湖南省长沙市高三数学 研讨会资料 捕捉数学思考的原生态.doc_第1页
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文档简介

捕捉创造性思维的原生态从本质上来说,所有的数学解题都是转化与化归的过程，将未知化为已知、从条件得出结论、变抽象为具体。当然，这个过程有高低级别之分，低级别的就是因循基本套路，高级别的属于创造性思维。高考数学要取得高分，创造性思维必不可少。如何捕捉创造性思维的原生态？这是高三后期数学能力突破的核心要素。本文通过对一道高考真题的思考过程的剖析，探讨这一问题: 已知数列满足，当nn+时,求证:ann-2;tn3.乍看第（1）小题，感觉不会有多大难度，不就是证明数列的后一项比前一项小吗？况且往往高考解答题的第(1)题也是“送分题”呀!如何由条件推得anan+1，即an-an+10呢？注意到条件给出的递推式是平方关系，可将证明an-an+10，转化为证明an2-an+120.由an+12+an+1-1=an2可立得 an+12-an2=1-an+1 由可知,问题就转化为证明1-an+10了.由n的任意性,可知即是要证这个数列的每一项都比1小,即an1(nn+).事实上，a1=01显然成立.若an1，则易得an+12+an+1-1=an21 ,即 an+12+an+1-20 由可知an+1n-2.由或许容易想到数列求和的一个基本技巧累差迭加法,即由得 an2-an-12=1-an; an-12-an-22=1-an-1; a22-a12=1-a2; a12=1-1=0以上各式全部相加,即得an2=n-a2+a3+an-1,即an2=n-sn-1.结合（1）中所证结论ann-2.对于第(3)小题，关键在于化简tn=11+a1+11+a11+a2+1(1+a1)(1+a2)(1+an).肯定要对算式进行放缩处理，只是如何放缩并不是十分容易想到的，需要创造性思维.具体的探索过程中或许会联想到熟悉的题目：已知a2,证明：1+1a+1+1a2+1+1an+12.解题的关键也是“求和”1+1a+1+1a2+1+1an+1，但由于式子1ak+1不好变形,因而考虑将不等式左边适当放大转化为等比数列前n项求和,即1+1a+1+1a2+1+1an+11+a2,1+a41+a2,1+an1+a2,因而可得 tn1+11+a2+(11+a2)2+(11+a2)n=11-11+a2n1-11+a211-11+a2=1+1a2.由a22+a2-1=a12=0,解得a2=5-12,代入上式即可得tn3.解题是高考中数学能力的唯一表现形式.解题训练则是高三数学能力发展的一条重要途径.解题训练的功能不外乎三个方面:加强对数学模型的认识;积累数学思考经验;熟练掌握和运用数学知识方法.要实现这个目标,除保证知识结构的完整性和解题训练保证必要的量之外,善于进行解题后的反思,捕捉解题过程中创造性思维的原生态,是十分有效的途径.“题目的结构特点是什么？题目的表述能换一个说法吗
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