第五章 流体力学不可压缩粘流的精确解.doc

高等流体力学_硕士研究生教案第五章 不可压缩粘流的精确解自从建立了流体运动基本方程组，人们就开始致力于寻求在各种情况下流体运动的精确解。流体运动的精确解一方面对认识和分析流体运动的规律具有重要的意义，另一方面又可为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要依据。不可压缩粘流的控制方程是于方程，由于它的的非线性，使得求流动精确解问题常常成为一件非常困难的工作。在一些特殊边界条件下形成的流动，比如平行剪切流问题，方程的非线性项为零。求这一类问题的精确解，数学上处理起来比较容易。对定常流而言，常归结为解二阶常微分方程；在非定常流的情况下，常归结为扩散型方程等常见的数学物理方程，从而可以使用分离变量法、积分变换法或其它数学方法求解。本章将给出不同类型流动精确解的一些例子。 图5.1 平行平板间的流动5.1 平行平板间的定常平面流考虑粘性流体在相距的两块无限大平行平板间的流动，建立如图 5.1 所示的直角坐标系。流体运动源于沿方向的已知压力梯度的板壁运动。这里下板固定，上板以运动。当和不随时间变化时，流动是定常的。考虑到速度只有沿方向的一个分量，并且只是坐标的函数，由于流线相互平行，称为平行剪切流。在方程 (3.3.12)中，非线性项是所有平行剪切流的特点，方程在方向的投影简化为(5.1.1)因压力梯度是一个常数，上式满足边界条件和的解为(5.1.2)由速度分布求出单位宽度平板间的体积流量(5.1.3)平均流速是(5.1.4)进一步求出切应力(5.1.5)当时，切应力的最大值和最小值分别在下板面和上板面处出现。若压力梯度为零，粘性流体在板壁带动下运动，属于Couette流动，在粘度计等问题中可以遇见此类流动；板间流体的速度呈线性分布，与流体粘性的大小无关（但粘性系数不能为零）；切应力在全流场均匀分布，大小与粘性系数成正比。若两板间无相对运动，流体在压力梯度下运动，属于Poiseuille流动，在平面槽道中出现此类流动；板间流体的速度呈抛物线分布；切应力呈线性分布，与流体的粘性系数无关。 图5.2 平行板间的分层流例一、考虑平行平板间分层的Couette流动，板间充满两层互不相混的粘性流体，厚度分别为和，粘性系数分别为和，且。下板静止，上板运动速度为，求流体运动的速度分布。解：基本方程与单一流体的情况相同，求解时将流场分区，共有四个积分常数需要确定，除了原有的两个固壁边界条件外，在界面处增加速度和切应力连续的两个条件，便可解得速度分布(5.1.6)粘性大的流体层速度梯度较小。进一步计算涡量表明，在分层流体的界面处，两侧涡量是不连续的。5.2 同轴圆筒间的定常流5.2.1 同轴旋转圆筒间的Couette流 图5.3 同轴圆筒间的流动 考虑两个同轴圆筒间的粘性流体，内筒的外径为，外筒的内径为。圆筒作匀速旋转，角速度分别为和。旋转式圆筒型粘度计内的流动可归入这一类流动（见图5.3）。假定圆筒足够长，可以忽略圆筒底部壁面的影响。在筒壁带动下流体作轴对称定常运动，引入柱坐标系。本问题的流场中，流体运动速度只有沿方向的一个分量，速度只与坐标有关。这时，连续方程自动满足，方程在方向上的投影为(5.2.1)粘性系数不在控制方程中出现，表明流体微元上的总粘性力为零，但粘性应力是存在的。筒壁上的边界条件是(5.2.2)(5.2.3)满足边界条件的速度分布解为(5.2.4)注意该流动一旦形成，速度分布与流体的粘性系数无关。令内筒静止，而保持不变，则(5.2.5)相当于上一节平板间Couette流的速度分布。由速度分布(5.2.4)式得到的涡量场是(5.2.6)它的特点是与无关。在两种情况下涡量场为零，其一是，这是涡量场变号的临界情况，这时的速度分布为。其二是取的同时让，这相当于一个涡核半径为的位势涡，速度分布为。在2.3.1节例二中讨论过，这是由于流场中曲率涡量和切变涡量正好相互抵消的结果。 该流场应变率张量的唯一非零项为(5.2.7)在或的情况下，流体作刚体式转动，流体不发生变形，上式的右边项为零。进一步计算切应力(5.2.8)这表明本问题的粘性项在方程中为零，即流体微元上的总粘性力为零，但流体中粘性应力是存在的。内筒壁面上受到的摩擦切应力较大，外筒壁面上受到的摩擦切应力较小。但是在单位长度的圆筒面上，内外筒面受到的摩擦力矩是完全相同的，等于(5.2.9)上式表明，只要给定内外圆筒的半径和角速度，通过测定圆筒受到的摩擦力矩就可以确定出流体的粘性系数。在实际的圆筒式旋转粘度计中，需使流体的流动保持在层流状态。如果外筒固定而内筒旋转，内筒壁附近液体因受离心力的作用而产生径向流动，更容易形成湍流。5.2.2 同轴圆筒间的轴向流仍考虑图5.3所示的同心圆筒，边界条件变为外管固定，内管以匀速沿轴向运动，轴向压力梯度为，流体速度仅有沿轴向的一个分量，只是坐标的函数。在柱坐标系中，速度可表示为。这时连续方程自动满足，考虑到流动的轴对称性，方程在方向上的投影为(5.2.10)其中对流项为零，方程是线性的。筒壁上的边界条件是(5.2.11)(5.2.12)满足边界条件的速度分布解为(5.2.13)其中。当圆管静止时，为Poiseuille流，可求出最大速度发生在位置(5.2.14)最大速度值为(5.2.15)5.2.3 同轴圆筒间的Taylor-Couette流在同轴圆筒旋转的同时，内筒沿轴线方向运动，称为Taylor-Couette流。该种流动是该类型问题中较为复杂的一个，它不但有周向速度也同时有轴向速度，仅径向速度为零。引入旋转圆管的Couette流雷诺数和，轴向雷诺数，无量纲量，其中为间隙。取特征长度为、特征速度为。满足径向、周向和轴向速度边界条件；，；，(5.2.16)的速度分布为，(5.2.17)其中，(5.2.18)5.3 充分发展了的管流直管道中流体的运动是一个具有实际应用背景的问题。本节讨论充分发展了的管流，即管道中的Poiseuille流。有关管道入口流动和管内流动的起动过程将在以后的有关章节中讨论。5.3.1 圆管中的Poiseuille流采用柱坐标系，轴与圆管的轴线重合。流体在轴向压力梯度下作定常运动，速度只有沿轴方向的分量，只与坐标有关。这时连续方程可自动满足，动量方程中的对流项。方程在轴上的投影为(5.3.1)管壁上的边界条件是(5.3.2)方程(5.3.1)可以直接积分，满足管壁粘性边界条件的速度分布为(5.3.3)由速度场可求出体积流率(5.3.4)称为Hagen-Poiseuille公式，平均速度则为(5.3.5)流体的切应力可由速度分布(5.3.3)式得到(5.3.6)在壁面上达最大值。管壁的摩擦应力是(5.3.7)当压力梯度不变时，它与管径成正比。无量纲的表面摩阻系数定义为(5.3.8)它仅与雷诺数有关。工程中将管道的无量纲阻力系数(Darcy系数)定义为(5.3.9) 图5.4 矩形截面管及坐标系5.3.2 矩形截面管中的Poiseuille流在有些情况下，也会遇到非圆形截面的管道，本节讨论矩形截面管内的流动。在图5.4所示的直角坐标系中，已知管内的压力梯度、矩形管截面的尺寸。流体运动速度仍只有沿轴方向的一个分量，但它是两个坐标和的函数。这时连续方程自动满足，动量方程的对流项为零。考虑到流动定常，描述该问题的方程在方向的投影为(5.3.10)固壁的粘附边界条件为(5.3.11)将解写成平行平板间Poiseuille流动分布的修正形式(5.3.12)其中是一待定函数。代入方程（5.3.10）后，得到(5.3.13)边界条件相应变为(5.3.14)用分离变量法求解方程（5.3.13），令(5.3.15)代入（5.3.13）式后得到(5.3.16)和(5.3.17)方程（5.3.22）满足边界条件的解为(5.3.18)方程（5.3.17）的解为(5.3.19)考虑到边界条件（5.3.14）最后有(5.3.20)其中(5.3.21)为二维Poiseuille流的速度最大值。该解为一个三角函数和双曲函数的无穷级数的求和。5.3.3 椭圆截面管中的Poiseuille流取直角坐标系轴与管轴方向一致，已知管内的压力梯度，速度只有方向的分量。参见图5.4，管截面取成椭圆。方程在方向的投影为(5.3.22)在椭圆边界处，固壁边界条件(5.3.23)由此可以判断速度分布满足(5.3.24)对于二阶微分方程，幂次只能取1，代入（5.3.22）确定常数，最后有(5.3.25)5.4 非定常平行剪切流本节讨论非定常流动。在变化万千的自然界观察到的流动绝大部分是非定常流，从空中鸟类的飞翔到水中鱼类的遨游，从大气中的气旋和龙卷风到江河湖海中的波涛，都是典型的非定常流。在人类的生产实践活动中，随着科学技术的进步，非定常流的研究已日趋重要。以飞机为例，当研究主要集中在巡航飞行阶段，在不考虑大气紊流和突风的情况下，可以使用定常流模型。在涉及机动性、升空和降落、复杂气候条件下飞行等现代飞行器所关心的问题时，必须研究非定常流问题。在流体力学中，根据流动时间相关性的起因，可以把非定常流分成两大类。第一类非定常流动的时间相关性直接来源于外部条件的非定常，它可以是作非定常运动的界面边界，比如平板的Stokes第一和第二问题；也可以是非定常的外加压力梯度，比如管道内的起动流和振荡流。第二类非定常流动的边界条件和其它外部边界条件都不具有时间相关性，流动的非定常完全来源于定常流动的稳定性得不到满足，比如大雷诺数圆球定常绕流的卡门涡街和圆管中的湍流；在雷诺数足够低的情况下，这两种流动都是定常的，随着雷诺数的增大，流动失稳变为非定常流。本节和下一节讨论第一类非定常流动，第二类非定常流动将在稳定性一节中讨论。 图5.4 平板的突然起动5.4.1 平板突然起动 一块无限大平板置于静止的粘性流体之中，在某一瞬间突然起动，以常速沿自身平面运动，研究周围流体的非定常运动，通常称为Stokes第一问题。取绝对坐标系，轴沿平板运动方向，轴沿平板法线方向。流体在板面带动下运动，速度只有沿轴方向的一个分量，与坐标和时间有关，表示成。作为平行剪切流，连续方程自动满足，方程的非线性项为零，在方向的投影为(5.4.1)初始条件(5.4.2)固壁和无穷远边界条件为(5.4.3)方程(5.4.1)表明无量纲速度是坐标、时间变量和流体运动粘性系数的函数，即。量纲分析表明由可组成的唯一无量纲数是(5.4.4)因此将速度表示成(5.4.5)代入(5.4.1)式，得到以下二阶常微分方程(5.4.6)定解条件是(5.4.7)前者为固壁边界条件，后者包含了初值和无穷远边值两个条件。形式为的解存在，表明了该流动在空间时间的不同点上，只要相同，其无量纲速度相同，称为自相似解。将方程(5.4.6)积分一次得到，满足的解是。再利用定解条件，可以确定积分常数，于是有(5.4.8)其中(5.4.9)为误差函数，这样得到速度场(5.4.10)它是随着到板面的距离而按指数函数的规律减少。比如当时，在的距离处，表明粘性的影响已基本消失。因此该问题板面粘性层厚度的量级为。得到速度场后，进一步计算涡量场(5.4.11)由以下积分得到总涡量(5.4.12)这表明总涡量是一个不变量，但涡量在空间的分布是随时间变化的。在平板起动的瞬间，涡量产生并集中在板面上；其后，涡量由板面向外部空间扩散，在流场中的分布逐渐趋于均匀。在以上求解过程中，很关键的一步是量纲分析，它使偏微分方程简化为常微分方程。Stokes第一问题也可以用其它的数学方法求解，比如分离变量法和运算微积中的Heaviside算子法。对此感兴趣的读者可进一步阅读有关的参考文献。5.4.2 平板振荡流考虑由一块在自身平面内作简谐振荡的无限大平板所引起周围流体的运动，通常称为Stokes第二问题。作为平行剪切流，控制方程与Stokes第一问题相同，为方程(5.4.1)。在绝对坐标系中，固壁和无穷远边界条件分别为(5.4.13)由于方程和边界条件都是线性的，平板作周期性振荡的余弦函数已用以上复数代替，最后在结果中取实部即可。用分离变量法，令，代入(5.4.1)式后得(5.4.14)其中是一个待定常数，由此得到两个常微分方程(5.4.15)它们满足定解条件(5.4.13)的解为(5.4.16)取实部最后得到速度分布为(5.4.17)这是一种沿板面法向传播的横波，振幅为。随增大，振幅呈指数衰减，衰减程度与平板振动频率和流体运动粘性系数有关。在距板面的距离处，流体运动的振幅下降为板面值的，因此反映了本问题粘性影响区厚度的量级。由速度分布可进一步计算流场中的切应力(5.4.18)板面上的摩擦力为(5.4.19)由此可进一步计算单位面积平板在单位时间内所做的功 (5.4.20)作为对比，若计算单位时间内以平板单位面积为底的半无限长柱体内流体的平均能耗散，发现正好等于。这从物理上表明了，流体中的能耗散由平板做功补充，全流场处于动态平衡。5.4.3 圆管内Poiseuille流的起动过程在5.3节讨论了管道中的Poiseuille流，本节讨论它的起动过程。对圆管问题采用柱坐标系，轴与圆管的轴线一致。压力梯度为常数，在的时刻出现。流体运动速度只有沿轴方向的一个分量，并且只与坐标和时间有关。这时连续方程自动得到满足，方程在轴上的投影为(5.4.21)边初值条件是：，(5.4.22)将速度分解为定常和非定常两部分之和(5.4.23)其中定常部分(5.4.24)是充分发展了的管流解。解的非定常部分应满足方程(5.4.25)与其相应的初边值条件是，(5.4.26)引入如下无量纲量，(5.4.27)将方程(5.4.25)化为(5.4.28)相应的初边值条件为，(5.4.29)用分离变量法，令(5.4.30)代入(5.4.28)式得到(5.4.31)其中是任意常数。问题变为以下两个线性常微分方程的求解(5.4.32)(5.4.33)满足定解条件的解为(5.4.34)其中其中是第一类零阶Bessel函数，是零阶Bessel函数的零点。速度的非定常部分为(5.4.35)与定常部分迭加在一起，得到(5.4.36)图5.5 圆管起动流的速度剖面数值计算的结果表明，随着时间的增大，上式中级数项的影响逐渐减小。图5.5给出了根据(5.4.36)式计算得到的圆管内不同时刻的速度速度剖面。所取的四个时刻为、和。事实上，当无量纲时间为时，速度剖面已基本上与充分发展了的圆管Poiseuille流的速度剖面一致，标志着管流起动阶段的结束。5.4.4 圆管振荡流现在来讨论圆管内的振荡流动，这是指压力梯度作如下周期性变化的情况(5.4.37)基本方程与圆管内Poiseuille流的(5.4.21)式相同，只是将压力梯度项用上式代入得到(5.4.38)这里将压力梯度的周期函数写成指数函数的形式，只要在最后结果中将实部分离出来即可。由于流体作简谐振荡，速度分布可写成，代入上式得到(5.4.39)引入无量纲量(5.4.40)其中相当于振荡流的雷诺数，代表压力梯度为的充分发展了的管流的最大速度值。方程(5.4.39)的无量纲形式为(5.4.41)这是一个零阶的贝塞尔方程(略加变换后即是标准形式，见王竹溪)，它满足固壁边界条件(5.4.42)的解是(5.4.43)其中是零阶贝塞尔函数。最后得到(5.4.44)在低频和高频两种极端情况，该解可以化成较为简单的形式，以下分别加以讨论。在时，对应低频振荡或流体粘性很大的情况。利用贝塞尔函数的级数展开式(5.4.45)取前两项，略去后面的高阶小量。(5.4.44)式成为 (5.4.46)取其实部(5.4.47)这表明速度分布与压力梯度的相位一致，且某一时刻的速度分布对应于该时刻压力梯度为的充分发展了的管流的值，流动具有准静态的特点。在时，对应高频振荡或流体粘性很小的情况。如果仅研究管壁附近的流动及管壁的摩擦力，不涉及管轴处的速度场，则可利用贝塞尔函数的渐近表达式(5.4.48)若可取第一项，将后面的高阶小量略去，代入(5.4.44)式得到(5.4.49)要强调指出的是，在管轴处，得不到满足，上式不成立。(5.4.49)式进一步略去高阶小量后，化简得到(5.4.50)其中(5.4.51)(5.4.50)式取实部得(5.4.52)该解表明：在高频振荡的情况下，管壁附近的压力梯度和速度之间存在有明显的相位差。5.5 气泡的径向运动气泡在液体中运动涉及运动的气液界面问题，气泡的运动主要有平移和径向运动两种类型。本节分析气泡的径向运动，它与气泡的膨胀和溃灭有密切关系。取气泡中心为坐标原点，采用球坐标系，令为气泡的半径，已知界面的运动方程为(5.5.1)气泡外是粘性流体，不计体积力，求气泡外液体的速度和压力分布。气泡外流体的运动具有球对称性，速度只有径向分量，并只与坐标和时间有关(5.5.2)可知涡量为零，流动是无旋的，连续性方程为(5.5.3)动量方程为(5.5.4)动量方程是非线性的，但由于速度只有一个分量，连续性方程(5.5.3)可以直接积分，满足界面速度条件的解为(5.5.5)代入动量方程(5.5.4)得到(5.5.6)上式积分后得到压力分布(5.5.7)其中为无穷远处液体的压力。在界面处，液体的压力和气泡压力是不同的。为了根据已知的气泡的运动规律求出，用界面条件(3.6.10)式将气泡界面处内外压力联系在一起(5.5.8)注意到表面张力是朝向气泡内部，抵消对液体的作用，上式的前应取负号。把速度分布(5.5.5)式和压力分布(5.5.7)式代入界面条件(5.5.8)式得到(5.5.9)称为Reyleigh-Plesset方程，其中右边最后一项是粘性项，源于界面处法向速度的法向梯度。上式经整理便得到气泡内的压力(5.5.10)有时问题的提法是已知气泡内的压力，求气泡界面的运动规律。当气泡半径不大时，可认为内部压力是均匀的，压力仅与气泡半径有关。比如，对于等熵过程，压力与半径的关系为(5.5.11)其中是气泡内气体的比热比。对于等温过程，则有(5.5.12)对于空化泡，则气泡内压力恒等于液体的饱和蒸汽压。将已知的代入Reyleigh-Plesset方程求解便可以得到气泡的径向运动规律。5.6 非线性流动本章以上各节的精确解都是由线性方程求解得到的。在流体力学中大量遇到非线性的问题，非线性问题的求解远比线性问题困难，目前主要依靠数值求解，能够得到精确解的例子相当有限，本节将讨论两个著名的非线性流动精确解的例子。 图 5.6 轴对称驻点流5.6.1 轴对称驻点流均匀来流中物体驻点附近轴对称流动的研究是一个具有实际意义的问题。为了能用解析的方法来研究这一问题，本节研究无限大平板上驻点附近的流动。考虑到该流动具有轴对称性，引入柱坐标系，使原点与驻点重合，流体沿轴的负方向垂直流向板面，然后沿径向向四周流出（见图5.6）。速度只有径向和轴向两个分量和，这时连续性方程简化为(5.6.1)方程在径向和轴向的两个投影分别为(5.6.2)(5.6.3)驻点附近无粘流的解是(5.6.4)它满足无粘流的固壁边界条件。常数可理解为在处的轴向速度。将粘流解的轴向速度假定为较一般的形式(5.6.5)代入连续性方程(5.6.1)，积分后得到(5.6.6)积分常数由驻点不是奇点可确定为零。将以上两式代入(5.6.3)式得(5.6.7)对一次积分后得到(5.6.8)将(5.6.5)、(5.6.6)和(5.6.8)三式代入(5.6.2)后得到(5.6.9)上式的左边是的函数，右边是的函数，两者相等必定等于一个常数，取为。这时问题已简化为非线性三阶常微分方程的求解，三个定解条件为，(5.6.10)其中前两个为固壁边界条件，第三个为无穷远边界条件，要求时，(5.6.6)逼近无粘流解(5.6.4)。引入无量纲参数和函数(5.6.11)则 (5.6.9)式化为(5.6.12) 图 5.7 相应的定解条件变为：固壁处；在无穷远处。 将(5.6.11)作数值积分，结果如图5.7所示。它表明：当时，固壁粘性的影响已基本消失。粘性层的厚度约为，流体粘性越大，该粘性层的厚度越厚。由于在(5.6.4)式中标志着在一定的距离处来流速度的大小，因此来流速度越大，粘性层的厚度越薄。5.6.2旋盘流在无界静止流体中，一无限大平板圆盘在自身平面内以等角速度绕自轴转动，现分析转盘壁面带动周围流体的运动。引入柱坐标，将圆盘转轴取为轴，原点取在盘心，由于流动的对称性，速度和压力均不随而变化，只需考虑一侧流体的运动。圆盘转动时，由于壁面的粘附边界条件，固壁上的流体会在盘面的带动下一起转动产生周向速度，并逐层带动外面的流体作周向运动。流体在作周向运动时，由于离心力的作用会产生径向运动；为了补偿这部分流体的径向外流，远处的流体将沿轴方向流向盘面进行补充，产生轴向运动。在经过足够长时间后，流动变为定常，根据边界条件可知流动是轴对称的。由于三个速度分量均不为零，使求解更加困难。写出连续方程(5.6.13)和方程的三个投影(5.6.14)(5.6.15)(5.6.16)由无滑移边界条件，在盘面上流体的速度只有周向分量，