高考数学《立体几何初步》专题 空间直线学案.doc

第2课时 空间直线基础过关1空间两条直线的位置关系为 、 、 2相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 5异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离典型例题例1. 如图，在空间四边形abcd中，adacbcbda，abcdb，e、f分别是ab、cd的中点(1) 求证：ef是ab和cd的公垂线；aebcfd(2) 求ab和cd间的距离证明：(1) 连结ce、de ab面cdeabef 同理cdefef是ab和cd的公垂线(2) ecd中，ecedef变式训练1：在空间四边形abcd中，adbc2，e，f分别为ab、cd的中点，ef，求ad、bc所成角的大小解：设bd的中点g，连接fg，eg。在efg中 ef fgeg1bmancsegf120 ad与bc成60的角。例2. s是正三角形abc所在平面外的一点，如图sasbsc，且asbbsccsa，m、n分别是ab和sc的中点求异面直线sm与bn所成的角证明：连结cm，设q为cm的中点，连结qn 则qnsmqnb是sm与bn所成的角或其补角连结bq，设sca，在bqn中bn nqsma bqcosqnbqnbarc cos变式训练2：正abc的边长为a，s为abc所在平面外的一点，sasbsca，e，f分别是sc和ab的中点(1) 求异面直线sc和ab的距离；(2) 求异面直线sa和ef所成角答案：(1) (2) 45pc1d1mb1a1dncba例3. 如图，棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n、p分别为a1b1、bb1、cc1的中点(1) 求异面直线d1p与am，cn与am所成角；(2) 判断d1p与am是否为异面直线？若是，求其距离解：(1) d1p与am成90的角cn与am所成角为arc cos.(2) 是np是其公垂线段, d1p与an的距离为1.变式训练3：如图，在直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m、n分别是a1b1和a1c1的中点，acbnma1c1b1若bccacc1，求nm与an所成的角解：连接mn，作ngbm交bc于g，连接ag，易证gna就是bm与an所成的角设：bccacc12，则agan，gnb1m，cosgna。例4如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底cdbefamp面abcd，aepd，efcd，amef(1) 证明mf是异面直线ab与pc的公垂线；(2) 若pa3ab，求直线ac与平面eam所成角的正弦值（1）证明：efcd amcdamef，又amef amfe为平行四边形 abpa，abad ab面pad abae，又aemf， abmf又aepd cdae ae面pcd aepc mfpc mf为ab与pc的公垂线(2) 设ab1，则pa3，建立如图所示坐标系由已知得(0，)，(1，0，0)面mfea的法向量为(0，1，3)，(1，1，0)，cos ac与面eam所成的角为arc cos，其正弦值为变式训练4：如图，在正方体中，e、f分别是、cd的中点（）证明；（）求与所成的角。（1）证明：因为ac1是正方体，所以ad面dc1 又df1dc1，所以add1f. （2）取ab中点g，连结a1g，fg， 因为f是cd的中点，所以gfad，又a1d1ad，所以gfa1d1，故四边形gfd1a1是平行四边形，a1gd1f。设a1g与ae相交于h，则a1ha是ae与d1f所成的角。因为e是bb1的中点，所以rta1agabe, ga1a=gah,从而a1ha=90,即直线ae与d1f所成的角为直角。小结归纳1求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作