5.1弧度制(3)教案.doc

5.1课题：弧度制（3）教案教学目的：1、能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。 2、通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。教学重点：弧度的概念和弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。教学过程：（一）、引入一、复习弧度制：弧度制是怎样定义的?答：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。（二）、新课一、由弧度制的定义，我们可以获得哪些性质呢？答：半圆所对的圆心角为。整圆所对的圆心角为。正角的弧度数是一个正数。负角的弧度数是一个负数。零角的弧度数是零。角的弧度数的绝对值|=。二、扇形的弧长公式和面积公式：1、弧长公式：弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积。2、面积公式：S=R。三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、利用弧度制证明扇形面积公式S=R，其中是扇形弧长，R是圆的半径。证法一：圆的面积为，圆心角为1弧度的扇形面积为，又扇形弧长为，半径为R, 扇形的圆心角大小为弧度, 扇形面积S=R。证法二：设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为S=，又此时弧长=， S=R=R。可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多。扇形面积公式：S=R=|。例2、求图中公路弯道处弧AB的长l (精确到1m图中长度单位：m)6045BA解：因为60=，所以=|R=4547(m)R答：公路转弯处AB的长l约为47 m 四、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、已知一扇形的圆心角是72，半径等于20厘米，求扇形的面积。解：72=，S=20=4。2、已知扇形的周长为10厘米，面积为4平方厘米，求扇形圆心角的弧度数。解：2r+=10，S=r=4，或，故=8或=。3、直径为20cm的轮子，每秒钟旋转45弧度，轮周上一点经过3秒钟所转过的弧长等于_cm。解：=45310=1350cm。五、拓展探究（2个）1、设一个扇形的周长是16，其面积是12，求它的圆心角的大小。解：2R+=16，且R=12，(8-R)R=12，R=2或R=6即或，圆心角为6弧度或弧度。2、一个扇形的周长是20cm，求它的半径r多大时，扇形面积最大？ 解：设扇形的中心角为，面积为S据题意R+R+R=20，R=S=25当且仅当=，即=2时，=25。（三）、小结1、弧度制扇形的弧长公式；2、弧度制扇形的面积公式；（四）、作业课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、中心角为60的扇形，它的弧长为2，则该扇形所在圆的半径为_。2、若1的圆心角所对的弧长为1m，则此圆的半径为_m。3、地球赤道的半径是6370km，所以赤道上1的弧长是_。（精确到0.01km）4、一条长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是_弧度。5、已知扇形周长为6cm，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数是_。6、半径为1的圆上，长度为2的弧所对的圆心角的弧度是_。7*、已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为_。8*、扇形的圆心角为，它所对的弦长是20cm，则扇形的弧长是_。二、选择题1、设3弧度的圆心角所对弧长12cm，则此圆心角所夹的扇形面积为 （ ）、 18 、 12 、 24 、362、一条弦长等于半径的，则此弦所对的圆心角等于 （ ）、 、 、 、以上答案都不正确3、扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 （ ）、16 、32 、16 、324*、已知某圆中，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则该圆心角所对的弧长为（ ）、sin 、 、 、2sin三、解答题1、已知半径为1的圆内，求1弧度的圆心角所对的弦长和弧长。2、已知一个扇形的面积为1，周长为4，求中心角的弧度数是多少？3、一个扇形0AB的中心角为120，面积为，求AB弧的长和以AB为弦的弓形面积。4*、已知一扇形的周长l厘米，当它的圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?四、双基铺垫1、初中是怎样定义锐角三角比的?2、它们的定义是：弧度制（3）课外作业答案一、填空题1、 6 ； 2、 ；3、 1.85km ；4、 ； 5、1弧度或4弧度；6、2 ；7、答案：4。设半径为r，则弧长=8-2r，8-2r=2r，即r=2，=4扇形面积S=24=4。8、答案：由题意得：sin=，r=20，=20=。二、选择题1、 C ； 2、 D ； 3、 C ； 4、 C ；三、解答题1、弧长=11=1；设弦长为2x，则sin=，弦长=2sin。2、S=R=1，R=2，又C=2R+=4，=4-2R，R(4-2R)=2R=1，=2，则=2弧度。3、AB弧=，弓形S=。4、设扇形的中心角为，面积为S，据题意R+R+R=1，R=S=当且仅当=2