高考数学 易错点点睛与高考突破 专题03 二次函数和指数函数.doc

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题03 二次函数和指数函数2已知f(x)是定义域为r的奇函数，当x0时，f(x)=2x-x2(1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数a、b(ab)使f(x)在a，b上的值域为,若存在，求a和b，若不存在，说明理由x1=-1,x2=-,x3=(舍)，a=-,b=-1.综合,知存在实数a,b,使f(x)在a,b上的值域为，有a=1,b=或a=-1或b-.3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、cr，且满足abc,f(1)=0.(1)证明：函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点a、b;(2)若函数f(x)=f(x)-g(x)在2，3上的最小值为9，最大值为21，试求a、b的值.(3)求线段ab在x轴上的射影a1b1的长的取值范围.难点 2 三个“二次”的综合问题1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，br，且a0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，(1)如果x12x2-1(2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的取值范围2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，cr，a0)满足条件：当xr,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；当x(0，2)时,f(x)；f(x)在r上的最小值为0 (1)求f(x)的表达式； (2)求最大的m(m1)，使得存在tr，只要x就有f(x+t)x恒成立3已知f(x)=ax2+2bx+4c(a、b、cr) (1)当a0时，若函数f(x)的图像与直线y=x均无公共点，求证：4ac-b2. (2)若a+c=0,f(x)在-2，2上的最大值为，最小值为-求证：2 (3)当b=4，c=时，对于给定负数a，有一个最大正数m(a)使得x0，m(a)时都有|f(x)|5，问a为何值时，m(a)最大，并求出这个最大值m(a)证明你的结论 (4)若f(x)同时满足下列条件a0；当|x|2时，有|f(x)|2；当|x|1时,f(x)最大值为2，求f(x)的解析式m(a)=难点3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 1已知函数f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在y=f(x)图像上运动时，点p( ,2y)在函数y=g(x)的图像上运动 (1)求y=g(x)的解析式； (2)当t=4，且x0，1时，求g(x)-f(x)的最小值；(3)若在x0，1时恒有g(x)f(x)成立，求t的取值范围 (3)由g(x)f(x)，即2log2(2x+t)log2(x+1)，在x0，1时恒成立，即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-10在0，1上恒成立即即1t或t综合，得t1即满足条件t的取值范围是(1，+)2设函数f(x)=ax+3a(a0且a1)的反函数为y=f-1(x)，已知函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于点(a，0)对称 (1)求函数y=g(x)的解析式； (2)是否存在实数a，使当xa+2，a+3时，恒有|f-1(x)-g(-x)|1成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由【易错点点睛】易错点1 二次函数的图象和性质的应用 1(2013模拟题精选)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围由,得a=1.3已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围【特别提醒】利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：判别式；区间端点函数值的正负；对称轴x=-与区间端点的关系另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.【变式探究】 1 若函数f(x)=x2+bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( )af(2)f(0)f(-2)bf(-2)f(2)(0)cf(0)f(-2)f(2)d. f(-2)f(0)f(2) 3 设函数f(x)=ax2+bx+1(1，br)(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)0成立，求f(x)的表达式4 已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3，求a的值答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，lga0并且整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=易错点2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1(2013模拟题精选)函数y=elnx-|x-1|的图像大致是 ( )2(2013模拟题精选)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0x1x2恒成立的函数的个数是 ( )a.0 b1 c2 d33(2013模拟题精选)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0, )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为 ( )a.(-，-) b(-，+)c(0，+) d(-，-)【错误答案】 选a或c【错解分析】 选a，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选c，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数事实上 (0，+)是f(x)的递减区间【正确解答】 d f(x)=loga(2x2+x)(a0且a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，若a1，则由f(x)0 x或x-1与题设矛盾.0a0x0 (2)解法1 由m-f-1(x)+ln(f(x)0得-ln+ln(ex-a)mln(ex-a)+ln即对于xln(3a)，ln(4a)恒有em 设t=ex，u(t)=，v(t)=，于是不等式化为u(t)emv(t)，t3a，4a当t1t2,t1,t23a，4a时u(t2)-u(t1)=-=0.【特别提醒】论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.【变式探究】1 已知函数f(x)=(ex+e2-x)(x1)(其中e为自然对数的底数)，则 ( )af-1()f-1() bf-1()f-1()c.f-1()f-1(2) d.f-1()f-1(2) 答案： d解析：f(x)=2 已知f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 ( )a. b. c2 d4 答案： b解析：f(x)=ax+loga(x+1)是单调递增（减）函数. (y=ax与y=loga(x+1)单调性相同).且在0，1的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, loga2+1=0, a=选b.3 对于0a1，给出下列四个不等式 ( )loga(1+a)loga(1+) loga(1+a)loga(1+) a1+a其中成立的是 ( )a.与 b.与 c.与 d与 答案： d 解析： 选d。4.已知函数f(x)=loga(-2)x+1在区间1，2上恒为正，求实数a的取值范围答案：在区间1，2上使f(x)0恒成立。解析：（1）当a1时，只要即与1矛盾. (2)当0a1时，设g(x)=只要0g(x)1.a=时，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒为正。当0a时，当易错点 3 函数的应用 1(2013模拟题精选)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1=506x-015x2，和l2=2x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )a45606 b456 c468 d468062甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0002t2.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?v=-.又v=-令v=0得s=20，当s0；当s20时，v0，s=20时，v取得最大值 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元吨)时，获得最大净收入 3(2013模拟题精选)某段城铁线路上依次有a，b，c三站，ab=5km，bc=3km在列车运行时刻表上，规定列车8时整从a站发车，8时07分到达b站并停车1分钟，8时12分到达c站，在实际运行时，假设列车从a站正点发车，在b站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkmh，匀速行驶，列车从a站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差(1)分别写出列车在b、c两站的运行误差；(2)若要求列车在b，c两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围当0v时，(*)式变形为-7+-112，解得39v.当v，(*)式变形为7-+-112，解得时，(*)式变形为7-+11-2，解得v，综上所述，v的取值范围是39, 4(2013模拟题精选)某人在一山坡p处观看对面山崖顶上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线oc，塔高bc=80(米)，山高ob=220(米)，oa=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点p在直线l上，l与水平地面的夹角为，tan=试问，此人距山崖的水平距离多远时，观看塔的视角bpc最大(不计此人的身高)?tan bpc= 设u=ux2-(288u-64)x+160640u=0 u0xr.=(288u-64)2-4160640u20. 解得 u2当u=2时，x=320即此人距山崖320米时，观看铁塔的视角bpc最大【错解分析】 上述解答过程中利用xr由判别式法求u的最大值是错误的，因为x当且仅当x=时上式取得等号故当x=320时tanbpc最大由此实际问题知，0bpc0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，公路上的公交车站p(x，0)随时都有公交车来往家住a(0，a)的某学生在位于公路上b(2a，0)处的学校就读，每天早晨学生都要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上公交车站，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上b(2a，0)处的学校已知船速为v0(v00)，车速为2v0(水流速度忽略不计) ()设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的站p(x，0)，再乘公交车去学校，请用x来表示他所用的时间t； 答案：设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的车站p(x,0),再乘公交车去学校，则他所用的时间t=f(x)=()若xa，请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间，并说明理由(取=1414，=2236)答案：若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站p(x,0),再乘公交车去学校，则他所用的时间为2 已知f(x)=，则下列正确的是 ( )a.奇函数，在r上为增函数b.偶函数，在r上为增函数c.奇函数，在r上为减函数d.偶函数，在r上为减函数 答案： a解析：函数f(x)=3 若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是 ( )aa0 ba1ca2 da3 答案： c解析：原不等式即为a2-x+12+(y+1)2恒成立，只需a大于或等于2-（x+1）2+(y+1)2的最大值为2，即a2.4 若函数f(x)=logax(0a1)在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于 ( )10 设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1),f(1)=0且方程f(x)+1=0有实根 (1)证明：-3c-1且b0答案：解(1)f(1)=01+2b+c=0b=,又cb1,故c-方程f(x)+1=0有实根