蒙特卡洛模拟原理.doc

蒙特卡罗法又称随机抽样技巧法或统计试验法，在目前结构可靠度计算中，它被认为是一种相对精确法。其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，xk)(i=1，2，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi0，则当N时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。-蒙特卡罗蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于随机数的计算方法。一 起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的曼哈顿计划。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann和 Nicholas Metropolis（看到这四位泪目）。蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。二 解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的频率来决定事件的概率。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。1）总结Monte Carlo方法的基本思想：所求解问题是某随机事件A出现的概率（或者是某随机变量B的期望值）。通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计出A事件出现的概率（或者得到随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值）。2）工作过程在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。3）蒙特卡罗解题三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。 （3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 显然，正品率p为： 不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。-蒙特卡洛模拟是风险评价、评估中常用的一种方法。 主要用于，当在项目评价中输入的随机变量个数多于3个，每个输入变量可能出现3个以上以致无限多种状态时（如连续随机变量），就不能用理论计算法进行风险分析，这时就必须采用蒙特卡洛模拟技术。 方法的原理，是用随机抽样的方法抽取一组输入变量的数值，并根据这组输入变量的数值计算项目评价指标（如NPV，FIRR)，用这样的方法抽样计算足够多的次数可获得评价指标的概率分布及累计概率分布、期望值（MEAN)、方差(S)、标准差(STD DEV)，计算项目有可行转变为不可行的概率，从而估算项目投资所承受的风险。 运行程序： 1. 确定风险分析采用的评价指标。 2.确定对评价指标有重要影响的输入变量（unit cost,Inflation Rate,tax rate) 3.确定输入变量的概率分布。 4.为各输入变量独立抽取随机数