20)要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解【例】若直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，且过点(1，2)，则此直线方程为 【答案】x2y50或y2x45两条直线的平行和垂直：设和；【例】若两条直线，平行，则m 【答案】246一定要会证明点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离：d47圆的方程：标准方程：(xa)2(yb)2r2；一般方程：x2y2DxEyF0()；以线段P1P2为直径的圆方程：(xx1)(xx2) (yy1)(yy2)0【例】求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程【答案】x2y22x6y10或 x2y22x6y1048注意椭圆与双曲线的定义中的限制条件；注意其标准方程中a，b，c关系【例】若1表示椭圆，则m，n应满足的关系是 【答案】m0，n0，mn【例】抛物线y4x的焦点坐标是 【答案】(0，) 49求圆锥曲线的标准方程时，一定要先定位，再定量【例】已知椭圆的离心率为，且过点(2，3)，求椭圆的标准方程【答案】 1和 150由于圆锥曲线的有界性，要注意曲线上的点的坐标就有了限制九、概率51古典概型：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同；古典概型最基本的方法是枚举法.【例】将一颗色子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：(1)点数之和为3的倍数的概率是多少？ (2)点数之和为4的倍数的概率是多少？【答案】；52几何概型：所有的基本事件有无限个； 每个基本事件发生的可能性相同53超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，随机的抽检n件时所得次品数Xr，则P(Xr)则称这个X服从超几何分布E(X)54二项分布：重复n次的伯努利试验，每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的，是独立的，如果事件A发生的概率是p，则不发生的概率q1p，则N次独立重复试验中A发生k次的概率是P(Xk)CpkqnkE(X)np，V(X)np(1p)【例】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望【答案】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai ，Bi ，Ci ，i1，2，3由题意，知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立， A i，B j，C k(i，j，k1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P (A i)，P(B j) ，P(C k)(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P3! P (A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知所以 故X的分布列是X的数学期望是55标准差为方差的算术平方根，即十、排列、组合、二项式定理(理科用)56记住公式：；组合数性质：(1) CC (2) CC C (3) 57计数问题主要解题策略：优先法(特殊元素或特殊位置优先考虑)先选再排，先分再排【例】从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个(用数字作答)【答案】将问题分成三类：(1)含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C13C24种方法，将5排在末位，则组数的过程有种方法，依据分步计数原理得这一类共有108个；(2)含数字0，不含数字5，则选元素的过程有种方法，将0排在末位，则组数过程有种方法，这一类共有72个；(3)含数字0，也含数字5，则选元素的过程有，若0在末位，则组数过程有种方法，若0不在末位，则组数过程有种种这类共有()120个根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有10872120300个58二项式定理注意系数和二项式系数的区别，通项公式：第r1项为 T r1【例】(2x)9的展开式中，常数项为 (用数字作答)【答案】T r1C9r(2x)9r( )rC9r(1)r29rx9r，令9r0，解得r6常数为第7项，为23(1)6C698C39672 填672十一、复数59基本概念：复数的实部和虚部指什么？纯虚数是什么？共轭复数是什么？【例】当实数m为何值时，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限？【答案】(1) m2；(2)m2且m3；(3)m3；(4)m3或2m360基本解题方法：复数问题实数化，转化为对实部和虚部的实数运算；数形结合(利用几何意义解题)同学们：高考既是我们展示自我的一次机会，也是一次重大的考验考试时由于时间紧，题目量多、有一定的难度，又由于考试成绩直接影响着升学情况，与前途命运有较大的联系，所以容易出现紧张，粗心大意，简单问题做错等问题其实，这些都是正常的！即使是再优秀的学生，也难免这类错误我们要注意总结反思，考前做好适当的准备，尽量使紧张、粗心大意等低级错误少发生或不发生在此给同学们提个醒(1) 自信坦然，是避免错误的有效途径通过长时间的学习和有计划的复习，同学们己经积累了丰富的解题和考试经验了，己经有了较强的实力，所以应对自己有信心产生粗心大意的一个重要原因是自信心不