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高三数学总复习第2轮 立体几何专题复习 立体几何复习提要 1 线面关系中的平行与垂直 2 空间中的角与距离 3 高考题型分类解析 平行与垂直 平行 线线平行 线面平行 面面平行 线线平行判定 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 1 定义 如果两条直线在同一平面内 且没有公共点 则这两条直线平行 2 初中所学的判定方法 两条直线在同一平面内 3 平行公理4 4 线面平行的性质定理 线线平行判定 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 5 面面平行的性质 如果两个平面和第三个平面相交 则交线平行 6 线面垂直性质 如果两条直线同时垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 7 利用距离 如果一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等 那么这两条直线平行 8 利用所成角 如果两条直线与一个平面所成角相等且方向相同 那么这两条直线平行 1 定义 直线和平面没有公共点 2 判定定理 平面外一条直线和平面内一条直线平行 则这条直线和这个平面平行 3 面面平行的性质 两个平面平行 则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 线面平行判定 4 利用垂直 如果一条直线和一个平面分别与另一个平面垂直 且直线不在这个平面内 则这条直线和这个平面平行 5 利用平行 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行且不在另一个平面内 则这条直线与另一个平面平行 6 利用距离 一条直线垂直于一个平面 同时垂直于另一条直线 则另一条直线平行于这个平面 线面平行的性质 1 性质定理 如果一条直线与一个平面平行 过这条直线的平面与已知平面相交 那么这条直线与交线平行 2 如果一条直线与一个平面平行 那么这条直线与这个平面没有公共点 3 如果一条直线与两个相交的平面都平行 那么这条直线与交线平行 4 如果一条直线与一个平面平行 另合乎一条直线与这个平面垂直 那么这两天天条直线垂直 5 如果一条直线与一个平面平行 事实不则这条直线与平面所成的角为零度 6 如果一条直线与一个平面平行 则这就日条直线上的所有的点到这个平面的距各个离相等 面面平行判定 1 定义 如果两个平面没有公共点 则这两个平面平行 2 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 那么这两个平面平行 3 推论 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行 那么这两个平面平行 4 利用线面垂直 如果两个平面分别垂直于同一条直线 那么这两个平面平行 5 利用面面平行 如果两个平面都平行于第三个平面 那么这两个平面平行 6 利用距离 如果一个平面上的所有点到另一个平面的距离相等 那么这两个平面平行 面面平行的性质 1 如果两个平面平行 那么这两个平面没有公共点 2 如果两个平面平行且都与第三个平面相交 则交线平行 3 如果两个平面平行 则其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 4 如果两个平面平行 且其中一个平面与一条直线垂直 则另一个平面与这条直线也垂直 5 如果两个平面平行 那么这两个平面所成的角为零度 6 如果两个平面平行 则其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等 7 夹在两个平行平面间的平行线段相等 平行与垂直 垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直判定 线面垂直判定 线面垂直性质 面面垂直判定 面面垂直性质 线线垂直判定 1 利用线线平行 一条直线垂直于两条平行线中的一条 则垂直于另一条 2 利用勾股定理逆定理 3 利用等腰三角形性质 4 利用平面图形性质 5 线面垂直的性质 6 利用线面垂直 线面平行 7 利用三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂直 反之也成立 线面垂直判定 1 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 3 面面垂直的性质 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 4 面面垂直推论 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 5 面面平行性质 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 线面垂直性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 3 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 6 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 7 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 推论 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 面面垂直判定 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推论 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 面面垂直性质 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化2 垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如 有两个平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 1 已知a b c是三条不重合的直线 是三个不重合的平面 试判断下面六个命题的正误 1 4 A l B C m 且m D m 或m D 例3 已知PA 平面ABCD 四边形ABCD是矩形 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN 平面PAD 2 求证 MN CD 3 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为 问能否确定 的值 使得MN是异面直线AB与PC的公垂线 例4 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 2AA1 AB 点E M分别为A1B C1C的中点 过A1 B M三点的平面交C1D1于点N 1 求证 EM 平面A1ND1 2 求二面角B A1N B1的正切值 例5 正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都相等 D E分别是CC1和AB1的中点 点F在BC上且满足BF FC 1 3 1 若M为AB中点 求证 BB1 平面EFM 2 求证 EF BC 3 求二面角A1 B1D C1的大小 1 若D是BC的中点 求证 AD CC1 2 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M 若AM MA1 求证 截面MBC1 侧面BB1C1C 3 AM MA1是截面MBC1 平面BB1C1C的充要条件吗 请你叙述判断理由 例6 在斜三棱柱A1B1C1 ABC中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面BB1C1C 底面ABC 1 若D是BC的中点 求证 AD CC1 2 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M 若AM MA1 求证 截面MBC1 侧面BB1C1C 3 AM MA1是截面MBC1 平面BB1C1C的充要条件吗 请你叙述判断理由 例6 在斜三棱柱A1B1C1 ABC中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面BB1C1C 底面ABC 例7如图 在底面是菱形的四棱锥P ABCD中 ABC 60o PA AC a PB PD a 点E在PD上 且PE ED 2 1 1 证明PA 平面ABCD 2 求二面角E AC D的大小 3 在棱PC上是否存在一点P 使BF 平面AEC P A B C D E 空间中的角与距离 立体几何专题复习之二 空间中的角 a b b m 三种角的定义 两异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角 空间角的计算步骤 一作 二证 三算 空间中的角解法小结 1 异面直线所成角的方法 1 平移法 2 补形法 2 直线与平面所成角的方法关键 抓垂足 斜足 找斜线在平面内的射影 当二面角的棱已知时 1 定义法 2 垂面法 3 三垂线定理法 寻找平行平面 将问题转化 3 二面角找二面角的棱 进而找棱的两条垂线 当二面角的棱未知时 利用射影面积公式S Scos 例 在棱长为a的正方体ABCD A B C D 中 E F分别是BC A D 的中点 1 求证 四边形B EDF是菱形 2 求直线A C与DE所成的角 3 求直线AD与平面B EDF所成的角 4 求面B EDF与面ABCD所成的角 1 求证 四边形B EDF是菱形 2 求直线A C与DE所成的角 3 求直线AD与平面B EDF所成的角 4 求面B EDF与面ABCD所成的角 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M为DD1的中点 O为底面ABCD的中心 P为棱A1B1上任意一点 则直线OP与直线AM所成的角是 A B C D 2 已知 AOB 90 过O点引 AOB所在平面的斜线OC 与OA OB分别成45 60 则以OC为棱的二面角A OC B的大小为 C A B O 3 如图 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 ABC 90 SA 面ABCD SA AB BC 1 AD 1 2 则面SBA与面SCD所成的二面角的大小是 如图 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PA 底面ABCD AE PD EF CD AM EF 1 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线 2 若PA 3AB 求二面角E AB D平面角的正弦值 3 若PA 3AB 求直线AC与平面EAM所成角的正弦值 1 证明 因PA 底面 有PA AB 又知AB AD 故AB 面PAD 推得BA AE 又AM CD EF 且AM EF 证得AEFM是矩形 故AM MF 又因AE PD AE CD 故AE 面PCD 而MF AE 得MF 面PCD 故MF PC 因此MF是AB与PC的公垂线 2 由 1 知AE AB 又AD AB 故 EAD是二面角E AB D的平面角 设AB a 则PA 3a 因Rt ADE Rt PDA 故 EAD APD因此 3 若PA 3AB 求直线AC与平面EAM所成角的正弦值 3 若PA 3AB 求直线AC与平面EAM所成角的正弦值 解 连结BD交AC于O 连结BE 过O作BE的垂线OH 垂足H在BE上 易知PD 面MAE 故DE BE 又OH BE 故OH DE 因此OH 面MAE 连结AH 则 HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 设AB a 则PA 3a 因Rt ADE Rt PDA 故 空间中的距离主要指以下七种 1 两点之间的距离 2 点到直线的距离 3 点到平面的距离 4 两条平行线间的距离 5 两条异面直线间的距离 6 平面的平行直线与平面之间的距离 7 两个平行平面之间的距离 空间中的距离 考纲要求 会计算已给出公垂线时的距离 求点到平面的距离 1 直接法 即直接由点作垂线 求垂线段的长 2 转移法 转化成求另一点到该平面的距离 3 体积法 求异面直线的距离 1 定义法 即求公垂线段的长 2 转化成求直线与平面的距离或平面与平面的距离 空间中的距离解法小结 例 如图 已知ABCD是矩形 AB a AD b PA 平面ABCD PA 2c Q是PA的中点 求 1 Q到BD的距离 2 P到平面BQD的距离 如图 已知ABCD是矩形 AB a AD b PA 平面ABCD PA 2c Q是PA的中点 求 1 Q到BD的距离 2 P到平面BQD的距离 1 正方形ABCD边长为2 E F分别是AB和CD的中点 将正方形沿EF折成直二面角 M为矩形AEFD内一点 如果 MBE MBC MB和平面BCF所成角的正切值为0 5 那么点M到直线EF的距离为 2 如图 直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形 ACB 900 AC 1 C点到AB1的距离为CE D为AB的中点 1 求证 AB1 平面CED 2 求异面直线AB1与CD之间的距离 3 求二面角B1 AC B的平面角 1 求点E到平面ABD的距离 2 求二面角A BD C的正切值 3 如图 正三棱柱A1B1C1 ABC中 底面边长和侧棱长都是1 D E分别是C1C和A1B1的中点 4 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90o 侧棱AA1 2 D E分别是CC1与A1B的中点 点E在平面ABD上的射影G是 ABD的重心 1 求A1B与平面ABD所成角的大小 2 求点A1到平面AED的距离 高考题型分类解析 立体几何专题复习之三 命题走势是 整体稳定 稳中有变稳定 1 主干内容没有大变2 考查的方向没有大变 大题仍然是以多面体为载体 着重考查直线与平面的位置关系 以及角度 距离的计算 3 考查的难度也基本稳定变化 1 课程内容的变化 导致立几的题量减少2 新课程理念的渗透 导致开放性 探究性问题出现 一 高考考纲要求1 掌握直线与平面的位置关系 2 掌握空间的角和距离的计算 3 了解多面体 凸多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球的概念 了解多面体的欧拉定理 掌握棱柱 正棱锥的性质 及球的表面积 体积公式 4 画图 读图 想图的要求 5 9 A 还包括 会用反证法证明简单的问题7 能力要求 以空间想象能力为基础 运用思维能力 运算能力等 对具体的空间图形进行位置关系的判断 证明和计算 二 高考考点分析1 占分比重2003年前一般有三小题 二个选择 一个填空 一大题 约26分 占全卷的17 4 2004年江苏省考题中仅一小题一大题共17分 而全国绝大多数省份是两小题一大题21 22分 占全卷的14 左右 2 考查重点仍然是直线与平面的位置关系判定 证明及角度与距离的计算 直线平面的平行 垂直作为知识体系的轴心 在考查中地位突出 贯穿整个大题 角度的计算线线角 线面角 二面角是必考内容 线面角 二面角的出现频率更高些 距离以点面距 异面直线的距离为主 前者的出现频率更高 3 考查方式 1 大题以考查直线与平面的位置关系的证明 角度与距离计算为主 大题通常以多面体为载体 如正方体 长方体 三棱柱 四棱柱 三棱锥 四棱锥 04年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载体 有时出现不规则几何体 或改变常用几何体的放置方式 这些变化提高了空间想象的要求 2 小题类型大体有 直线与平面的位置关系的判定 角度 距离的计算 用于覆盖大题未考查到的内容 球的问题 体积 表面积问题 空间想象能力 与其它知识综合的问题 如排列组合等 如 04年各卷情况统计 其中加 者为较难题 4 考查难度立体几何大题一般出现在试卷中第18 19题 难度中等 少数省份出现在20 21或17题位置 难度中等偏上或偏下 小题通常为容易题 中等题 中上难度的题也时有出现 三 高考题型分析1 能力题型 1 空间想象能力既是解决立几问题的前提 又是考查的重点 例102年春上海 10题如图表示一个正方体表面的一种展开图 图中四条线段AB CD EF和GH在原正方体中相互异面的有对 只有AB与CD EF与GH AB与GH三对 例2 00年全国 16题 如图 E F分别为正方体的面ADD1A1 面BCC1B1的中心 则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图 把可能的图的序号都填上 例3 04年重庆文12题 如图 棱长为5的立方体无论从哪一面看 都有两个直通的边长为1的正方形孔 则这个立方体表面积 含孔内各面 是A 258B 234C 222D 210 2 迁移能力例4 97年全国理15题 四面体的顶点和各棱中点共10点 在其中取4个不共面的点 不同的取法有A 150种B 147种C 143种D 141种 例5 例6 04年重庆理12题 若三棱锥A BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等 则动点P的轨迹与 ABC组成的图形可能是 A B C D 例7 04年湖北11题 已知平面 与 所成的二面角为80o P为 外一定点 过点P的一条直线与 所成的角都是30o 则这样的直线有且仅有A 1条B 2条C 3条D 4条 2 研究型 探索型 开放型问