离散型随机变量分布列、期望及方差.doc

格致教育 让天下没有难学的知识！ 离散型随机变量分布列、期望及方差高三数学 徐建勋 2010-1-30教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质教学过程：【知识梳理】1、随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、 表示。如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量2、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列离散型随机变量X的分布列的性质：（1） （2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。3、二点分布如果随机变量X的分布列为 ，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布4、超几何分布一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（MN），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布5、条件概率一般地，设A，B为两个事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为6、独立重复试验一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，1，2，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率。7、二项分布若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k = 0，1，2，n)，于是得到X的分布列：则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为。8、期望设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）当离散型随机变量时，；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则。9、方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则叫做这个离散型随机变量X的方差。（3）方差的性质：若X服从二点分布，则；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则。若X服从二项分布则，。【典型例题】例1. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列分析：随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3，4，5，6，“X = 3”对应事件“取出的3个球的编号为1，2，3”；“X = 4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和1，2，3号球中的2个”；“X = 5”对应事件“取出的3个球中恰取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”；“X = 6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球及1，2，3，4，5号球中的2个”而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列解析：随机变量X的可能取值为3，4，5，6。从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X= 4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；从而有，随机变量X的分布列为X3456P点评：确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率例2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解析：（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故，以此为基础求X的分布列由，所以X的分布列为k=0，1，2，3，4，5，6。（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5。其中：表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算，而表示一路没有遇上红灯，故其概率为，因此Y的分布列为：Y0123456P（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为，所以其概率为。点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即。分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1。例3英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的期望分析：甲、乙分别会20道和80道，故甲、乙分别从剩下的80道和20道中随机选择，因为有4个选项，只有一个答案正确并且每一个选项被选出的概率相等，故甲、乙剩下不会题的猜对个数（猜对分数）是随机变量，分别设为X，Y，可知，解析：设甲、乙不会题得分分别为随机变量X和Y. 由题意知， 故这样甲、乙期望成绩分别为40分和85分例4. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平分析：要比较两个保护区的管理水平，可先比较甲、乙两个保护区的平均管理水平，然后再看它们管理水平的稳定性解析：甲保护区的违规次数X l的数学期望和方差为：，。乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：，。因为，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违