高中数学必修5自主学习导学案：1.2正弦定理和余弦定理应用举例.doc

1.2 正弦定理和余弦定理应用举例（学生版）【知识梳理】（1）正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即：，其中为该三角形外接圆的半径（2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即：，（3）面积公式：证明：过点C作CDAB于D，此时有，同理可得 2正弦定理和余弦定理的应用考点1：三角形面积公式的应用【例1】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面积练习1已知ABC的面积为，且b2，c，则( )AA30 BA60 CA30或150 DA60或1202在ABC中，AB2，BC5，ABC的面积为4，则cosABC等于( )A. B C D3在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则SABC= 。4在ABC中，若，则其面积等于（ ）A B C D考点2：判断三角形的形状【例2】（1）已知ABC的三边的长度分别为5、7、8，试判断ABC的形状（2）已知(abc)(abc)3ab且2cosAsinBsinC，试判断此三角形的形状练习1在中，则是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为( )A. B. C.或 D.或3在中，分别为角的对边，若，则的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形4设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围【反思】本题实质上是求2a1，a,2a1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC(2ac)cosB.(1)求角B的大小；(2)若b2ac，试确定ABC的形状考点3：测量距离类型1：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。【例3】测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是，BAC45o， ACB75o，求A、B两点间的距离类型2：A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。【例4】 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长练习1隔河可以看到对岸两目标、,但不能到达，现在岸边取相距的、两点，测得，（、在同一平面内），求两目标、间的距离.练习2.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点、，观察对岸的点，测得，,且米（1）求；（2）求该河段的宽度考点4：测量高度【例5】 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角. 已知铁塔BC部分的高为10 m，求出山高CD练习1：如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.练习2如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为 3.在地面上一点测得一电视塔尖的仰角为，再向塔底方向前进100 m，又测得塔尖的仰角为，则此电视塔高约为( )A237 m B227 m C247 m D257 m4. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？考点5：测量角度ABC东南西北【例6】如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求的值考点6 三角形中的恒等式证明问题【例7】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，证明：练习1在ABC中，求证：.2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积3在ABC中，求证： 4在ABC中，求证： 1在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ） A B C D2如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )AB. CD.3如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60，塔基的俯角为45，则这座塔的高度是()A20 m B20(1) m C10() m D20() m 4海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C之间的距离为()A10 n mile B. n mile C5 n mile D5 n mile5如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量已知AB20米，且测出CAD，ACB，则灯塔CD的高度为()A20(3)米 B20()米 C10米 D20()米6一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()A北偏东80，20 B北偏东65，20C北偏东65，20 D北偏东80，207一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A. n mile/h B. n mile/hC. n mile/h D. n mile/h8在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形9ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或10在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为(B)A. B. C. D211已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_12如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m. 13某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“没有”)14已知ABC的三个内角A，B，C满足2BAC，且AB1，BC4，则BC边上的中线AD的长为_15如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值16一只船以20海里/时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60方向，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45方向，求：(1)船在B点时与灯塔P的距离；(2)已知以P点为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行，有无触礁的危险？17某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB.(1)求角B的大小；(2)若b3，sinC2sinA，求a，c的值19 如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，.（1）求的面积；（2）求A、B两点之间的距离.1.2 正弦定理和余弦定理应用举例（教师版）【知识梳理】（1）正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即：，其中为该三角形外接圆的半径（2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即：，（3）面积公式：证明：过点C作CDAB于D，此时有，同理可得 2正弦定理和余弦定理的应用考点1：三角形面积公式的应用【例1】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面积解析：由，得sinBsinA，sinBsin30.又8sin3088，即bsinAab，三角形的解有两种情况sinB，B60或120，C90或30.SABCabsinC88sin9032或SABC88sin3016，ABC的面积为32或16.练习1已知ABC的面积为，且b2，c，则(D)AA30 BA60 CA30或150 DA60或1202在ABC中，AB2，BC5，ABC的面积为4，则cosABC等于(B)A. B C D解析：由SABBCsinABC，得425sinABC，sinABC，从而cosABC.答案：B3在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则SABC= 。4在ABC中，若，则其面积等于（ D ）A B C D考点2：判断三角形的形状【例2】（1）已知ABC的三边的长度分别为5、7、8，试判断ABC的形状（2）已知(abc)(abc)3ab且2cosAsinBsinC，试判断此三角形的形状解析：（1）长度为8的边对应的角度最大，由，所以最大角为锐角，故ABC为锐角三角形。（2）解析：解法一：(利用边的关系判断)由正弦定理，得. 2cosAsinBsinC，cosA.cosA，ab.(abc)(abc)3ab，(ab)2c23ab. 又ab，4b2c23b2，b2c2，bc，ABC为等边三角形解法二：(利用角的关系判断)ABC180，sinCsin(AB)2cosAsinBsinC，2cosAsinBsin(AB)sinAcosBcosAsinB，sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0.0A180，0B180，180AB，此时2a1最大2a1，a,2a1表示三角形的三边长，还需a(2a1)2a1，解得a2.设最长边所对角为，则cos0，解得a8.a的取值范围是2a8.【反思】本题实质上是求2a1，a,2a1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC(2ac)cosB.(1)求角B的大小；(2)若b2ac，试确定ABC的形状解析：(1)由已知及正弦定理，得sinBcosC(2sinAsinC)cosB，即sinBcosCcosBsinC2sinAcosB，sin(BC)2sinAcosB.sin(BC)sinA0，2cosB1，即cosB，又0B180，B60.(2)根据余弦定理，得b2a2c22accosB.又b2ac，则aca2c22accos60，即a2c22ac0，(ac)20，即ac.从而bac，故ABC为正三角形.考点3：测量距离类型1：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。【例3】测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是，BAC45o， ACB75o，求A、B两点间的距离分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形，解析：B180 oBACACB60o由正弦定理得，类型2：A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。【例4】 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长分析：在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解析：在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，ACa. BCD30，BDC105，CBD45. 在BCD中，由正弦定理可得BCa. 在ABC中，已经求得AC和BC，又ACB30，利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离，ABa.点评：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解练习1隔河可以看到对岸两目标、,但不能到达，现在岸边取相距的、两点，测得，（、在同一平面内），求两目标、间的距离.解析：如图在中， ，由余弦定理知:，在中，由正弦定理知： 在中，由余弦定理知答：两目标、间的距离为.练习2.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点、，观察对岸的点，测得，,且米（1）求；（2）求该河段的宽度【解析】（1） （2）， 如图过点作垂直于对岸，垂足为,则的长就是该河段的宽度在中， ，该河段的宽度米考点4：测量高度【例5】 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角. 已知铁塔BC部分的高为10 m，求出山高CD解：变式探究2如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.解析：在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BCh；在RtABD中，ADB30，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米.练习1如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为 2.在地面上一点测得一电视塔尖的仰角为，再向塔底方向前进100 m，又测得塔尖的仰角为，则此电视塔高约为( A )A237 m B227 m C247 m D257 m3. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？答案：考点5：测量角度ABC东南西北【例6】如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求的值答案：（1）14海里/小时；（2）考点6 三角形中的恒等式证明问题【例7】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，证明：解析：由余弦定理，a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，两式相减，得a2b2b2a22bccosA2cacosB，.由正弦定理，知，. .练习1在ABC中，求证：.证明：证法一：化角为边，左边右边证法二：化边为角，左边右边.2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B. B为三角形的内角，B.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.3在ABC中，求证： 解析：根据余弦定理的推论， 所以，左边 右边4在ABC中，求证： 解：右边左边 1在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ C ） A B C D【答案】C 【解析】如图，,， 在中，在中，因此塔高2如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为(B)AB. CD.解析：设等腰三角形的底边长为a，顶角为，则腰长为2a，由余弦定理得，cos.答案：B3如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60，塔基的俯角为45，则这座塔的高度是()A20 m B20(1) m C10() m D20() m 解析：如图，过点A作AECD交CD于点E. 由已知可得DAE60，EAC45，AB20，AECE20，DE20.CD202020(1)答案：B4海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C之间的距离为()A10 n mile B. n mile C5 n mile D5 n mile解析：在ABC中，A60，B75，C45.，BC5.答案：D5如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量已知AB20米，且测出CAD，ACB，则灯塔CD的高度为()A20(3)米 B20()米 C10米 D20()米解析：在RtABC中，AC20(米)在ACD中，由正弦定理可知，从而CD.又ADCCADACD，sinADCsinsin，所以CD20(3)(米)答案：A6一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()A北偏东80，20 B北偏东65，20C北偏东65，20 D北偏东80，20解析：由题可知ABC105，在ABC中，AB40，BC40，所以AC2AB2BC22ABBCcosABC402224040cos3 2001 600，所以AC20.sinBAC，所以BAC45，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65，故选C.答案：C7一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A. n mile/h B. n mile/hC. n mile/h D. n mile/h解析：如图，在MNS中，MS20，NMS45，SNM105，MSN30.在MNS中，由正弦定理，得. MN10()货轮的速度为 n mile/h. 答案：B8在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：根据正弦定理，因此sinBcosBsinAcosA，即sin2Bsin2A，所以BA或2B2A，由于，所以2B2A成立，即BA.答案：A9ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或解析：，sinC.0C38.所以没有触礁的危险答案：没有14已知ABC的三个内角A，B，C满足2BAC，且AB1，BC4，则BC边上的中线AD的长为_解析：2BAC，ABC3B180，B60，BC4，BD2，在ABD中，AD.答案：15如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解：作DMAC交BE于点N，交CF于点M，作FHAC交BE于点H.由题中所给数据，得DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.16一只船以20海里/时的