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微分方程 第一节微分方程的概念 第八章 第一节微分方程的概念 一 实例 例1 曲线过 0 1 且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标 求此曲线方程 设曲线方程为y y x 则 设运动方程为S S t 则 两次积分分别得出 条件代入 二 概念 1 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程 前例 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程 本章内容 2 阶 未知函数的最高阶导数的阶数 例1是一阶微分方程 例2是二阶微分方程 n阶方程一般形式 必须出现 3 解 如果将函数y y x 代入方程后恒等 则称其为方程的解 如果解中含有任意常数 且个数与阶数相同 通解 不含任意常数的解 特解 必须独立 n阶方程通解一般形式 4 定解条件 确定通解中任意常数值的条件 定解条件的个数要和阶数相同 才能确定唯一特解 定解条件中自变量取相同值时 叫做初始条件 5 几何意义 通解 积分曲线族 特解 积分曲线 例 验证是的通解 对用隐函数求导法得 故是方程的解 且含有一个任意常数 通解 第二节常见的一阶微分方程 微分方程 第二节几种常见的一阶微分方程 本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型 一 可分离变量的方程 一阶微分方程一般形式 我们研究其基本形式 如果可化成 1 则 1 称为可分离变量的方程 解法 1 分离变量 2 两边积分 3 得出通解 只写一个任意常数 例 任意常数 记为C 绝对值号可省略 定解条件代入 C 2 故特解为 二 齐次方程 如果方程 1 可化成 齐次方程 解法 令化成可分离变量方程 例 三 一阶线性方程 一般形式 2 3 一阶线性齐次方程 一阶线性非齐次方程 自由项 方程 3 是可分离变量方程 其通解为 方程 2 的通解 常数变易法 设 2 的通解 代入方程 2 则方程 2 的通解 4 注 1 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式 4 计算皆可 2 公式 4 中不定积分只求一个原函数即可 3 非齐次方程的特解 齐次方程的通解 非齐次方程解的结构 例 例 求方程满足初始条件的特解 将y视为自变量 可以变成关于x的线性方程 由得 故所求特解为 四 贝努里方程 一般形式 当n 0或1时 这是线性方程 当时 可以化成线性方程 两端同除以 令 则 关于z的线性方程 求出通解后再还原回y 例 两端同除以 令 代入 通解为 五 全微分方程 对于微分方程 则通解为 全微分方程 注 2 3 对于非全微分方程 有时可以找到函数 使得 全微分方程 积分因子 4 观察法往往很实用 例 因为 全微分方程 取 解法一 解法二 例 非全微分方程 由于 则是积分因子 同乘以积分因子并积分得通解 易知也是积分因子 例 非全微
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