上海市长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研一模数学试卷含解析.doc

2016-2017学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数 学 试 卷一填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16题每题填对得4分，第712题每题填对得5分1设集合，集合，则_【解析】|x2|1，即1x21，解得1x3，即A=（1，3），集合B=Z，则AB=2，故答案为：22函数（）的最小正周期是，则_【解析】（），T=，=2故答案是：23设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_【解析】复数=对应的点到原点的距离=故答案为：4若函数的反函数的图像经过点，则实数_【解析】函数的反函数的图象经过点（4，1），即函数的图象经过点（1，4），4=log2（1+1）+a4=1+a，a=3故答案为：35已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为，则_【解析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6故答案：66甲、乙两人从门不同的选修课中各选修门，则甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有_种【解析】根据题意，采用间接法：由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有1001030=60种故答案为607若圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为_【解析】设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2r=2，解得r=故圆锥的高h=，圆锥的体积V=r2h=cm3故答案为：8若数列的所有项都是正数，且（），则_【解析】+=n2+3n（nN*），n=1时，=4，解得a1=16n2时，且+=（n1）2+3（n1），可得：=2n+2，an=4（n+1）2=4（n+1）（）=2故答案为：29如图，在中，是边上的一点，则的长为_【解析】在ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cosADC=，ADC=120，ADB=60在ABD中，AD=5，B=45，ADB=60，由正弦定理得 ，AB=故答案为：10有以下命题： 若函数既是奇函数又是偶函数，则的值域为； 若函数是偶函数，则； 若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数； 若函数存在反函数，且与不完全相同，则与图像的公共点必在直线上其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）【解析】若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是0，所以正确若函数为偶函数，则f（x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以正确因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以错误原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=与其反函数y=x21（x0）的交点坐标有（1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以错误故答案为：11设向量，其中为坐标原点，若、三点共线，则的最小值为_【解析】向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，=（a1，1），=（b1，2），A、B、C三点共线，=，解得2a+b=1，+=（+）（2a+b）=2+2+4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为_【解析】将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于62=12，宽等于5，由勾股定理d=13故答案为：13二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分13“”是“”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【解析】由x24，解得：2x2，故x2是x24的必要不充分条件，故选：B14若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论中一定正确的是（ ）（A）单调递增 （B）单调递减 （C）有最小值 （D）有最大值【解析】Sn=na1+d=n2+n，0，Sn有最小值故选：C15给出下列命题： （1）存在实数使； （2）直线是函数图象的一条对称轴； （3）（）的值域是； （4）若，都是第一象限角，且，则其中正确命题的序号为（ ）（A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（1）（4）【解析】（1），（1）错误；（2）y=sinx图象的对称轴方程为，k=1，（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos（cos1），其值域是cos1，1，（3）正确；（4）不妨令，满足，都是第一象限角，且，但tantan，（4）错误；故选B16如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立+asinx+1sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1sin2xf（y）min，当y0时，f（y）=+2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y0时，f（y）=+2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）max=3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3所以，asinx+1sin2x3，即asinxsin2x2恒成立若sinx0，asinx+恒成立，令sinx=t，则0t1，再令g（t）=t+（0t1），则ag（t）min由于g（t）=10，所以，g（t）=t+在区间（0，上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a3；若sinx0，则asinx+恒成立，同理可得a3；若sinx=0，02恒成立，故aR；综合，3a3故选：D三解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分如图：已知平面，与平面所成的角为，且（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在中，分别是角，的对边，且（1）求角的大小；（2）若，求和的值19（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分某地要建造一个边长为（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区（1）求证：；（2）设点的横坐标为， 用表示，两点的坐标； 将四边形的面积表示成关于的函数，并求的最大值20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知函数（1）若，求的值域；（2）当时，求的最小值；（3）是否存在实数、，同时满足下列条件： ； 当的定义域为时，其值域为若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，其中，常数（1）求证：是一个定值；（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例2016学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷参考答案与评分标准一填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16题每题填对得4分，第712题每题填对得5分1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分13B 14C 15B 16D三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分（1）因为平面，所以就是与平面所成的角，即，且为三棱锥的高 （2分）由，得，又由，得 （3分）所以， （5分）（2）取中点，连结，则，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）， （1分）在中， （3分）所以， （6分）即所以异面直线与所成角的大小为 （7分）18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）由，得，（2分）因为，所以，故，（4分）所以， （6分）（2）由余弦定理，得， （2分），得， （4分）由解得或 （8分）19（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分（1）将代入得，所以二次函数的解析式为（）， （2分）由得， （3分）由题意，所以 （5分）（2） 由（1），一次函数的解析式为， （1分）因为直线过点，所以，解得，故（2分）所以一次函数为，令，得，即， （3分）令，得，即 （5分） ， （1分）当点与点重合时，解得，所以所以，（4分）因为，当且仅当时取等号，所以当且仅当（），时取最大值（） （6分）20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（1）当时，由，得， （2分）因为，所以， （4分）（2）令，因为，故，函数可化为 （2分） 当时，； （3分） 当时，； （4分） 当时， （5分）综上， （6分）（3）因为，为减函数，所以在上的值域为， （2分）又在上的值域为，所以， 即 （3分）两式相减，得，因为，所以，而由可得，矛盾所以，不存在满足条件的实数、 （6分）21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（1）由 ， 得 ，得， （2分）因为，所以（定值） （4分）（2）当时，故， （1分）根据（1）知，数列的奇数项和偶