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高等数学 下 知识点 第 1 页 共 14 页 高等数学下高等数学下册册知识点知识点 第六第六章章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 一 一 向量及其线性运算向量及其线性运算 1 1 单位向量 零向量 向量平行单位向量 零向量 向量平行 2 2 线性运算 加减法 数乘线性运算 加减法 数乘 3 3 向量的坐标分解式向量的坐标分解式 4 4 利用坐标做向量的运算 利用坐标做向量的运算 设设 zyx aaaa zyx bbbb 则则 zzyyxx babababa zyx aaaa 重点 重点 5 5 向量的模 方向角 投影 向量的模 方向角 投影 1 1 向量的模 向量的模 222 zyxr 2 2 两点间的距离公式 两点间的距离公式 2 12 2 12 2 12 zzyyxxBA 3 3 方向角 非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向角 非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 4 4 方向余弦 方向余弦 r z r y r x cos cos cos 重点 重点 1coscoscos 222 5 5 投影 投影 cosPraaju 其中其中 为向量为向量a 与与u 的夹角 的夹角 二 二 数量数量积 向量积积 向量积 重点重点 1 1 数量积数量积 cosbaba 1 1 2 aaa 2 2 ba 0 ba zzyyxx babababa 2 2 向量积向量积 bac 高等数学 下 知识点 第 2 页 共 14 页 大小 大小 sinba 方向 方向 cba 符合右手规则符合右手规则 1 1 0 aa 2 2 ba 0 ba zyx zyx bbb aaa kji ba 运算律 反交换律运算律 反交换律 baab 三 三 曲面及其方程曲面及其方程 1 1 旋转曲面 旋转曲面 yoz面上曲线 面上曲线 0 zyfC 非重点 非重点 重点 重点 绕绕y轴旋转一周 轴旋转一周 0 22 zxyf 重点 重点 绕绕z轴旋转一周 轴旋转一周 0 22 zyxf 2 2 柱面柱面 0 yxF 表示母线平行于表示母线平行于z轴 准线为轴 准线为 0 0 z yxF 的柱面的柱面 四 四 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 1 1 一般方程 一般方程 0 0 zyxG zyxF 2 2 参数方程 参数方程 tzz tyy txx 如 如螺旋线 螺旋线 btz tay tax sin cos 3 3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 高等数学 下 知识点 第 3 页 共 14 页 0 0 zyxG zyxF 消去 消去z 得到 得到曲线在面曲线在面xoy上的投影上的投影 0 0 z yxH 五 五 平面及其方程平面及其方程 重点 重点 1 1 点法式方程 点法式方程 0 000 zzCyyBxxA 法向量 法向量 CBAn 过点 过点 000 zyx 2 2 一般式方程 一般式方程 0 DCzByAx 截距式方程 截距式方程 1 c z b y a x 3 3 两平面的夹角 两平面的夹角 1111 CBAn 2222 CBAn 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 21 0 212121 CCBBAA 21 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 4 4 点点 0000 zyxP 到平面到平面 0 DCzByAx 的距离 的距离 222 000 CBA DCzByAx d 六 六 空间直线及其方程空间直线及其方程 重点 重点 1 1 一般式方程 一般式方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 2 2 对称式 点向式 方程 对称式 点向式 方程 p zz n yy m xx 000 方向向量 方向向量 pnms 过点 过点 000 zyx 高等数学 下 知识点 第 4 页 共 14 页 3 3 参数式方程参数式方程 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 4 4 两直线的夹角两直线的夹角 1111 pnms 2222 pnms 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 21 LL 0 212121 ppnnmm 21 L L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 5 5 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 直线与它在平面上的投影的夹角 直线与它在平面上的投影的夹角 222222 sin pnmCBA CpBnAm L 0 CpBnAm L p C n B m A 第七第七章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 一 一 基本概念基本概念 1 1 多元函数多元函数 yxfz 的定义域的定义域 重点 重点 2 2 极限极限 Ayxf yxyx lim 00 3 3 连续连续 lim 00 00 yxfyxf yxyx 4 4 偏导数偏导数定义定义 5 5 计算计算偏导数偏导数以及以及二阶二阶偏导数偏导数 重点 重点 6 6 方向导数方向导数 重点 记住公式 重点 记住公式 高等数学 下 知识点 第 5 页 共 14 页 coscos y f x f l f 其中其中 为为l的方向角的方向角 7 7 梯度 梯度 yxfz 则 则 jyxfiyxfyxgradf yx 000000 重点 重点 8 8 掌握掌握计算计算全微分 设全微分 设 yxfz 则 则d dd zz zxy xy 重点 重点 二 二 性质性质 1 1 函数函数可微 偏导连续 偏导存在 函数连续等概念之间的关系 可微 偏导连续 偏导存在 函数连续等概念之间的关系 重点 重点 2 2 微分法微分法 1 1 定义 定义 u x 2 2 复合函数复合函数求导求导 链式法则 链式法则 重点 重点 z 例例 若若 zf u v uu x y vv x y 则 则 v y zzuzv xuxvx zzuzv yuyvy 3 3 隐函数隐函数求导求导 重点 重点 由方程 0F x y z 确定 zz x y 求 zz xy 等 方法 第一步 构造函数 FF x y z 第二步 求 x F y F z F 求 xyz FFF 时 均视 xyz为地位平等的自变量 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 充分条件充分条件 必要条件必要条件 定义定义 1 2 2 3 4 高等数学 下 知识点 第 6 页 共 14 页 即求 x F 时 视 yz为常数 其余类似 第三步 x z Fz xF y z F z yF 三 三 应用应用 1 1 极值极值 1 1 无条件极值 无条件极值 求函数求函数 yxfz 的极值的极值 重点 重点 解方程组解方程组 0 0 y x f f 求出所有驻点求出所有驻点 对于每一个驻对于每一个驻点点 00 yx 令 令 00 yxfA xx 00 yxfB xy 00 yxfC yy 若若0 2 BAC 0 A 函数有极小值 函数有极小值 若若0 2 BAC 0 A 函数有极大值 函数有极大值 若若0 2 BAC 函数没有极值 函数没有极值 若若0 2 BAC 不定 不定 2 2 条件极值 求函数条件极值 求函数 yxfz 在条件在条件0 yx 下的极值下的极值 重点 重点 令 令 yxyxfyxL LagrangeLagrange 函数函数 解方程组解方程组 0 0 0 yx L L y x 2 2 几何应用几何应用 1 1 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面 曲线曲线 tzz tyy txx 则 则 上一上一点点 000 zyxM 对应参数为 对应参数为 0 t 处的 处的 高等数学 下 知识点 第 7 页 共 14 页 切线方程为 切线方程为 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 法平面方程为 法平面方程为 0 000000 zztzyytyxxtx 2 2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 重点 重点 曲面曲面0 zyxF 则 则 上一点上一点 000 zyxM 处的处的切平面方程求法切平面方程求法 第一步 构造函数 FF x y z 第二步 求 x F y F z F 求 xyz FFF 时 均视 xyz为地位平等的自变量 即求 x F 时 视 yz为常数 其余类似 第三步 切平面的法向量 000000000 xyz nF xyzF xyzF xyz 第四步 切平面方程为 0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法线方程为 法线方程为 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 曲面曲面 zf x y 则 则 上一点上一点 000 zyxM 处的处的切平面方程求法切平面方程求法 第一步 构造函数 Fzf x y 第二步 求 x F y F z F 求 xyz FFF 时 均视 xyz为地位平等的自变量 即求 x F 时 视 yz为常数 其余类似 第三步 切平面的法向量 0000 1 xy nfxyfxy 第四步 切平面方程为 0000000 0 xy fxyxxfxyyyzz 法线方程为 法线方程为 000 0000 1 xy xxyyzz fxyfxy 第八第八章章 重积分重积分 一 一 二重积分二重积分 1 1 性质性质 高等数学 下 知识点 第 8 页 共 14 页 2 2 几何意义 曲顶柱体的体积 几何意义 曲顶柱体的体积 3 3 二重积分二重积分计算计算 重点 重点 1 1 直角坐标直角坐标 X X 型型 bxa xyx yxD 21 2 1 d dd d bx ax D f x yx yxf x yy Y Y 型型 dyc yxy yxD 21 2 1 d dd d dy cy D f x yx yyf x yx 2 2 极坐标极坐标 21 D 2 1 d d cos sin d D f x yx ydf 3 3 交换积分次序交换积分次序 重点 重点 第九第九章章 曲线积分与曲面曲线积分与曲面积分积分 一 一 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1 1 定义定义的的理解理解 2 2 性质 性质 1 d d d LLL f x yx ysf x ysg x ys 2 12 d d d LLL f x ysf x ysf x ys 21 LLL 3 在L上 若 yxgyxf 则 d d LL f x ysg x ys 高等数学 下 知识点 第 9 页 共 14 页 4 ls L d l l 为曲线弧为曲线弧 L L的长度的长度 重点 重点 3 3 计算 计算 重点 重点 设设 yxf在曲线弧在曲线弧L上有定义且连续 上有定义且连续 L的参数方程为的参数方程为 t ty tx 则则 22 d d L f x ysfttttt 二 二 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1 1 定义定义 理解 理解 d d L P x yxQ x yy 2 2 性质 性质 用用 L表示表示L的反向弧的反向弧 则则 LL ryxFryxFd d 重点 重点 3 3 计算 计算 重点 重点 设设 yxQyxP在有向光滑弧在有向光滑弧L上有定义且连续上有定义且连续 L的参数方程为的参数方程为 t ty tx 则则 d d d L P x yxQ x yyPtttQtttt 4 4 两类曲线积分之间的关系 两类曲线积分之间的关系 设平面有向曲线弧为设平面有向曲线弧为 ty tx L L上点上点 yx 处的切向量的方向角为 处的切向量的方向角为 cos 22 tt t cos 22 tt t 则则 dd coscos d LL P xQ yPQs 三 三 格林公式格林公式 重点 重点 高等数学 下 知识点 第 10 页 共 14 页 1 1 格林公式 格林公式 设区域设区域 D D 是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲线曲线 L L 围成 函数围成 函数 yxQyxP在在 D D 上具有上具有连续一阶偏导数连续一阶偏导数 则有则有 LD yQxPyx y P x Q dddd 2 2 G为一个单连通区域 为一个单连通区域 函数函数 yxQyxP 在在G上具有连续一阶偏导数 则上具有连续一阶偏导数 则有有 如下如下四个四个等价等价命题命题 y P x Q 曲线积分曲线积分 dd L P xQ y 在在G内与内与路径无关路径无关 曲线积分曲线积分 dd0 L P xQ y yyxQxyxPd d 在在G内为某一个函数内为某一个函数 yxu的全微分的全微分 第十第十章章 无穷级数无穷级数 一 一 常数项级数常数项级数 1 1 定义 定义 1 1 无穷级数 无穷级数 n n n uuuuu 321 1 部分和 部分和 n n k kn uuuuuS 321 1 正项级数 正项级数 1n n u 0 n u 交错级数 交错级数 1 1 n n nu 0 n u 2 2 级数收敛 若 级数收敛 若 SSn n lim 存在 则称级数存在 则称级数 1n n u 收敛 否则称级数收敛 否则称级数 1n n u 发散发散 3 3 条件收敛 条件收敛 1n n u 收敛 而收敛 而 1n n u 发散发散 称 称 1n n u 为条件为条件收敛收敛 重点重点 绝对收敛 绝对收敛 1n n u 收敛收敛 称 称 1n n u 为为绝对收敛绝对收敛 重点重点 高等数学 下 知识点 第 11 页 共 14 页 2 2 性质性质 重点重点 1 1 改变有限项不影响级数的收敛性 改变有限项不影响级数的收敛性 2 2 级数级数 1n n a 1n n b 收敛 则收敛 则 1 n nn ba 收敛 收敛 重点重点 3 3 级数级数 1n n a 收敛 则任意加括号后仍然收敛 收敛 则任意加括号后仍然收敛 4 4 必要条件 级数必要条件 级数 1n n u 收敛收敛 0lim n n u 注意 不是充分条件 注意 不是充分条件 重点重点 0lim n n u 级数级数 1n n u 收敛收敛 重点重点 lim0 n n u 级数 级数 1n n u 发散发散 重点重点 3 3 审敛法审敛法 正项级数 正项级数 1n n u 0 n u 1 1 定义 定义 SSn n lim 存在 存在 重点重点 2 2 1n n u 收敛收敛 n S有界 有界 3 3 比较审敛法比较审敛法 重点重点 1n n u 1n n v 为正项级数 且为正项级数 且 3 2 1 nvu nn 若若 1n n v 收敛 则收敛 则 1n n u 收敛 若收敛 若 1n n u 发散 则发散 则 1n n v 发散发散 4 4 比较法的推论比较法的推论 重点重点 1n n u 1n n v 为正项级数 若存在正整数为正项级数 若存在正整数m 当 当 mn 时 时 nn kvu 而 而 1n n v 收敛 则收敛 则 1n n u 收敛 若存在正整数收敛 若存在正整数m 当 当 mn 时 时 nn kvu 而而 1n n v 发散 则发散 则 1n n u 发散发散 高等数学 下 知识点 第 12 页 共 14 页 5 5 比较法的极限形式比较法的极限形式 1n n u 1n n v 为正项级数 为正项级数 若若 0 lim ll v u n n n 而而 1n n v 收敛 则收敛 则 1n n u 收敛 若收敛 若 0lim n n n v u 或或 n n n v u lim 而 而 1n n v 发散 发散 则则 1n n u 发发 散散 6 6 比值法 比值法 1n n u 为正项级数 设为正项级数 设 l u u n n n 1 lim 则当 则当1 l时 级数时 级数 1n n u 收敛 则收敛 则 当当1 l时 级数时 级数 1n n u 发散 当发散 当1 l时 级数时 级数 1n n u 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 重点 重点 7 7 根值法 根值法 1n n u 为正项级数 设为正项级数 设 lu n n n lim 则当 则当1 l时 级数时 级数 1n n u 收敛 则收敛 则 当当1 l时 级数时 级数 1n n u 发散 当发散 当1 l时 级数时 级数 1n n u 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 重点 重点 8 8 极限审敛法 极限审敛法 1n n u 为正项级数 若为正项级数 若 0lim n n un 或或 n n unlim 则 则级数级数 1n n u 发散 若存在发散 若存在1 p 使得 使得 0 lim llun n p n 则 则级数级数 1n n u 收敛收敛 交错级数 交错级数 莱布尼茨审敛法 交错级数 莱布尼茨审敛法 交错级数 1 1 n n nu 0 n u满足 满足 3 2 1 1 nuu nn 且且 0lim n n u 则级数 则级数 1 1 n n nu 收敛 收敛 重点 重点 任意项级数 任意项级数 1n n u 绝对收敛 则绝对收敛 则 1n n u 收敛 收敛 重点 重点 常见典型级数常见典型级数 重点 重点 几何级数 几何级数 1 1 0 q q aq n n 发散 发散 收敛 收敛 高等数学 下 知识点 第 13 页 共 14 页 p p 级数 级数 1p 1 1 1发散 发散 收敛 收敛 p n n p 二 二 函数项级数函数项级数 1 1 定义 函数项级数定义 函数项级数 1 n n xu 收敛域 收敛半径 和函数 收敛域 收敛半径 和函数 2 2 幂级数 幂级数 标准形式标准形式 0 0 n nn n a xa 重点 重点 收敛半径的求法 收敛半径的求法 1 lim n n n a R a 3 3 非标准形式非标准形式 重点重点 转换为正项级数后用比值法或者柯 转换为正项级数后用比值法或者柯西法 根值法 直接西法 根值法 直接 求出收敛区间和收敛域求出收敛区间和收敛域 当当0R 级数仅仅在 级数仅仅在0 x 收敛收敛 当当R 收敛区间收敛区间 当当0R 收敛区间收敛区间 R R 对有缺项的幂级数 指缺无限多项 则对有缺项的幂级数 指缺无限多项 则直接取直接取其后项与前项之比的绝对值取极限其后项与前项之比的绝对值取极限 1 lim n n n ux l ux 然后根据确定收敛半径然后根据确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间