辽宁省锦州中学高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省锦州中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1已知u=1，2，3，4，5，6，m=1，3，4，5，n=2，4，5，6，则（）amn=4，6bmn=uc（un）m=ud（um）n=n2设z=1i，则+z2=（）a1ib1icl+idl+i3在abc中，角a，b，c的对应边分别为a，b，c，若，则角c的值为（）abc或d或4已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）am2bm4cm5d5m45在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；ai=i（i=0，1，2，3，4）则此程序执行后输出的s值为（）a26b49c52d986给出下列四个命题：（1）若且、都是第一象限角，则tantan；（2）“对任意xr，都有x20”的否定为“存在x0r，使得0”；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（p）q为真命题；（4）函数是偶函数其中真命题的个数是（）a1b2c3d47函数y=3|log3x|的图象是（）abcd8设a=ln3，则a，b，c的大小关系为（）aabcbcabccbadbac9abc的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合m，现从集合m中任取一x值，所得abc恰好是钝角三角形的概率为（）abcd10一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）a mb2mc4.5md9m11椭圆（m1）与双曲线（n0）有公共焦点f1，f2p是两曲线的交点，则=（）a4b2c1d12点p是曲线y=x2ln x上任意一点，则点p到直线y=x+2的最小距离为（）abc2d2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13从编号为001，002，800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最小的两个编号分别为008，033，则样本中最大的编号应该是14已知某几何体的三视图如图所示，（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为15已知abc，点a（2，8）、b（4，0）、c（4，6），则abc的平分线所在直线方程为16已知双曲线c：，a、b是双曲线上关于原点对称的两点，m是双曲线上异于a、b的一点，直线ma、mb的斜率分别记为k1，k2，且k13，1，则k2的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知x2+y2=9的内接三角形abc中，a点的坐标是（3，0），重心g的坐标是，求：（）直线bc的方程；（）弦bc的长度18已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证明：数列是等比数列； （）数列的前n项和sn19已知a，b，c为锐角abc的三个内角，向量=（22sina，cosa+sina），=（1+sina，cosasina），且（）求a的大小；（）求y=2sin2b+cos（2b）取最大值时角b的大小20甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（i）至少有一人面试合格的概率；（）没有人签约的概率21已知函数（）若f（x）在（1，+）上是增函数，求k的取值范围；（）当x0时，f（x）ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值22设椭圆c： +=1（ab0）的左焦点为f，上顶点为a，过点a与af垂直的直线分别交椭圆c与x轴正半轴于点p、q，且=（1）求椭圆c的离心率；（2）若过a、q、f三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆c的方程2015-2016学年辽宁省锦州中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1已知u=1，2，3，4，5，6，m=1，3，4，5，n=2，4，5，6，则（）amn=4，6bmn=uc（un）m=ud（um）n=n【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：由补集的定义可得um=2，6，则（um）m=1，2，3，4，5，6=u，故选：c【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2设z=1i，则+z2=（）a1ib1icl+idl+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】把z=1i代入+z2，然后利用复数代数形式的乘除运算化简【解答】解：z=1i，+z2=1+i2i=1i故选：b【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的运算题3在abc中，角a，b，c的对应边分别为a，b，c，若，则角c的值为（）abc或d或【考点】余弦定理【专题】计算题；转化思想；解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosc，将已知等式代入求出cosc的值，即可确定出c的度数【解答】解：abc中，a2+b2c2=ab，cosc=，则c=，故选：a【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）am2bm4cm5d5m4【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x20，x1x20，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围【解答】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：x1+x2=（m+2）0，x1x2=m+50解得：5m2，又由0得，m4，或m4，故：5m4故选d【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组，是解答本题的关键5在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；ai=i（i=0，1，2，3，4）则此程序执行后输出的s值为（）a26b49c52d98【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=0时不满足条件k0，退出循环，输出s的值为98【解答】解：模拟执行程序框图，可得第1次执行循环体，k=3，s=3+42=11，满足条件k0，第2次执行循环体，k=2，s=2+112=24，满足条件k0，第3次执行循环体，k=1，s=1+242=49，满足条件k0，第4次执行循环体，k=0，s=0+492=98，不满足条件k0，退出循环，输出s的值为98故选：d【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键6给出下列四个命题：（1）若且、都是第一象限角，则tantan；（2）“对任意xr，都有x20”的否定为“存在x0r，使得0”；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（p）q为真命题；（4）函数是偶函数其中真命题的个数是（）a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：（1）若且、都是第一象限角，比如=，=，则tan=tan，故（1）错；（2）这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，是真命题，q：正数的对数都是负数，为假命题，则（p）q为假命题，不正确；（4）函数是奇函数，不正确故选：a【点评】本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强7函数y=3|log3x|的图象是（）abcd【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】作图题；转化思想【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的【解答】解：y=3|log3x|=，即y= 由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，考察四个选项，只有a选项符合题意， 故选a【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的8设a=ln3，则a，b，c的大小关系为（）aabcbcabccbadbac【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解【解答】解：a=ln3lne=1，0=1，ln1=0，cba故选：c【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用9abc的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合m，现从集合m中任取一x值，所得abc恰好是钝角三角形的概率为（）abcd【考点】几何概型【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】根据abc的三边长度分别是2，3，x，1x5，区间长度为4，abc恰好是钝角三角形，x的取值范围是（1，）（，5），区间长度为（4+），即可求出概率【解答】解：由题意，abc的三边长度分别是2，3，x，1x5，区间长度为4，abc恰好是钝角三角形，x的取值范围是（1，）（，5），区间长度为（4+），从集合m中任取一x值，所得abc恰好是钝角三角形的概率为故选：a【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题学生在做题时应注意钝角三角形这个条件10一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）a mb2mc4.5md9m【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），由题意知抛物线过点（2，2），进而求得p，得到抛物线的标准方程进而可知当y0=3时x02的值，最后根据水面宽为2|x0|求得答案【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），由题意知，抛物线过点（2，2），4=2p2p=1x2=2y当y0=3时，得x02=6水面宽为2|x0|=2【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题11椭圆（m1）与双曲线（n0）有公共焦点f1，f2p是两曲线的交点，则=（）a4b2c1d【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2n2=2，根据双曲线和椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2m，|pf1|pf2|=2n，pf1f2 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由pf1f2的面积公式即可运算得到结果【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m21=n2+1，即m2n2=2不妨令p在双曲线的右支上，由双曲线的定义|pf1|pf2|=2n，由椭圆的定义|pf1|+|pf2|=2m，2+2得|pf1|2+|pf2|2=2n2+2m2，|pf1|pf2|=m2n2=2，cosf1pf2|=0，f1pf2的形状是直角三角形pf1f2的面积为pf1pf2=2=1故选c【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来12点p是曲线y=x2ln x上任意一点，则点p到直线y=x+2的最小距离为（）abc2d2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论【解答】解：设p（x，y），则y=2x（x0）令2x=1，则（x1）（2x+1）=0，x0，x=1y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得d=故选：b【点评】本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13从编号为001，002，800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最小的两个编号分别为008，033，则样本中最大的编号应该是783【考点】系统抽样方法【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论【解答】解：样本中编号最小的两个编号分别为008，033，样本数据组距为338=25，则样本容量为=32，则对应的号码数x=8+25（n1），当n=32时，x取得最大值为x=8+2531=783，故答案为：783【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础14已知某几何体的三视图如图所示，（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为4+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】由三视图知该几何体是高为2的正四棱锥，结合图中数据求出它的全面积【解答】解：由三视图可知，该几何体是高为2的正四棱锥，且正四棱锥的底面边长为2；所以四棱锥侧面三角形的高为=，侧面三角形的面积为2=；又底面面积为22=4，所以该几何体的全面积为s=4+4=4+4故答案为：【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是基础题目15已知abc，点a（2，8）、b（4，0）、c（4，6），则abc的平分线所在直线方程为x7y+4=0【考点】待定系数法求直线方程【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】先求出三角形abc是等腰直角三角形，作出abc的角平分线bd，求出d点坐标，bd的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可【解答】解：如图示：，kab=，kbc=，abbc，|ab|=10，|bc|=10，|ab|=|bc|，abc是等腰直角三角形，作出abc的角平分线bd，直线bd是线段ac的垂直平分线，d是ac的中点，d（3，1），由kac=7得：kbd=，直线bd的方程是：y=1=（x3），整理得：x7y+4=0，故答案为：x7y+4=0【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于基础题16已知双曲线c：，a、b是双曲线上关于原点对称的两点，m是双曲线上异于a、b的一点，直线ma、mb的斜率分别记为k1，k2，且k13，1，则k2的取值范围是3，1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出点a，点m，点b的坐标，求出斜率，将点a，b的坐标代入方程，两式相减，再结合k13，1，即可求得结论【解答】解：由题意，设a（x1，y1），m（x2，y2），则b（x1，y1）k1k2=，=1，=1，两式相减可得=3k13，1，k23，1故答案为：3，1【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知x2+y2=9的内接三角形abc中，a点的坐标是（3，0），重心g的坐标是，求：（）直线bc的方程；（）弦bc的长度【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出bc边上中点d的坐标，及bc所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案（）求出圆心到bc所在直线的距离，即可求出弦bc的长度【解答】解：（i）设b（x1，y1），c（x2，y2），则由已知得；y1+y2=3所以bc中点坐标为，故所以bc所在直线方程为：，即4x8y15=0（ii）由（i）得圆心到bc所在直线的距离为 所以弦bc的长度为【点评】本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程属于中档题18已知数列an的首项，n=1，2，3，（）证明：数列是等比数列； （）数列的前n项和sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）由，两边取倒数可得：，变形为，即可证明；另解：设，则，可得，即可证明（）由（）知：，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（），两边取倒数可得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列另解：设，则，所以，得 2bn+1=bn，而，所以命题得证（）由（）知，即，【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“取倒数法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知a，b，c为锐角abc的三个内角，向量=（22sina，cosa+sina），=（1+sina，cosasina），且（）求a的大小；（）求y=2sin2b+cos（2b）取最大值时角b的大小【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值【专题】计算题【分析】（）根据两向量的垂直，利用两向量的坐标求得（22sina）（1+sina）+（cosa+sina）（cosasina）=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosa的值，进而求得a（）根据a的值，求得b的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后利用b的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时b的值【解答】解：（），（22sina）（1+sina）+（cosa+sina）（cosasina）=02（1sin2a）=sin2acos2a2cos2a=12cos2acos2a=abc是锐角三角形，cosa=a=（）abc是锐角三角形，且a=，b=1cos2bcos2b+sin2b=sin2bcos2b+1=sin（2b）+1当y取最大值时，2b=，即b=【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，向量的基本性质考查了学生对基础知识的掌握和基本的运算能力20甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（i）至少有一人面试合格的概率；（）没有人签约的概率【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件【专题】计算题【分析】（i）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格，根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果（ii）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果【解答】解：用a，b，c分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知a，b，c相互独立，且p（a）=p（b）=p（c）=（）至少有1人面试合格的概率是（ii）没有人签约的概率为=【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约”，这里容易漏掉结果21已知函数（）若f（x）在（1，+）上是增函数，求k的取值范围；（）当x0时，f（x）ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）若f（x）在（1，+）