线性代数—授课教案.doc

1.1 行列式的定义撰稿人：吴天毅学时：1学时重点：二、三阶行列式的对角线计算方法，n阶行列式的定义难点：n阶行列式的定义授课内容：一. 二阶和三阶行列式行列式是由解线性方程组的公式引出的先看二元线性方程组 （1）当时，利用加减消元法可以得（1）的解为 （2）为了容易记住上面的公式解，引入下面运算记号 （3）称（3）式的左边为二阶行列式，右边的式子为二阶行列式的展开式。其中称为行列式的元素，的第一个下标i表示该元素位于第i行，第二个下标j表示该元素位于第j列（i=1，2，j=1,2）。(3)式右边的式子是按对角线法则计算出的，这里特别要注意：行列式的计算结果是一个数。若记，则二元线性方程组（1）的解可写成 （4）类似地，对于三元线性方程组 （5）利用加减消元法，为了容易记住(5)的求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，为了容易记住（5）的求解公式，引入三阶行列式的概念。记 （6）称（6）式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。由式（6）右边的式子可知三阶行列式是按对角线法则展开的，即右图中实线上三元素的乘积（3项）减去虚线上元素的乘积（3项）若记则三元线性方程组（5）的解为（时）注：1 关于二元、三元线性方程组解公式的形式还有推广到n元线性方程组，这就需要类似地引入n阶行列式。2 四阶及四阶以上的行列式的展开式不运用于对角线法则，需从其它方面给出定义。二. 逆序数与对换为了给出n阶行列式的定义，需要用到逆序数与对换的概念。定义1 将n个数按某种次序排成一排，称其为这n个数的一个全排列，简称为排列。这n个数按自然次序由小到大的排列称为标准排列。显然，n个数共有n!个全排列。定义2 在n个数的一个全排列中，若两个数的前后次序和标准排列不一致，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总的个数称为这个排列的逆序数，记为t。例：求排列3 2 5 1 4的逆序数解：（将其中的每一个数与前面的每个数比较大小，前面的数大于这个数就构了一个逆序）3在首位，逆序为02的前面是3，故逆序为15的前面数都小于5，故逆序为01的前面3，2，5都大于0，故逆序为34的前面只有5大于4，故逆序为1于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5定义3 如果一个排列的逆序数是奇（偶）数，那么称这个排列为奇（偶）排列。定义4 在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不动，这过程称为对换。相邻两个元素的对换称为相邻对换。一个重要结论：定理：一个排列进行奇（偶）数次对换，排列改变（不改变）奇偶性。（证明由学生看书弄懂即可）如果定义标准排列为偶排列，则有上面定理可得到下面推论推论：奇（偶）排列经过奇（偶）次对换可成为标准排列。二. n阶行列式的定义从二、三阶行列式的定义，可发现以下三个特点：1. 它们的展开式的每一项都是位于不同行不同列元素的乘积；2. 每一项前面的正负号是由来确定，其中t市当该乡各元素的行下标从左至右按标准排列时向英烈下标排列的逆序数;3. 二阶行列式的展开式有2！项，三阶行列式的展开式有3！项。根据以上三个特点，二、三阶行列式的定义可写成 （7）其中是1，2的排列，表示对1，2所有排列求和（共2!个），t是排列的逆序数。 （8）其中是1，2，3的排列，t是排列的逆序数,表示对1，2，3所有排列（共3!个）求和。由以上二、三阶行列式的定义形式可将其进行推广而得到n阶行列式的定义。定义5 将个数排成n行n列，记 （9）其中是1，2，n的排列，t是排列的逆序数,表示对1，2，n所有排列（共n!个）求和。称式（9）左边为n阶行列式，右边为n阶行列式的展开式，称为n阶行列式中位于第i行第j列位置上的元素。注：1. 为n阶行列式的展开式中符合前面提到的二、三阶行列式的三个特点。2. n阶行列式可简记为或。3. 不要将一阶行列式与绝对值相互混淆。定理2 n阶行列式也可定义为 （10）其中是1，2，n的排列，是排列的逆序数,表示对1，2，n所有排列（共n!个）求和。证明：将对换成标准排列时，根据定理1知逆序数t的奇偶性与的逆序数的奇偶性相同，故， 证毕。根据定义5与定理2容易计算出下面n个特殊行列式1. 对角行列式（1）（2）2. 三角行列式 （1） （2） （3） （4）注：除一些特殊行列式外，一般行列式按定义计算很繁杂困难，因此实际计算行列式并不用其定义提供的方法。 作业：习题一 1，21.2 行列式的性质 1.4 克莱姆（Cramer）法则撰稿人：学时： 1学时重点：用行列式的性质计算行列式难点：行列式具有分行（列）相加性的性质的理解授课内容记称为转置行列式。性质1 （根据定义与定理2）性质2 设是一数，用乘以行列式等于用乘行列式的某一行（列）中的所有元素，即 此性质也相当于：行列式中某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式号外面。证明： 性质3 互换行列式两行两（列），行列式变号。即证明： 由定义知显然故性质4 行列式有两行（列）对应元素相等时，该行列式等于零。性质5 行列式中有两行元素对应成比例时，该行列式等于零。性质6 行列式具有分行（列）相加性，即证明：性质7 行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。证明：利用行列式的性质可把行列式化成三角行列式，从而可求出行列式的值。例1 计算 解： 故例2 计算 解：式：例3 计算解： 例4 解：作业 习题一 31.4 克莱姆（Cramer）法则线性方程 （27）与二，三元线性方程组相类似，也有类似的解法。定理4 （Cramer法则）：若（27）的系数行列式不为零，即，则方程组（27）有唯一解。 （29）其中：， （28）证：用中第列元素的 代数余子式依次乘（27）的个方程，再把它们相加，得到：根据代数余子式的性质，上式中的系数等于，而其余（）的系数均为0；等式右端为，于是，（） (30)当时，方程组（30）有唯一解（29）。由于方程组（30）是（27）经乘数与相加两种运算而得，故（27）的解一定是（30）的解。 令（30）只有一个解（29），故（27）若有解，就只能是（29）。为证解（29）是（27）的唯一解，还需证解（29）确是（27）的解，即欲证 ，考虑有两个相同的阶行列式，其值为零。将它按第1行展开，而第1行中的代数余子式为因而 ， 即，从而（31）是（27）的唯一解。例10 解方程组解：经计算，故，Cramer定理的逆定理是推论：若线性方程组(27)无解或者解不唯一，则它的系数行列式必为零。在（27）式中，若（），即 （32）（32）称为齐次线性方程组。否则（即至少有一个不为零），（27）在此时称为非齐次线性方程组。对（32）式我们有定理5 （1）齐次方程组一定有零解。即，； （2）齐次方程组有唯一零解的充分必要条件是它的系数行列式不为零； （3）齐次方程组有非零解得充分必要条件是它的系数行列式为零。注：上述定理结论（3）的充分性将稍后证明。作业：P25 习题一，6(1), 7(1)第二章 矩阵2.1 矩阵的概念教学目的： 了解矩阵的定义，了解特殊的矩阵。教学内容：教学时数：0.5学时定义1 由 个数，（,）排成的行列的表，称为行列的矩阵，记作：. 叫做的第行第列的元素。简记为.例1：线性非齐次方程组与矩阵相对应。对方程组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。例2：某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成（也可用方括弧表示）。其中为工厂向第店发送第种产品的数量。例3：表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数。线性变换的系数构成矩阵。易知，线性变换和矩阵之间存在一一对应的关系。几种常见的矩阵：零矩阵：元素全为零的阶矩阵，记为:O行矩阵：只有一行的矩阵。 列矩阵：只有一列的矩阵。 方阵:行数列数皆相等的矩阵。上三角方阵：非零元素只可能在主对角线及其上方。下三角方阵：非零元素只可能在主对角线及其下方。对角方阵：非零元素只可能在主对角线，并它记作或单位方阵。主对角线上全为1的对角方阵，记作：2.2 矩阵的运算一、线性运算：两个矩阵的行数和列数均相等时，称它们为同型矩阵。定义3：，（,），则称与相等，记作。定义4：，定义同型矩阵之间方可相加。记，称为的负矩阵。由此规定矩阵的减法为。定义5：数与矩阵的乘积记作或，。矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。令，和是阶矩阵，为常数，可证矩阵的线性运算满足以下8条：（1）；（2）；（3）；（4）;（5）；（6）；（7）；（8）.二、矩阵的乘法运算：设有两个线性变换 （*） (*)若想求出从到的线性变换，可将（*）代入（*）便得 （）线性变换（）可看成是先作线性变换(*)，再作线性变换（*）的结果，称线性变换（）叫做线性变换（*）与（*）的乘积，相应地把（）所对应的矩阵定义为（*）与（*）所对应的矩阵的乘积，即一般地，给出定义6（矩阵的乘法）设，则规定矩阵与矩阵的乘积是一个阶矩阵，其中 ，（,），并记作。一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个一阶方阵，即一个数。注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，二矩阵才能相乘。例5 求矩阵与的乘积。解：例6 设矩阵，计算乘积，。解：n元线性方程组设，由矩阵乘法，我们有 （4）矩阵乘法有如下特点（以例6见证）:（1）矩阵乘法不满足交换律；事实上，有意义，未必有意义，当也有意义时，和未必是同型矩阵，即使和同型，也未必相等。（2）由，推不出；（3），时，可能。矩阵乘法满足下列运算律：（假定下列运算有意义）（1）结合律：；（2）分配律：；（3）数乘结合律：（为常数）对于单位方阵，易知，定义方阵的非负整数次幂如下：，（），( 为非负整数)阶方阵的次多项式为阶方阵，其中（，为数，）上式最后的不可写成。例7 ，求解： 三、矩阵的转置把矩阵的行与列依次互换得到另一个矩阵，称为的转置矩阵，记作或。， （5）转置矩阵有下列性质（设下列计算可行）（1）；（2）；（3）；（4）。证：仅证（4）。是阶矩阵，是阶矩阵，则和都是矩阵。的第行第列的元素都是的第行第列元素。他是，的第行第列的元素是第行的元素与第行的元素的对应乘积之和。也就是的第列元素与的第行的元素的对应乘积之和。它也是，此二元素相等，故。一般地，应有 。四、对称方阵与反对称方阵定义：对阶方阵，若，则称为对称方阵。若，则称为反对称方阵，反对称方阵得主对角线上元素皆为0。例9 设列矩阵，满足，为阶单位阵。 ，证明是对称矩阵，且。注意：是一阶方阵，也就是一个数，而是阶方阵。证： 故对称。作业：p50, 习题二2,3(1);4(2),(3),(4);6;7;82.3 方阵的行列式与逆方阵定义7：由阶方阵的元素所构成的行列式（诸元素位置不变），称为方阵的行列式，记作或det.由确定的运算满足下列运算律（，为阶方阵，为数）:(1) ;(2) ;(3) ;(4) （其中，为同价方阵）二、逆方阵在实数运算中，若，总有唯一的数，使在方阵的乘法运算中，也有此类情形，即定义8 对于阶方阵，若存在阶方阵，使，其中为阶单位方阵，则称为可逆方阵，为的逆方阵。定理1 ：若方阵可逆，则其逆矩阵必唯一。证：若有两个逆方阵和，即， 则 即逆方阵唯一。既然的逆方阵唯一，将其记为。定理2 若方阵可逆，则其行列式。证：， 故定义9 设是行列式中元素的代数余子式，称方阵为方阵的伴随方阵。利用行列式展开定理及推论，易知定理3 若，则可逆，且，其中为的伴随方阵。证：由（8）（），知，由逆方阵定义，有。定理3提供了一种利用伴随方阵求逆方阵的方法，由定理2，定理3，可逆的充分必要条件是。例11 判断下列，是否可逆。若可逆，求其逆，其中，。解： ，而，故可逆而不可逆。中各元素的代数余子式，例如，而，。于是伴随阵 用此法求逆方阵时，计算量较大。一般地，方阵的阶数时，可以用此法。当时，称为非奇异方阵。否则称为奇异方阵。易知，可逆的充分必要条件是非奇异。推论：对阶方阵，若（或），则可逆，且。证：因，故，即可逆，且唯一，只能。此推论简化了判定方阵是否可逆的条件。定理4设，皆为阶可逆方阵，则，（），皆可逆，且(1) ;(2) （），(3) ，(4) 只证明： 事实上， 由定理3推论，可逆且其逆方阵为。对于阶可逆方阵，定义（为正整数）,当，为整数时，。例12 对角方阵，当且仅当时可逆，此时。例13 解矩阵方程 ，其中 ，。解 ，皆可逆。，其中 ，于是例14 已知 ，为4阶方阵，求解：例15 已知 ，证明：可逆。解: 于是 作业：p51 习题二，11（1），（3），12（1）,（3）；13（1）；14，16，17，19，21（1），（2），（3）（第三章）第三节初等矩阵的秩教学目的：掌握初等行变换求逆矩阵的方法；了解初等矩阵及其表达线性变换的作用。教学重点：寻求初等变换求解逆矩阵的过程，教学内容：一、初等矩阵矩阵初等变换是矩阵最基本的运算，本节用矩阵乘法表示矩阵初等变换：定义：定义3 对单位矩阵经过一次初等变换所得到的三种矩阵统称为初等矩阵 （1）交换矩阵： 初等矩阵由单位矩阵交换第行(列)与第行(列)得出（2）倍乘矩阵： 初等矩阵由单位矩阵的第行(列)乘以非零数得出（3）倍加矩阵： 倍加矩阵由单位矩阵的第行乘以非零数加到第行得出，或的第列乘以非零数加到第列得出容易看出：初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵分别是：； 。通过下列观察初等矩阵的作用。例2 设，求，和，这里，和是3阶矩阵，而和是4阶矩阵解 略。从这个例子可以得出一般性的结论：定理3 对矩阵施行一次初等行变换，相当于用相应的阶初等矩阵左乘矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，相当于用相应的阶初等矩阵右乘矩阵即初等矩阵左乘矩阵作用于行，右乘矩阵作用于列结合例子口头表述相应的意思。下面理由初等矩阵表述上节定理：定理2 对于任何矩阵，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使 口述证明思路，适当板书。推论 n阶可逆矩阵A必等价于单位矩阵En。若不然，即，两边取行列式，有。但，从而得出矛盾。故。定理4 阶矩阵可逆的充分必要条件是它等于一系列初等矩阵的乘积 初等矩阵的逆阵仍是初等矩阵，由于对一个矩阵左乘一个初等矩阵相当于对该矩阵施行一次初等行变换，故：对矩阵施以一系列初等行变换变成矩阵时，这些初等行变换也能将化成即这样，为了求的逆矩阵，可在矩阵右侧拼接阶单位矩阵，组成矩阵，对施以初等行变换，若的位置变成，则的位置变成例3 设，求解 构造矩阵，并对进行初等行变换，所以 =注意：（1）初等行变换法是求逆矩阵不需要先通过计算行列式来判断矩阵是否可逆当A不能化为单位矩阵时就推断A不可逆（2）注意对计算结果进行验证。（3）矩阵阶数较高时不要使用伴随矩阵法。二、矩阵的秩定义4 在矩阵中，位于任意取定的行与列交叉位置上的个元素，按原来的相对位置组成的行列式，称为矩阵的阶子式易知矩阵中有个阶子式定义5 若矩阵有一个阶子式不为零，而所有的阶子式（如果有的话）全为零，则称为矩阵的秩，记为零矩阵的秩规定为0。矩阵的秩有下述性质：（1） ；（2） （常数）；（3） 设是阶方阵，则的充分必要条件是 ；（4） 当，即子式阶数大于秩时，子式必为零定义6 阶矩阵的秩为时，称其为满秩矩阵，否则称其为降秩矩阵可以看出，满秩矩阵就是可逆矩阵。定理6 初等变换不改变矩阵的秩推论1 矩阵的秩即为矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数这个定理的作用在于简化了求矩阵秩的计算。只需对矩阵化为阶梯型，就可以观察出结果，无需计算若干行列式的值。推论2 若，则。这两个推论的结论可以从定理很简单地推出。另外可以证明：两个矩阵和等价的充分必要条件是。推论3 设A是任意矩阵，B是m阶满秩矩阵，则。例6 求矩阵的秩解 用初等行变换把化为行阶梯形行阶梯形中由3个非零行，所以最后不加证明地给出下面结论：定理8 设是矩阵，是矩阵，则 ， 作业：P81 1（2）（3），4，5（2），（3）第三章 向量与线性方程组4.2 向量组的线性相关性教学目的：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点：判别向量组的线性相关性教学难点：定理的证明教学时数：2学时教学内容：定义3 设维向量组，若存在一组不全为零的数，使 （）则称向量组是线性相关的。若只有当时，才能使（）式成立，称向量组线性无关。定理4 向量组（），线性相关向量组中至少存在一个向量能由其余个向量线性表示。证：因为线性相关，则存在不全为零的，使.不妨设，则有，即可由线性表示。设可由线性表示，即有，使，即.由线性相关定义知：线性相关。由向量组的线性相关定义，以及齐次线性方程组有非零解的概念有定理5 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解。推论1 齐次线性方程组只有零解线性无关。推论2 个维向量组线性相关,其中.注：这里把应理解为列向量。定理6 向量组线性相关的秩小于向量个数；向量组线性无关的秩为.例1 研究的线性相关性。解：（1）解法1. 令，整理得 （）因为线性方程组（）的系数行列式所以（）方程组必有非零解，由定理5知线性相关。（2）解法2. 因为，所以=. 由定理6知线性相关。小结： (1) 若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，今后尽可能用解法2.例2 已知线性无关，证明向量组线性无关。解：令，代入整理得.因为线性无关，则应有 （），所以（）式只有零解，由定理5推论1知线性无关。例3 见书上例4（P94）定理7 （1）若向量的部分组线性相关线性相关。反之，线性无关线性无关。证：因为线性相关，则存在不全为零的，使则线性相关。（2）记，若线性无关线性无关。反之，若线性相关线性相关。证：1记，显然，因为线性无关，由定理6知，因而.2因为只有列，所以.由1和2知，由定理6知线性无关。（3）个维向量组成的向量组，当时线性相关。证：记，因为，由定理6线性相关。（4）设向量组线性无关，线性相关可由表示，且表示法唯一。证：记，显然.1因为线性无关，由定理6知2因为线性相关，由定理6知因此，由P73定理8知，有解且唯一。可由表示，且表示法唯一。推论1和推论2见书P95.思考题：定理7（1）（2）有何区别？（主要从向量角度考虑）作业：P116 4（1）（3），5，6，74.5 线性方程组解的结构 教学目的：掌握线性方程组解的结构，会用基础解系表示方程组的通解。教学重点：齐次、非齐次线性方程组解的性质教学难点：对性质的理解教学时数：2学时教学内容：引入：在第三章里，我们已经学习了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法，并得出了重要的结论：（1） n个未知量的非齐次线性方程组有解且当，时，方程组有唯一的解；当时，方程有无穷多解。（2） n个未知量的齐次线性方程组有非零解下面我们用向量组的线性相关的理论来讨论线性方程组的解。先讨论齐次线性方程组的情况。一. 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组 记则。现在讨论齐次线性方程组解的性质。性质1 设是的解，则也是的解。证明：设分别是的解，则，所以也是的解。性质2 设是的解，使常数，则也是的解。证明：是的解，则。 所以也是的解。上面两个性质说明：1） 齐次线性方程组解的线性组合仍是该方程组的解，故只要有非零解，则必有无穷多组非零解。2） 齐次线性方程组的所有解的组成的集合构成一个向量空间，称为方程组的解空间。3） 当齐次线性方程组只有零解时，解空间是零空间。4） 为了理解齐次线性方程组解的结构，先引入基础解系的概念。定义9 齐次线性方程组全部解组成的向量组的一个极大无关组称为该方程组得基础解系。如果只有零解，则它没有基础解系。显然，齐次线性方程组的基础解系就是解空间的一个基。齐次线性方程组只有零解时，齐次线性方程组解空间没有基。的基础解系如果存在，则不是唯一的。定理13 设齐次线性方程组。若，则该方程组必存在基础解系，其中包含个解向量。证明：由于，对系数矩阵A进行初等变换可化为行最简形式，不妨设为 （1）其中为自由未知量。令下面证明是方程组的一组基础解系。首先证明线性无关，因为此矩阵中有一个(n-r)阶子式非零。所以线性无关。其次，证明对于方程组的任意一个解可以由线性表示。设任一解，则是的解，故将代入（1）式得 又 即 是线性组合。是的一组基础解系。通解为。推论：若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则该方程组的解空间的维数为n-r。这是因为的基础解系就是它的解空间的一个基，包含向量个数为n-r。注：定理13的证明过程，提供了求一组基础解系的方法。例11 求下列齐次线性方程组的一组基础解系，并求一般解。 解： （其中是自由未知量）令，则令，则一个基础解系为一般解为二. 非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组改写为矩阵形式为称是其对应的齐次线性方程组。现讨论非齐次线性方程组的性质：性质1：设是的解，则是的解。证明：设的解，则是的解。性质2：设是的解，是的解，则是的解。证明：是的解。定理14：设是非齐次线性方程组的一个特解，是对应的齐次线性方程组，即的通解，则是的通解。即一般解为证明：设是的解，是的解，则是的解。另设是的任一解，因为是的解，是的解，可以由通解来表达。又因为可以表示为的形式。此定理给出求非齐次线性方程组的一般解的方法：（1） 求出对应的齐次线性方程组的基础解系，（2） 求出的一个特解，（3） 则一般解（4） 若只有零解，则也只有唯一解。例2 求解线性方程组 解：解对应齐次线性方程组得 （其中是自由未知量）令，得令，得一个基础解系为解非齐次线性方程组得 （其中是自由未知量）令，得方程组的一般解为作业：20（1），23（1），24.第四章 向量空间与向量内积4.6 向量的内积与正交化方法 教学目的：1 了解向量的内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵等概念。 2 掌握施密特正交化方法。教学重点：向量内积的定义及性质；施密特正交化方法。教学难点：施密特正交化方法。教学时数：2学时教学内容： 一 向量的内积1. 定义：设有n维向量 令称为向量与的内积。 注：内积是一种运算，当与都是列向量时，有当与都是行向量时，有2. 内积的性质 （1） （2） （3） （4） 注：n维向量的内积是数量积的推广，但没有三维向量的直观的向量和夹角的概念，但可以同样方法定义长度与夹角。3. 定义：对n维向量，定义长度为，即 4. 向量长度的性质：（1） 非负性：且（2） 齐次性：（3） 三角不等式：5. 单位向量：6. 向量的单位化：7. 柯西-施瓦兹不等式：注：（1）均不为0时 （2）非零向量与的夹角 二 向量的正交化方法 1. 定义：若，则称与正交，记作。 注：零向量与任意向量正交。 2. 定义：是两两正交的非零向量，则是正交向量组。单位且正交的向量的向量组成的向量组称为标准正交向量组。 是标准正交向量组的充要条件是 3. （性质）正交向量组线性无关。证：设有，使得上式两边分别与作内积，有 结合正交的定义知，又，知，从而。同样方法可以证得。得证。 4. 定义：n维向量空间一组基是标准正交向量组，这组基称为V的一组标准正交基。例：就是的一组标准正交基。 若是V的一组标准正交基，则有 为求其中，用与上式作内积有 结合标准正交的定义知 ，这就是向量在标准正交基中坐标的计算公式。利用这个公式能方便地求得向量的坐标，因此，在给向量空间取基时常取标准正交基，以下我们就讨论在空间V的任意一组基基础上如何构造一个与它等价的标准正交基，这样的问题也称为将规范正交化。5. 施密特正交化方法：给定 （1） （2） 容易验证与等价。(3) 把它们单位化 即 这样就得到一个标准正交基。以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。不仅满足与等价，并且满足对任何与等价。例：设试用施密特正交化过程八这组向量规范正交化。解：取 ； 再把它们单位化 为所求。注: 规范正交化的过程一定先正交化再单位化。三. 正交矩阵1. 定义: n阶矩阵A若满足，则A为正交矩阵。2. 性质：设A,B都是n阶正交矩阵，则 （1） （2）A可逆，且（3）也是正交矩阵 （4） AB也是正交阵证：只证（3），其余自己作为练习。 已知A是正交矩阵，则，3. 正交矩阵的判别定理：n阶矩阵A是正交矩阵的充分条件是A的行（列）向量组是正交单位向量组。证明：如书中所述。注：定理表明，只要我们找到两两正交的n维单位向量，则认它们为列（行）构成的n阶矩阵一定是正交阵。例：设是正交矩阵，求a,b,c,d.解：由判别方法知A的行（列）向量为单位正交向量组。 由A的1，4列正交有 由A的2，4列正交有 由A的3，4列正交有 由A的1，4行正交有 从而， 。思考题: 设是n维空间V的一组基，证：若，均有，则。作业：第25（2）（3），28（2）。第五章 矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量教学目的：掌握矩阵特征值与特征向量的计算方法，了解特征值与特征向量的性质。教学重点：矩阵特征值与特征向量的计算。教学难点：特征值与特征向量的概念、性质。教学时数：2学时教学内容： 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值与特征向量问题。 定义1 设是阶方阵，若存在数和维非零列向量，使得 (1)成立，则称为方阵的特征值，非零向量称为的属于特征值的特征向量。由定义中(1)式，可得 (2) 由此可见，特征向量就是齐次线性方程组(2)式的非零解；反之若能找到数，使得方程组(2)有非零解，则就是矩阵的特征值。由齐次线性方程组解的理论知：是方阵的特征值的充分必要条件是 (3)上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程。其左端展开后是的一个次多项式，记作，即称之为方阵的特征多项式。由代数理论知，一元次方程有且仅有个根，因此，阶方阵有且仅有个特征值，重特征值按重数计算。求阶方阵的特征值和特征向量的计算方法：(1) 求出特征方程的个根，它们就是的个特征值.(2) 对每个不同的特征值，求齐次线性方程组的一个基础解系，则方程组的所有非零解就是方阵的属于特征值的全部特征向量，这里.例1 求的特征值和特征向量。解：由于的特征多项式为令，可得的特征值为， 当时，由，即解得属于的特征向量为当时，由，即解得属于的特征向量为显然，若是方阵属于的特征向量，则()也是属于的特征向量。例2 求矩阵的特征值和特征向量。解： 令，得的三个特征值为， 当时，解，由得特征向量当时，解，由得基础解系为， 所以属于的全部特征向量为， （不同时为0）例3 求矩阵的特征值和特征向量。解：矩阵的特征方程矩阵的特征值为， 当时，解方程组，得由解得基础解系矩阵属于特征值的全部特征向量为()。当时，解方程组，得由解得基础解系矩阵属于特征值2的全部特征向量为()。在例2中，对于二重特征值，其对应的线性无关的特征向量有两个；而在例3中，对于二重特征值，其对应的线性无关的特征向量却只有一个。因此，除了某些特殊的矩阵外，对于一般方阵而言，其特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数之间无必然联系。另外，由特征值的定义我们很容易得到对角矩阵和上（下）三角矩阵的特征值，它们的特征值就是其主对角线上的各元素。下面我们讨论特征值与特征向量的性质：性质1 方阵的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。证 设非零向量是方阵的一个特征向量，与其对应的特征值有和，则因此由于，所以，故。性质2 若是可逆方阵的特征值，则是的特征值。证 设是的属于特征值的特征向量，则有于是由于，所以，故所以是矩阵的特征值。例4 设是方阵的特征值，证明是的特征值。证 因是方阵的特征值，故存在特征向量，使得于是所以是的特征值。按此例类推，不难证明：若是的特征值，则是的特征值，即， (4)性质3 设是矩阵的特征值，对应的特征向量是，则是的多项式矩阵的特征值，且。证 由(4)式知故性质3成立。性质4 设是一个多项式，若阶方阵，使得，则的任一特征值必满足。证 设非零向量是矩阵的属于特征值的特征向量，由性质3知由于，故只有。例5 设阶方阵满足，证明的特征值只能是3或-2。证 由于满足，令，则有，因此，由性质4，方阵的特征值必满足方程故方阵的特征值只能是3或-2。定义2 任意阶方阵的主对角线上元素之和称为矩阵的迹，记作tr，即tr定理1 设阶方阵的特征值为，则(1) tr(2) （证明略）由定理1容易得到：例6 已知三阶矩阵的特征值为1，-1，3，求的特征值，并求。解：由性质2，的特征值为，知的三个特征值分别为1，-1，故的三个特征值分别为，即为3，1，。且由性质3知的特征值为，故的三个特征值分别为-2，-2，3。所以得。例7 设和是二阶方阵的特征向量，对应的特征值依次为和，求。解：由题意知有取二阶方阵，由，知可逆，且故有，得作业：P146 ，第2(1)，3(1)，5，8，9。5.2 相似矩阵一、相似矩阵定义3：设、为阶矩阵，若存在阶可逆矩阵，使得：。则称矩阵与相似，或者说是的相似矩阵。记作：。可逆矩阵称为相似变换矩阵。对进行运算，称为对进行相似变换。矩阵的相似关系满足等价关系的三个性质：即对阶矩阵、有：1）反身性： 2）对称性：若，则 3）传递性：若，则证3）（因为，和可逆，所以可逆。）相似矩阵还有以下重要性质：性质