数学高考题的科学背景拾趣.pdf

数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期 数学高考题的科学背景拾趣 李锦旭李锦浩 山东临沐县实验中学2 7 6 7 0 0 山东临沐县蛟龙中学2 7 6 7 0 0 高考改革始终以对考生后继学习潜力与研究 素质的考查为最高目 标 其中 以某些历史名题或 科学家尤其是数学家研究成果为背景材料改造设 计而成的高考题 尤其为广大中学师生津津乐道 也深受高等院校学者 教授们赞许 1 错排问题有渊源 例1 1 9 9 3 年理文 1 7 同室四 人各写一张贺 年卡 先集中起来 然后每人从中拿一别人送出的 贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有 A 6 种B 9 种C 1 1 种D 2 3 种 解析此题一出 立即引起极大反响 许多人 认为新颖 有趣 并对它进行引申推广等一般性研 究 其实 这是一个古老的问题 最先由利可努斯一 贝努利 N i k l a u s B e r n o u l l i 1 6 2 2 1 7 0 8 提出 其通常 提法是 n 个有序元素 全部改变其位置的排列数是 多 少 故称之为 错位排列 问 题 后来大数学家欧 拉 E u le r 等都有所研究 记f n 表示n 个元素全 部错位的所有排列种数 则 错位排列 问题的丫般 解表达式为 f n 二 ir0 1 以 n 卜 C 二 n 一1 n C nn 0 可解释为 给出 n 1 2 Cl n n一2 一 显然方法种数 过剩 了 可去掉某人恰拿到自 写贺年卡的情况 此时其他人 错位即 n 一 1 因n 个人等可能 故乘以以 即n 一 以 n 一 1 但又 不足 了 多 减了 多 减的 情形 恰含又有一个人拿到自 写贺年卡 于是 n 一C n 一 1 疏 n一2 t 但又 过剩 了 最后有 f n 今 C n 一1 C n n 一 2 一1 n C nn 0 本例解为f 4 二9 当 然 对考生而言 较好的 解法是按规律列举 当元素较少而限制条件较多 时 按一定规律列举不失为一种重要而简捷的方 法 2 趣说阿波罗尼圆 例2 2 0 0 6年四川卷理 6 已知两定点 A 一2 0 B 1 0 如果动点 P满足条件 I P AI 2 1 P B I 则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 A 7 1 B 4 7 c C 8 7 c D 9 n 解析准确解答本题并不难 将题设条件坐标 化可得轨迹为圆 易知选B 本题的意义在于它有着 深厚的数学史背景及高考试题的改造与继承的典 型性 众所周知 平面内到两定点的距离之比为常 数 34 1 的点的 轨迹是圆 这个圆 就是阿波罗尼 希 腊 A p o ll o n iu s o f P e r g a 2 6 0 一 1 9 0 B C 圆 阿 波 罗 尼 对圆锥曲线有深刻的研究 其主要研究成果集中在 他的代表作 圆锥曲线 一书 阿波罗尼圆是其研究 成果之一 上述试题正是以阿波罗尼圆为科学背景 改造成为中学生接受的选择题形式 有趣的是 1 9 9 4 年的全国高考文 2 4 题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆C x 2 y 2 1 动 点M到圆C 的 切线 长与I M Q 的比 等于常数A A 0 求动点M的 轨 迹方程 并说明它表示什么曲线 正是借鉴这一科 学背景 改造高中数学 必修本 第二册 上 1 7 8 例 5 将 常 数 冬 换 成 字 母 再 加 上 单 位 圆 的 切 线 长 编 一 朴 2 J N 一 丁 卜叨 制而成 其实 翻一翻历年高考题 我们可以看出高考命 题者对阿波罗尼圆的青睐 例如 运用复数形式叙述 为 满足 I z 一Z 1 z一名 2 A A 0 1 A 1 的 复数 对 应的点 Z的集合是阿波罗尼圆 用 式可妙解 1 9 8 9 年广东 1 9 9 年上海高考的 两道复数解答题 如1 9 9 0 年上海高考题 复 平面上点A B对应的复数分别为 I 二2 2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期数学通报 z 二 一 3 点P 对 应的 复 数为 z一 z I z 的辐角主值为 p 当 点尸 在以 原 点为圆 心 1 为 半径的 上 半圆 周 不 包括 两 个端 点 上 运动时 求T 的 最 小 值 时有 f x I 1 试证当 x 1 l 时 有1 2 a x b 簇 4 推广为一般情况 即门捷列夫问题 设a b c E R 多项式f x a x e b x f 动 二 2 a x b 当 x I L 时有I f x I 0 为两定点 动点P到A 点 的 距离与到B 点的 距离的比 为定值a a 0 求 P 点的轨迹 正是阿波罗尼圆的原版 3 门捷列夫见识远 例3 1 9 9 6 年理 2 5 已 知a b 是实数 函 数 f x a x e b x g x 二 b 当一 1 簇 1 时 I Ax I 1 1 证明 I 1 2 证明 当 一 1 x 0 当一 1 1 时以二 的 最大 值为2 求f x 解析此题属于二次函数推理题 查看一下历 史资料可知 此题改造于美国第六届普特南数学竞 赛题 a b E R f x a x e b x 当I x l l 因 为 xI L 时I f x 0 时 因为 f x 在 一L 剑上递增 所 以 一 擎 一 2 a L 二 2 a x 蕊2 a L b 4 M L 当 a 0 时 即I f x I 因 为f x 在 L 递减 所以 鉴2 a L 6 f x 2 a x b 一 2 a L b j一L 4 4 ML 即 I 4 ML 当a二0时 因为 2 M L 簇 f x b二 八 工 卫 一 二 c 2 M L L所 以 I 2 M 4 M 了 总 上 可 知 当 二 蛋 时 有 二 4 ML 借鉴门氏证法 极易证明1 9 9 6 年高考题第2 5 题 第 2 问 当然门捷列夫问题还可用赋值法给予简捷 证明 详见文 1 溶液的比 重与浓度间的上述关系 具有广泛的实用价值 如现在人们正是利用它来测 量啤酒与葡萄酒中酒精浓度 检查汽车冷却系统的 防冻液浓度的 后来数学家马尔科夫 M a r k o v 1 8 5 6 一1 9 2 2 对门 捷列夫问题作了更为一般的推广与证明 门捷列夫 马尔科夫定理若 n 次多项式 P n x 满足 I p n x I M 一l l 则 P j x n 2mZ 一 当 且 仅 当 为切比雪夫多项式时等号成立 证略 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期 4 纳皮尔说真不难 例4 2 0 0 1 年理 2 0 已知i m n 是正整数 且 1 i g m n 1 证明n A 1 n 0 解析一看此题 绝大多数考生感到特别抽 象 找不出思路 无从下笔 其实 本题将排列与指数 幂的运算法则 二项式定理有关知识有机交汇 更为 重要的是 本题内蕴极为丰富 富有深厚的科学背 景 英格兰 人纳皮尔 J o h n N a p i e r 整整花了2 0 年的 时 间 找 到 了 以 a n 1 韵 为 底 当 时 n 二 1 0 0 0 0 0 0 0 的对数 完成了对数表 后人对数列 a 二 1 韵 的 性 质 产 生 了 极 大 的 兴 趣 数 列 是 递 增 数 列 事 实 上 将 a n 1 青 n 11 a n 二 1 1 ln I 按 二 项 式 逐 项 展 开 比 较 展 开 式 右 边 对 应 项可 得a n a n 命 题设 计者正 是 借鉴 这一 方法 设计成试题第2 0 1 题 数 列 b n I b n 1 1n n 是 递 减 数 列 b 1 b n 2 击 1 n n q 2 n n 1 n n lC l 1 1 一 1 l 1 几 1 几 1 1 异 1 1 1 n l n 2 一 二A A 对 于 第 问 变 形 为m m nn 可 以 联 想 构 造 分房问题 概率模型求解 设 i 个人都等可能地分 配到N个房间的任一间去住 记事件 A为 恰好有 i 个房间各住一人 易得 P N A 然房间的数量越多 即N越大 能性越大 即概率越大 于是当 C 为 i 每个人住单间的可 1 i m n 时 有P A P n A 即n A 1m m A n 构造概率模型证 明不等式 化实数运算为概率运算 新颖独特 可谓 巧夺天工 给传统方法增添了一道独特亮丽的风 景 对第 2 问 若能构造函数 化离散为连续 利 用导数研究其单调性来证明 则可居高临下 别有 趣 味 如 将 原 式 变 形 转 化 为 证 明 f 二 二 士 二 3 递减或f x 1 n 1 x 递减等等 详见文 2 4 1 5 米勒问题用广泛 例 5 2 0 0 5年天津卷 2 0 某人在一山坡 P处观 看对面山顶上的一座铁塔 r 山坡 一 I义 pL Y 地 面 几 沪月 如图1 所示 塔高 B C二 塔所在的山高 O B二 8 0 2 2 0 图 1 O A二2 0 0 米 图中所示的山坡可视为直线l 且点 米米 二l 1 n l I I IJ I 1 丁 一 I I 几 1 n 1 n 2 n E N 在 直 线 上 与 水 平 地 面 的 夹 角 为 ta n s 告 试问此人距离水平地面多高时 观看塔的视角 L丑 尸 C 最大 不计此人身高 所 以 1 n 2 n 1 n 丁 乏 这正是试题第 2 问的设计背景 借鉴此法可 有如下简捷证法 数 列 1 n 1n 递 减 且1 i m ab 利 用 真 分 数 的 这 一性质可以很好地解决这两问 详见文 2 二是高 中 代数下册例题 设 二 一1 且 尹0 n 2 n C N 求 证 1 二 1 二 利用此结 论即贝努 利不等式可以给出此题非常漂亮的证明 详见文 3 解析此题源于生活 实际 富有生活气息 同时 具有深厚的科学背景 来源 于几何学史上著名的米勒 问题 设点 M N是锐角 乙A O B 的一边O A 上的两点 试在 O B边上找一点P 使 L M P N最大 其结论是 点 图 2 P为过M N两点且和射线O B相切的圆的切点 证 明略 米勒问题提出的背景是 1 4 7 1 年 德国数学 家米勒 J o a n n e s M i l l e r 向 诺德尔 C h r i s t i o n R o d e r 教 授提出如下有趣问题 在地球表面的什么部位 一 根垂直的悬杆呈现最长 即可见角最大 在米勒的 家乡哥尼斯堡 这个问题称为雷奇奥莫塔努斯 R e g i o m o n t a n u s 极大值问 题 此问题作为载人世界 2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期数学通报 数学史上的第一个极值问题而引人注目 运用米勒 问题的解决思路可简析例5 如图2 作圆M过点B G 且与直线l 相切 切点P的纵坐标即为所求 设直 线l 与Y 轴交于点Q 则易得Q 0 一 1 0 0 由圆 幂定 理得 A A A 与x 轴平行 短轴 B 1 B 2 在Y 轴上 中心为 0 0 b 0 1 月 1 写出椭圆的方程 求椭圆 的焦点坐标及离心率 2 直线Y二k l x 交椭圆 于两点 C 二 Y i D x 2 a r Q P 2 I Q B I 卯 二1 6 0 朽 口 GI 3 2 0 x 4 0 0 图 5 t ana 1 万幼s et a二 1 6 0 朽 x 冬 4 5 Y 2 Y 2 0 直线Y k 2 x 交椭圆于两点G x 3 Y 3 于 是Y p 1 0 0 二 I Q P s i n a二 井Y v 6 0 为所求 H x 4 Y 4 Y 4 0 求证 k l x I x zk 2 x 3 x 4 一一一 一 x 十x1 x2 xA 3 对 以米勒问题为科学背景编拟的试题还有 如图3 在直线 A B上求点 尸 使 尸对线段M N有最大视角 证明你的结论 1 9 8 4 年西安中学 生数学竞赛题 已 知A O a B O b 2 中的C D G H 设 C H交x 轴于点P G D交x 轴 于点Q 求证 I M P I I M QI 证明过程不考虑 C H或G D垂直于 A B 图 3 a b 0 试在 x 轴正半轴上求一点C 使 L A C B 最大 1 9 8 6 年全国高考题 在平面直角坐标系中 给 定两点M 一 1 2 N 1 4 点P 在X 轴上移动 当艺M P N取最大时 点P的横坐标为 2 0 0 4 年全国联赛题第 1 2 题 已 知椭圆的中 心在坐标原点 焦点F l 凡在 x 轴上 长轴A I A 的长为4 左准线l 与x 轴的 交点 为M I M A 1 I I A F l I 2 1 工 求椭圆的方程 II 若直线1 1 二二m I m I 1 P 为l 上的 动点 使Z F l P F 2 最大的 点 P 记为Q 求点Q 的坐 标 用m 表示 2 0 0 5 年浙江卷 第1 7 题 文科为 若点P 为l 上的 动点 求匕F 1 P F 2 最大值 以上试题用圆幂定理4 n x 轴的情形 解析请看 图6中 A M C H与 M G D 多么 像一 只蝴蝶的两只翅膀在翩翩 起舞 本题正是以平面几何 中著名的 蝴蝶定理 为背 景改造 是 蝴蝶定理 在椭 图6 圆中的推广 蝴蝶定理的内容可叙述为 如图6 M 是 D 0的弦A B 的中点 C D G H 是过M点的两条弦 连结C H D 分别交A B 于P Q 两点 则M P M Q 1 9 4 4 年2 月号 美国数学月刊 将此题作为征解题就 冠以 蝴蝶定理 的美名 我国中学数学界在2 0 世纪 7 0 年代末8 0 年代初兴起一次研究蝴蝶定理的热潮 出现许多颇有特色的初等证法 如综合法 面积法 三角法 解析法等等 这里介绍沈康身教授在 历史 数学名题赏析 一书记载的解析证法 如图 7 取 M为原 点 弦 A B为轴 视圆 0 来求解 都极为简单 可避 免复杂的运算 米勒问题的 数学模型在现实中有很多 应用 如欣赏一幅画的最佳 角度 沿边线踢足球的最佳 为 单 位圆 建 立 直 角 坐 标 x 4 k A E i 系 各有关点坐标 为 M 0 0 Q 4 0 P 一 p 0 D C F E斜率 分别为k k 2 则圆的方 程为二 2 一 a 2 二 1 气 x x s A x 图7 图 4 射门点 判断射影角的大小等 因此 普通高中课程 标准 将其改造编人实验教科书数学5 必修 2 0 0 4 年 人教社 A 版 习 题3 4 B 组第2 题 P 1 1 3 如图4 树顶A离地面a m 树上另一点 B离地面b m 在离 地面的 C 处看此树 离此树多远时视角最大 6蝴蝶飞舞进考苑 直线C D Y 几 1 二 直线 E F 1 k Y k 2 x 把 分别代人得 2 x 2 一2 k a x O 1 k 2 2 x 2 一 2 k 2 a x 设 C I 与 圆 a 2 一 a 2 一 1二 0 1 二 0 例6 2 0 0 3 年北京理1 8 如图5 椭圆的长轴 x 2 k i x 2 同理设 x 3 k 2 x 3 x 4 k 2 x 4 交点 坐标 为 x i k i x E F与 圆 0交点坐标 为 其横坐标各应满足 与 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第2 期 三种解决方案 哪种对 利用电教手段对一道立体几何问题的探究学习过程实录 蒲淑萍彭志宏 淄博师专数理科学系2 5 5 1 0 0 1 问题及学生的解决方案 题目 要在矩形的纸上画一个底面半径为 1 0 c m 高为2 0 径 c m 的圆 锥的 侧面展开图 这个矩形的 长和宽最少要多少 这是山东省五年制师范学校统编教材 数学 第二册第1 6 5 页的习题 本题出现在圆锥一节的课 后习 题中 从知识上讲 它涉及圆锥的高线 母线 侧面展开图等基础知识 从方法上讲 在它的解决 过程中 要使用 转化 的思想 化立体为平面 这一立体几何最为常用的方法 从解决方案上讲 长和宽最少要多少 需要我们获得用料最省这一 最优方案 本题作为一道探究 实践问题以课后作业的形 式布置给学生 不难求出 圆锥的母线为3 0 c m 侧 面展开图的图心角为1 2 0 0 如图1 下面是学生的 几种主要解决方案 方案1 他们认为的圆锥的侧面展开图及对应 矩形如图 1 所示 图 1 图 2 图 3 采取这种解决方案的同学最后获得的结果是 矩形的 长和 宽分别为 3 0 招 c m 3 0 c m 方案2 他们认为的圆锥的侧面展开图及对应 矩形如图 2 所示 采取这种解决方案的同学最后获得的结果是 矩 形的 长和宽 分别