高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第5课时 二面角.ppt

考点诠释知识整合基础再现例题精析精彩小结 第3课时二面角 考点诠释 掌握异面直线所成角及其求法 掌握斜线在平面上的射影的概念 斜线与平面所成角的概念及其求法 掌握公式cos cos1cos2 会用这个公式解决一些问题 掌握二面角的概念 二面角的平面角的概念及其求法 会作二面角的平面角 考点诠释 1 这部分知识是高考命题的热点之一 在高考试题中年年有 次次出 解决这些问题的关键是理解线线角 线面角 面面角的定义依定义作出有关角 然后抓住有关的三角形来解决 题型多为选择题与填空题 或为解答题的一问 考点诠释 2 二面角是高考试题中出现频率较高的题 它常常与其他两种空间结合考查 出现形式有求二面角的大小或已知二面角求其他两种空间角的大小 常以几何体为依托 特别是柱体 锥体中的有关线线 线面 面面角问题往往与距离或体积结合在一起考查 知识整合 1 两条异面直线所成的角 1 定义 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 分别引直线a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 2 关于这个定义有两点是应该知道的 直线a 和b 所成锐角 或直角 的大小 只由异面直线a b相互位置来确定与点o的选择无关 异面直线a和b所成角的范围是 0o 90o 异面直线所成的角不能为00 否则就成了两条平行直线 当这个角取900时 称为两条异面直线互相垂直 知识整合 2 直线和平面所成角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是0 的角 2 关于这个定义有两点应该知道 直线和平面所成角的范围应是 00 900 斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的角中最小的 其中 经过斜足 这个限制可以去掉 知识整合 3 二面角及其平面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 2 二面角及其平面角 一个平面垂直于二面角的棱 且与两个半平面分别交于射线oa ob o为垂足 则aob叫做二面角的平面角 3 关于二面角及其平面角的概念应注意以下几点 二面角的平面角的大小与垂直于棱的平面的位置无关 二面角的大小是用它的平面角的大小来度量的 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 二面角的平面角所在平面垂直于棱 基础再现 1 一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面 那么这两个二面角 a 相等b 互补c 相等或互补d 无法确定2 若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比等于 则这个三棱锥的侧面积和底面所成的二面角为 a 30 b c d 60 c d 基础再现 3 正四棱锥的相邻两侧面所成的二面角一定是 a 锐角b 直角c 钝角d 均有可能4 己知直线与平面成45 角 直线m 若直线在内的射影与直线m也成45 角 则与m所成的角是 a 30 b 45 c 60 d 90 c c 例题精析 例1 2001年全国 在正三棱柱abc a1b1c1中 若ab bb1 则ab1与c1b所成的角的大小为 分析1 利用平移法作出异面直线所成的角 分析2 利用三垂线定理判断是否垂直 分析3 利用补形法 评析 求两异面直线所成的角一般方法是平移法 有些问题表面看是求异面直线所成的角 但实际上是垂直问题 可利用三垂线定理来确定 例题精析 例2 如图 空间四边形abcd中 ab cd ab与cd成30 角 e f分别是ad bc的中点 1 求异面直线ef与ab所成角 2 求异面直线af ce所成角 3 求ce与底面bcd所成的角分析 条件中有中线 可利用中位线平移直线 但要注意异面直线所成角的范围 求直线与平面所成角 关键是找到平面的垂线 评析 1 求异面直线所成的角 或应用异面直线所成的角进行解题时 应先作出 或找出 两条异面直线所成的角 但所得的平面角可能是所求的角 也可能是其补角 这一点要认真对待 以免误解 2 求直线与平面所成角的三个步骤 作 证 求 一定要清晰 准确 完整 例题精析 例3 如图 已知abcd为边长为a的正方形 pa面abcd e为bc中点 1 求pcd与面abcd所成角 2 求b pc d大小 3 求pab与pcd所成角 4 求ped与abcd所成角的大小 5 求ped与面pab所成角大小 分析 会运用不同的方法去求二面角的大小 例题精析 例4 如图 是120 的二面角 a b两点在棱上 ab 2 d在内三角形abd是等腰直角三角形 dab 90 c在内 abd是等腰直角三角形acb 90 1 求dc与平面所成角 2 求二面角的大小 3 求异面直线ab cd所成角分析 关键是判断过d点垂直于平面的垂线的垂足位置 例题精析 5 在棱长为a的正方体abcd a b c d 中 e f分别是bc a d 的中点 1 求证 四边形b edf是菱形 2 求直线a c与de所成的角 3 求直线ad与平面b edf所成的角 解题回顾 对于第 1 小题 若仅由b e ed df fb 就断定b edf是菱形 那是不对的 因存在四边相等的空间四边形 所以必须证b e d f四点共面 第 3 小题应用了课本一道习题的结论 才证明了ad在平面b edf内的射影在b d上 返回 精彩小结 1 求异面直线所成角的主要方法 1 平移法 作出异面直线所成的角的基本方法是平移法 也就是把两条异面直线平移成两条相交直线 两条异面直线所成的角就是这两条相交直线所成的角 或其补角 有两点值得注意 把异面直线平移成相交直线后 相交直线所成的角可能是钝角 而异面直线所成的角只能是锐角或直角 所以平移后得到的角是异面直线所成角的补角 点o的选择对于夹角的大小来说相当关键 为了易于求出夹角的大小 点o常选在异面直线中的一条上 若是在几何体中作异面直线的夹角 点o经常选在几何体的特殊点上 如棱 或对角线 的端点 中点等特殊点 精彩小结 2 求直线和平面所成角的方法 1 斜线和平面所成角的作法是 如图 设直线与平面斜交 o为斜足 在上取异于o的点a 由点a引平面的垂线 垂足为b aob就是斜线与平面所成的角 其中点a应根据问题的条件选在上的适当位置 作法的关键在于确定平面的垂线ab 实际操作应按以下步骤进行 精彩小结 首先查看已知条件和题目所给的图形中是否已有所需要的垂线 当已知条件和题目所给的图形没有所需要的垂线时 应考虑能否利用两平面垂直的性质定理进行补作 若无法利用两平面垂直的性质定理作出所需要的垂线 必须直接由点向平面引垂线时 应考虑垂足的位置 精彩小结 2 求直线和平面所成角的方法 射影法 主要是根据定义作出斜线在平面内的射影 从而作出线面角 并在直角三角形内求解 用公式 求之 精彩小结 3 求二面角大小的一般方法 二面角的大小是用它的平面角来度量的 如何找 或作 出二面的平面角 并且求出其大小 主要有以下几种方法 精彩小结 1 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面中作棱的垂线 得出平面角 用定义法 要认真观察图形的特性 2 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线 用三垂线定理或其逆定理作出平面角 3