（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量的运算及应用习题 理.doc

第6节空间向量的运算及应用【选题明细表】知识点、方法题号夹角和距离5,8空间向量的线性运算3,4,7空间向量的坐标运算及数量积2,6,9,10,11综合问题1,12,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知点o,a,b,c为空间不共面的四点,且向量a=oa+ob+oc,向量b=oa+ob-oc,则与a,b不能构成空间基底的向量是(c)(a)oa (b)ob(c)oc (d)oa或ob解析:根据题意得oc=12(a-b),所以oc,a,b共面.构成空间向量基底的向量不共面.所以选c.2.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x等于(b)(a)(0,3,-6) (b)(0,6,-20)(c)(0,6,-6) (d)(6,6,-6)解析:由b=12x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).3. 如图,已知空间四边形oabc,其对角线为ob,ac,m,n分别是对边oa,bc的中点,点g在线段mn上,且分mn所成的比为2,现用基向量oa,ob,oc表示向量og,设og=xoa+yob+zoc,则x,y,z的值分别是(d)(a)x=13,y=13,z=13(b)x=13,y=13,z=16(c)x=13,y=16,z=13(d)x=16,y=13,z=13解析:设oa=a,ob=b,oc=c,因为g分mn所成的比为2,所以mg=23mn,所以og=om+mg=om+23(on-om)=12a+23(12b+12c-12a)=12a+13b+13c-13a=16a+13b+13c.4. 如图所示,在平行六面体abcda1b1c1d1中,m为a1c1与b1d1的交点.若ab=a,ad=b,aa1=c,则下列向量中与bm相等的向量是(a)(a)-12a+12b+c(b)12a+12b+c(c)-12a-12b+c(d)12a-12b+c解析:bm=bb1+b1m=aa1+12(ad-ab)=c+12(b-a)=-12a+12b+c.5.(2016福州质检)正方体abcda1b1c1d1的棱长为a,点m在ac1上且am=12mc1,n为b1b的中点,则|mn|为(a)(a)216a (b)66a(c)156a (d)153a解析:以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,则a(a,0,0),c1(0,a,a),n(a,a,a2).设m(x,y,z).因为点m在ac1上且am=12mc1,所以(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),所以x=23a,y=a3,z=a3.所以m(2a3,a3,a3),所以|mn|=(a-23a)2+(a-a3)2+(a2-a3)2=216a.故选a.6.(2016西安质检)已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a,点e,f分别是bc,ad的中点,则aeaf的值为(c)(a)a2 (b)12a2(c)14a2 (d)34a2解析:aeaf=12(ab+ac)12ad=14(abad+acad)=14(a2cos 60+a2cos 60)=14a2.选c.7.已知g是abc的重心,o是空间与g不重合的任一点,若oa+ob+oc=og,则等于(b)(a)1(b)3(c)13(d)2解析:若设bc边的中点为m,则oa+ob+oc=oa+2om=og+ga+2om=og+2mg+2om=3og,所以=3.8. 如图,在大小为45的二面角aefd中,四边形abfe,cdef都是边长为1的正方形,则b,d两点间的距离是(d)(a)3 (b)2(c)1 (d)3-2解析:因为bd=bf+fe+ed,所以|bd|2=|bf|2+|fe|2+|ed|2+2bffe+2feed+2bfed=1+1+1-2=3-2,故|bd|=3-2.9.导学号 18702390在空间直角坐标系中,以点a(4,1,9),b(10,-1,6),c(x,4,3)为顶点的abc是以bc为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.解析:由题意知abac=0,|ab|=|ac|,又ab=(6,-2,-3),ac=(x-4,3,-6),所以6(x-4)-6+18=0,(x-4)2=4,解得x=2.答案:210.已知点a(1,2,1),b(-1,3,4),d(1,1,1),若ap=2pb,则|pd|的值是.解析:设p(x,y,z),所以ap=(x-1,y-2,z-1),pb=(-1-x,3-y,4-z),由ap=2pb得点p坐标为(-13,83,3),又d(1,1,1),所以|pd|=773.答案:77311.已知o(0,0,0),a(1,2,3),b(2,1,2),p(1,1,2),点q在直线op上运动,当qaqb取最小值时,点q的坐标是.解析:由题意,设oq=op,即oq=(,2),则qa=(1-,2-,3-2),qb=(2-,1-,2-2),所以qaqb=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6(-43)2-23,当=43时有最小值,此时q点坐标为(43,43,83).答案:(43,43,83)能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702391a,b,c,d是空间不共面的四点,且满足abac=0,acad=0,abad=0,m为bc的中点,则amd是(c)(a)钝角三角形(b)锐角三角形(c)直角三角形(d)不确定解析:因为m为bc的中点,所以am=12(ab+ac).所以amad=12(ab+ac)ad=12abad+12acad=0.所以amad,amd为直角三角形.13. 导学号 18702393如图所示,已知空间四边形oabc,ob=oc,且aob=aoc=3,则cos的值为.解析:设oa=a,ob=b,oc=c,由已知条件=3,且|b|=|c|,oabc=a(c-b)=ac-ab=12|a|c|-12|a|b|=0,所以oabc,所以cos=0.答案:014.导学号 18702392已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点a(-3,-1,4),b(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线ab上,是否存在一点e,使得oeb?(o为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-5)2+52=52.(2)令ae=tab(tr),所以oe=oa+ae=oa+tab=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若oeb,则oeb=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95.所以-3+t=-65,-1-t=-145,4-2t=25,因此存在点e,使得oeb,此时e点的坐标为(-65,-145,25).15.导学号 18702394正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长都为2,d为cc1的中点.求证:ab1平面a1bd.证明: 如图所示,取bc的中点o,连接ao.因为abc为正三角形,所以aobc.因为在正三棱柱abc-a1b1c1中,平面abc平面bcc1b1,所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1,以o为原点,以ob,oo1,oa为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则b(1,0,0),d(-1,1,0),a1(0,2,3),a(0,0,3),b1(1,2,0).ba1=(-1,2,3),bd=(-2,1,0).设平面a1bd的法向量为n=(x,y,z),因为nba1,nbd,故nba1=0,nbd=0-x+2y+3z=0,-2x+y=0.令x=1,得y=2,z=-3,故n=(1,2,-3)为平面a1bd的一个法向量.而ab1=(1,2,-3),所以ab1n.故ab1平面a1bd.16. (2016青岛模拟)如图,在多面体abc-a1b1c1中,四边形a1abb1是正方形,ab=ac,bc=2ab,b1c112bc,二面角a1-abc是直二面角.求证:(1)a1b1平面aa1c;(2)ab1平面a1c1c.证明: 因为二面角a1-ab-c是直二面角,四边形a1abb1为正方形,所以aa1平面bac.又因为ab=ac,bc=2ab,所以cab=90,即caab,所以ab,ac,aa1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系axyz,设ab=2,则a(0,0,0),b1(0,2,2),a1(0,0,2),c(2,0,0),c1(1,1,2).(1)a1b1=(0,2,0),a1a=(0,0,-2),ac=(2,0,0),设平面aa1c的一个法向量n=(x,y,z),则na1a=0,nac=0,即-2z=0,2x=0,即x=0,z=0,取y=1,则n=(0,1,0).所以a1b1=2n,即a1b1n.所以a1b1平面aa1c.(2)易知ab1=(0,2,2),a1c1=(1,1,0),a1c=(2,0,-2),设平面a1c1c的一个法向量m=(x1,y1,z1),则ma1c1=0,ma1c=0,即x1+y1=0,2x1-2z1=0,令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以ab1m=01+2(-1)+21