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第十二章 全等三角形12.2三角形全等的判定 第2课时三角形全等的判定(二)(ZT)图12220教材母题第43页习题12.2第2题如图12220所示，ABAC，ADAE.求证：BC.【模型建立】解决此类问题要想方设法先证明出三角形全等所需的条件利用“SAS”证明两个三角形全等要充分利用公共角或对顶角等相等条件，有时还要注意等式性质的应用【变式变形】1如图12221，ADAE，EABDAC，ABAC.求证：BC.提示：证明ABD和ACE全等图12221图12222图122232如图12222所示，已知ABAC，12，ADAE.求证：CB.提示：证明ABD和ACE全等3已知：如图12223，点D在AC上，点E在AB上，AEAD，BD，CE相交于点O，连接AO，12.求证：BC.证明：在AEO和ADO中，AEOADO(SAS)，AEOADO(全等三角形对应角相等)AEOEOBB，ADODOCC(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和)，EOBBDOCC(等量代换)又EOBDOC(对顶角相等)，BC(等式的性质)图122244如图12224，点B，E，C，F在一条直线上，ABDE，ABDE，BECF，AC6，求DF的长DF6)5AD是ABC的中线，AB6，AC8，求AD的取值范围答案：1AD7命题角度1 直接利用“SAS”证明三角形全等(1)公共边(角)、对顶角等隐含条件不可忽视；(2)在书写两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角图12225例已知：如图12225，ABCB，ABDCBD，ABD和CBD全等吗？解：全等，因为ABCB，ABDCBD，BDBD，所以ABDCBD.命题角度2 利用“SAS”及全等三角形的性质证明线段相等此类问题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法图12226例云南中考 如图12226，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，ADBC，DABCBA，求证：ACBD.证明：在ABC和ABD中，ABCABD(SAS)ACBD.命题角度3 利用“SAS”及全等三角形的性质证明角相等及其他问题利用全等解决问题的思路：(1)从已知出发，探究要证明的相等的线段或角分别在哪两个全等三角形中；(2)分解图形将所证全等三角形从“复合”图形中分离出来；(3)“移植”条件将已知转移至图形，再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法图12227例武汉中考 如图12227所示，AC和BD相交于点O，OAOC，OBOD.求证：DCAB.证明：在AOB和COD中，OAOC，AOBCOD，OBOD，AOBCOD.AC，AB/CD.命题角度4 添加辅助线利用“SAS”解决综合性问题综合考查全等三角形的判定与性质的题目，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是这类问题的难点利用全等三角形解决问题要注意综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算例德州中考 问题背景：如图12228所示，在四边形ABC中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；图12228探索延伸：如图，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E，F分别是BC，CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离解：问题背景：EFBEFD探索延伸：EFBEFD仍然成立理由：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，BADC180，ADGADC180，BADG.又ABAD，ABEADG.AEAG，BAEDAG.又EAFBAD，FAGFADDAGFADBAEBADEAFBADBADBAD，EAFGAF.AEFAGF.EFFG.又FGDGDFBEDF.EFBEFD.图12230实际应用：如图12230，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，AOB309020140，EOF70AOB，又OAOB，OACOBC60120180，符合探索延伸中的条件，结论EFAEFB成立即EFAEFB1.5(6080)210(海里)答：此时两舰艇之间的距离为210海里当堂检测1. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PN与QM互相平分，则只需测出其长度的线段是（ ） A B. C D 2.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使ABCDEF，还需要添加一个条件是（）A.BCA=F B.B=E CBCEF D. A=EDF 3. 如图，a、b、c分别表示ABC的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是（） A B C D4. 如图，在AEC和DFB中，点A、B、C、D在同一条直线上.有如下关系式： AB=CD. CE=BF.再增加一个条件使ACEDBF，这个条件是_.5. 已知线段：a、 b和，求作：ABC， 使CB= a，CA= b, ACB=.参考答案1. B 2. B 3. B4. ACE =DBF或AE=DF 5. 略 例析全等三角形中的开放性问题近年来，一些极富有创造性、开放性的新颖题型以崭新的面貌出现.现以全等三角形为例，归类浅析加以说明：一、条件开放型例1.如图，已知点C是AOB的平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上.如果要得到OP=OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为_OCP=OCP； OPC=OPC；PC=PC； PPOC分析：若分别添加、，皆可判定POCPOC,从而有OP=OP；若添加，则POC与POC中有SSA，因而不能判定两者相等，故本题答案为、.评：此题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，补充所缺少的条件.由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件.二、结论开放题例2.如图，AB=AD，BC=CD，AC和BD相交于E.由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论.（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1： 结论2： 结论3：分析：由已知条件不难得到ABCADC、ABEADE、BECDEC，同时有DAEBAE、DCABCA、ADCABC，AC平分DAB与DCB且垂直平分DB等，以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后的结论.评：此题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结论.可解的思路具有多项的发散性.注：结论还有许多，请有兴趣的读者再探索.三、全面开放题例3.如图，在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BDBE.（1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明.你添加的条件是：_ 证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程分析：（1）在BEA和BDC中，已有一边及一角对应相等，即BDBE、DBCEBA，要使两个三角形全等，可根据SAS加上条件ABCB或ADCE；也可根据ASA加上条件BEABDC，总之，在添加条件的过程中要遵循三角形全等的原则.（2）在BEABDC的基础上，易得ADFCEF、DAFEFC、ADCE，从而有DFAEFC同时又不难得到DCAEAC.评： 本题是条件和结论同时开放的一道好题，题目本身并不复杂，但开放程度很高，能激起学生的发散思维，值得重视.四、猜想开放题例4.如图，已知为ABC等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程分析:（1）观察图形猜想：AE=BF=CD，AF=BD=CE. 事实上，因为ABC与DEF都是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得到A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD 又CED+AEF=120，CDE+CED=120AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， AEFBFDCDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE （2）这些相等的线段可以看成经过平移、旋转而得到.如AE与BF，把AE绕着A点顺时针旋转60，再沿着AB方向平移使A点至F点即可得BF，其余类同评：此题为探究、猜想、并证明的试题，我们要认真观察，作出判断再加以说明；本题难度不大，但结构较新，改变了过去的固有模式. 五、拼图开放题例5.一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.（1）求证ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.分析:（1）在已知条件的背景下，显然有ABCDEF，故AD；又ANPDNC，因而不难得APNDCN90，即ABED.（2）由ABED可得BPDEFD90，又BPBC及BPDCBA,根据ASA有BPDCBA，在此基础