§4 数列在日常经济生活中的应用.ppt

4数列在日常经济生活中的应用 1 掌握单利 复利的概念及它们本利和的计算公式 2 掌握零存整取 定期自动转存 分期付款模型的应用 1 单利与复利本利和的计算是本节课考查的重点 2 常与生活中的存款 分期付款等结合命题 3 三种考查方式均有可能呈现 属中低档题 3 有一位大学毕业生到一家私营企业去工作 试用期过后 老板对这位大学生很赞赏 有意留下他 便给出两种薪酬方案供他选择 其一 工作一年 月薪五千元 其二 工作一年 第一个月的工资为20元 以后每个月的工资是上个月的2倍 如果你是这位毕业生 并且也想在该企业继续工作 你会如何选择呢 1 单利与复利 1 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息 对本金所产生的利息不再计算利息 以符号P代表本金 n代表存期 r代表利率 S代表本金与利息和 则有S 2 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金 在计算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式是 P 1 nr S p 1 r n 2 三种应用模型 1 零存整取 模型每月定时存入一笔相同数目的现金 这是零存 到约定日期 取出全部本利和 这是整取 规定每次存入的钱不计复利 暂不考虑利息税 2 定期自动转存 模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存 例如 储户某日存入一笔存期为1年的存款 1年后 如果储户不取出本利和 则银行自动办理转存业务 第2年的本金就是第1年的本利和 3 分期付款 模型 分期付款 是购物的一种付款方式 即将所购物的款数在规定的期限按照一定的要求 分期付清 每期付款金额相同 1 某钢厂的年产值由1998年的40万吨 增加到2008年的50万吨 经历了10年的时间 如果按此年增长率计算 该钢厂2018年的年产值将接近 A 60万吨B 61万吨C 63万吨D 64万吨 答案 C 2 按活期存入银行1000元 年利率是0 72 那么按照单利 第5年末的本利和是 A 1036元B 1028元C 1043元D 1026元解析 第五年末的本利和是1000 1000 0 72 5 1000 36 1036 答案 A 3 据某校环保小组调查 某区垃圾量的年增长率为b 2010年产生的垃圾量为at 由此预测 该区2011年的垃圾量为 t 2015年的垃圾量为 t 解析 由于2010年的垃圾量为at 年增长率为b 故下一年的垃圾量为a ab a 1 b t 同理可知2012年的垃圾量为a 1 b 2t 2015年的垃圾量为a 1 b 5t 答案 a 1 b a 1 b 5 4 某企业2010年12月份产值是这年1月份产值的p倍 则该企业2010年度的产值月平均的增长率为 解析 设2010年1月份产值为a 则12月份的产值为pa 假设月平均增长率为r 5 某人从1月起 每月1日存入银行100元 到12月31日取出全部本金及其利息 已知月利率为0 165 若不计复利 那么他实际取出多少钱 不计利息税 解析 实际取出的钱等于本金 利息 这里关键是求利息 由于每期存入的钱到最后取钱时的存期是不一样的 因此每期存入的钱到最后取钱时 利息是不一样的 第1月存款利息 100 12 0 165 第2月存款利息 100 11 0 165 第11月存款利息 100 2 0 165 用分期付款购买价格为25万元的住房一套 如果购买时先付5万元 以后每年付2万元加上欠款利息 签订购房合同后1年付款一次 再过1年又付款一次 直到还完后为止 商定年利率为10 则第5年该付多少元 购房款全部付清后实际共付多少元 题后感悟 与数列相关的应用问题 可通过求前几项a1 a2 a3 找出求an的规律 从而写出an 在求a1 a2 a3时 不只要求出具体值 更要注重其内部结构规律的呈现 1 有一批影碟机原销售价为每台800元 在甲 乙两家商场均有销售 甲商场用如下方法促销 买一台单价为780元 买两台单价为760元 依次类推 每多买一台则所买各台单价均减少20元 但每台最低价不能低于440元 乙商场一律都按原价的75 销售 某单位需购买一批此类影碟机 问去哪一家商场购买花费较少 解析 设某单位需购买影碟机n台 在甲商场购买每台售价不低于440元时 售价依台数n成等差数列 设该数列为 an an 780 n 1 20 800 20n 解不等式an 440 即800 20n 440 得n 18 当购买台数小于18时 每台售价为 800 20n 元 当台数大于或等于18时 每台售价为440元 到乙商场购买 每台售价为800 75 600元 作差 800 20n n 600n 20n 10 n 所以 当n 10时 600n 800 20n n 当n 10时 600n 800 20n n 当10 n 18时 800 20n n 600n 当n 18时 440n 600n 所以当购买台数少于10台时 购买到乙商场花费较少 当购买10台时 到两商场购买花费相同 当购买多于10台时 到甲商场购买花费较少 随着农村经济的发展 农民进城购房已成为时尚 某房地产公司为了鼓励农民购买自己的商品房 采取了较为灵活的付款方式 对购买10万元一套的住房在一年内将款全部付清的前提下 可以选择以下两种分期付款方式购房 方案一 分3次付清 购买后4个月第1次付款 再过4个月第2次付款 再过4个月第3次付款 方案二 分12次付清 购买后1个月第1次付款 再过1个月第2次付款 再过1个月第3次付款 购买后12个月第12次付款 规定分期付款中 每期付款额相同 月利率为0 8 每月利息按复利计算 即指上月利息要记入下月本金 试比较以上两种方案中哪一种方案付款总额较少 注 计算结果保留四位有效数字 可利用等量关系 付清后买卖双方的本息款额相等 解题过程 对于方案一 设每次付款额为x1万元 第一次付款的本利和为1 0088x1万元 第二次付款的本利和为1 0084x1万元 第三次付款的本金为x1万元 第三次付款不产生利息 则1 0088x1 1 0084x1 x1 10 1 00812 付款总额为3 3 552 10 66万元 付款总额为12 0 8773 10 53 万元 10 66 万元 所以第二种方案付款总额较少 题后感悟 分期付款问题 其关键是将现实问题转化为数列问题 化归为等比数列或等差数列求和 在建立数学模型时 应抓住数量关系 联想数学方法适当引入参变量 将文字语言翻译成数学语言 将数量关系用数学式子表示 2 某家用电器一件现价2000元 实行分期付款 每期付款数相同 每期为一月 购买后一个月开始付款 每月付款1次 共付12次 购买后一年还清 约定月利率为0 8 按复利计算 那么每期应付款多少 解析 设每期应付款x元 则第1期付款以及到最后一次付款时所生利息为x 1 0 008 11元 第2期付款以及到最后一次付款时所生利息为x 1 0 008 10元 第12期付款 无利息 为x元 某企业投资1000万元用于一个高科技项目 每年可获利25 由于企业间竞争激烈 每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研 技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率 问经过多少年后 该项目的资金可以达到或超过翻两番 4倍 的目标 取lg2 0 3 设出数列 an 后 先由题意确定an 1与an间的关系 再进一步求解 题后感悟 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的递推关系式 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题 1 等差模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常数 3 混合模型 在一个问题中 同时涉及到等差数列和等比数列的模型 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 时 我们称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的递推关系式 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题 2 解数列应用题的方法步骤 1 认真审题 准确理解题意 达到如下要求 明确问题属于哪类应用问题 即明确是等差数列问题还是等比数列问题 还是递推数列问题 是求an 还是求Sn 特别要注意弄清项数为多少 弄清题目中主要的已知事项 2 抓住数量关系 联想数学知识和数学方法 恰当引入参数变量 将文字语言翻译成数学语言 将数量关系用数学式子表达 3 将实际问题抽象为数学问题 将已知与所求联系起来 列出满足题意的数学关系式 某公司年初有资金100万元 经过一年的经营 每年年底增值50 且每年年底要从中提取x万元作为消费基金 余下的资金投入下一年的运营 5年后 指第5年提取消费基金后 有资金200万元 则每年提取的消费基金是多少 结果保留三个有效数字 错解 该公司第1年初的资金为100万元 经过一年的经营 在第1年年底增值后为100 1 50 万元 在第2年年底增值后为100 1 50 2万元 在第5年年底增值后为100 1 50 5万元 又每年年底要从中提取x万元 5年共提取5x万元 所以100 1 50 5 5x 200 解得x 112 故每年提取的消费基金是112万元 错因 上面的解法错在误认为每年提走的x万元仍然在增值 处理这类问题 应该按照事件发生的顺序