整体把握与实施高中函数概念教.doc

整体把握与实施高中函数概念教函数概念是中学数学的核心概念，在新课程理念下立足高中数学教学的整体，深入研究函数概念教学具有理论和实践的价值基于学生对函数概念认识和领悟的历程较长，需多次反复和不断深化的实际，以及以往教学中存在的忽略学生认知基础、过快地呈现函数形式化定义、脱离函数概念相对孤立地研究函数性质和具体函数等问题，本文提出要站在数学教学整体的高度，宏观把握学生在不同学段对函数认识的层次，紧紧抓住教学中多次认识和理解函数概念的机会，不是停留在概念表层，而是凸现概念的本质属性，不断深化学生对函数概念的理性认识为此，本文分析了高中学生学习函数概念的认知基础和思维水平；细化了立足概念本质关注概括过程的函数概念教学；提出了函数性质教学中回归函数概念的关键；指出了具体函数教学中加深理解函数概念的方法；最后，举例说明解决有关函数问题可促进函数概念的进一步深化一、由学生认知基础定位高中函数概念教学学生对函数的认识可以追溯到小学，那时，他们主要感受了“对应”和“关系”在初中，学生学习实数、代数式、方程和不等式，感受了“对应”和“变量间的关系”，潜移默化地研究了函数的局部性质，这些都为建立函数的描述性定义奠定了基础，学生在初二年级正式学习函数概念，根据认知年龄特点，初中学生更容易从观察变量的角度认识函数，看到当一个量变化时，往往影响（或伴随）另一个量的变化虽然此时的函数概念中已经蕴含了对应的本质，但是，作为初中的学生更关注变化，他们很自然地把变化作为函数最重要的特征，把函数概念紧紧地与“变化”、“表达式”联系在一起我们了解了高一学生继续深入学习函数概念的知识基础：有一次函数等一些具体函数的例证，知道它们的解析式和图象，对函数概念的认识多数处在感性认识阶段经验基础是：了解函数在实际中应用广泛，对函数能描述客观世界某些变化规律有初步认识思维水平是：虽然从形象思维逐步过渡到逻辑思维阶段，但刚进入高中，还要从经验型的逻辑思维向辩证逻辑思维发展为此，在高中函数概念教学中，我们要客观地面对学生的思维水平和对函数概念处于较浅层次认识的实际，站在数学教学整体的高度，不失时机地帮助学生在已有认知基础上不断提高他们对抽象的函数概念的认识和理解，把“对应法则”作为函数概念的核心，理解定义域对于刻画函数的重要作用，能用多种方式表示函数，善于发挥图形在认识和理解函数概念中的作用，引导学生在研究函数性质、具体函数、函数应用中，多次回归函数概念本原，反复体会，逐步加深对这一概念的理性认识二、在函数概念教学中细化概括过程概念教学的核心是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例属性、抽象概括本质属性、归纳得出概念等思维活动而获得概念1. 丰富函数概念的背景，关注问题情境的设置在高中函数概念新课中教师创设怎样的问题情境？追寻函数概念历史发展的轨迹，始终遵循人的认知过程，是先有函数定义的变量说，后来认识到变量概念难以精确化，因变量如何“依赖”自变量，也没有细化，对函数的认识需要进一步深化，继而出现了函数定义的对应说历史上认识函数概念的“渐进性”给教学带来启示，问题情境设置关注两点：一是让学生自然地衔接初中学过的函数概念；二是让学生从丰富实例中产生认知冲突，感到再次学习函数概念的必要性例如，用几何画板演示一个变化的圆一个半径不断增大的圆的运动过程在学生观察圆的变化时，提出问题：这个运动变化过程中有哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？这些依赖关系是函数吗？学生发现了变量间的关系 ， (半径 ，面积 ,周长 )，唤起他们对初中学过的函数概念的回忆然后，教师继续提供给学生一些认识函数的感性材料：2. 增加学生的感性认识，重视概念本质属性的抽象过程介绍表示函数的符号 是让学生再次体会函数对应本质的良好时机，可以调整板书 的顺序：在黑板上先写“ ”，然后写“ ”（刚才的 被括在括号内），最后在 前写“ ”，一边板书一边口述函数定义，通过动态板书和口头强化会加深学生对符号 内涵的理解再通过举例 与 是同一个函数，让学生感受到它们定义域，对应法则都相同，得出值域也相同，用哪个字母表示解析式中自变量并不是本质的为了加深学生对定义域在刻画函数中意义的理性认识，可以引导学生分析，在函数 中， 与 的地位不同， 的变化起绝对性作用， 处于从属地位，函数的值域是由定义域和对应法则所决定的，除对应法则外，定义域是描述函数的另一个基本要素可以通过具体例子（如， 与 是不同的函数）来丰富学生对定义域在刻画函数中作用的感性认识3. 突出图形语言的作用，强化对概念本质的理解从前面的调查中我们知道，学生对函数表示方式印象最深的是解析式，其实，在一种表示法中看似理解了概念并不意味着在另一种表示法中也理解了概念，教学中可突出图形语言对理解函数概念的作用，从“形”的角度强化对概念本质的理解在学生知道函数定义后，不能过早地盲目应用概念，为了让学生更加清晰地把握概念本质特征“对应”，可以让学生举出更多的不同于课堂呈现的函数的正例，用图象表示在学生对函数概念有了一定理解的基础上，教师举出反例让学生进行概念的辨析三、在函数性质教学中不断回归函数概念研究函数性质离不开函数概念的支撑，要克服孤立地就性质论性质的倾向，在研究如何刻画函数变化规律的过程中不断回归函数概念，真正完成函数概念的初步建立1. 由函数图象上点的变化规律回归函数概念研究函数的单调性、奇偶性都离不开其非常直观的形象函数图象，数形结合是研究函数性质的重要方法然而，从直观的函数图象特征提升到用抽象的函数表达式表示性质有很大的思维跨度，需要给学生搭建一个从直观到抽象，从宏观到微观，从描述到刻画的平台图象是由点构成的，图象上任意一点的坐标 是由自变量 ，以及按照确定的对应法则 ，得到唯一确定的与其对应的函数值 构成的，研究图象上点的坐标变化规律实质上是在研究自变量变化特征和函数值变化特征，由此可揭示函数的变化规律2. 揭示定义域对于刻画函数性质的作用函数定义域是函数三要素中除了对应法则外的基本要素，定义域在刻画函数的单调性和奇偶性中不容忽视例如，函数奇偶性刻画的是在定义域上的整体性质，任取 ，都有 或 成立，说明这个性质是在定义域上的整体性质而非局部性质，对定义域 内的任意一个 ，都有 ，也就是 有意义， ， 同属于定义域 ，定义域关于原点对称再如，函数单调性是函数的局部性质，单调性是在单调区间上具有的，离开了相应的区间就谈不上单调性对于某个具体函数来说，单调区间可以是整个定义域，可以是定义域的一部分，也可以没有单调区间可以通过对常见错误（如反比例函数在它的定义域上是减函数）的分析加深理解四、在具体函数教学中加深对函数概念的理解函数概念是从大量具体函数例子中抽象概括的，如果没有丰富的具体函数的实例，函数概念也成了无源之水，无本之木每一个具体函数又是非常鲜活、生动的函数实例，它具有函数的共性研究具体函数需要以函数概念为指导，同时，通过对具体函数的学习又可以加深对函数一般概念的理解和掌握1. 用概念同化的方式学习具体函数概念数学概念的学习方式主要有两种，即概念形成和概念同化幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体函数是“函数”的下位概念，可以用概念同化的方式学习.教学中最重要的是引导学生善于迁移函数概念的本质，用对应的观点描述该具体函数，指出其对应法则、定义域、值域同时，兼顾具体函数的特殊性，其特有的对应法则，相应的定义域、值域，特有的函数性质，函数图象等，以此来再次充实函数的例证，丰富对函数概念的理解2. 函数模型的实际背景是函数概念背景的具体化每个基本初等函数都有其丰富的实际背景，每个基本初等函数模型都简洁地刻画了一类客观世界变化规律联系学生已有生活经验，呈现他们熟悉的实际背景是对函数概念背景的具体化再现例如，指数函数的实际背景有：细胞分裂，细菌繁殖，复利计算，物质衰变，这些现象在一定条件下其数量与时间（或次数）的关系都是按指数规律增长的，可以用指数函数模型 刻画如果研究细胞分裂次数与个数的关系，物质衰变年数与该物质含量的关系，就可以用对数函数模型 来刻画幂函数的实际背景有：正方形的面积与边长的关系，正方体的体积与棱长的关系，某段时间走了单位路程，速度与时间的关系等，可以分别用幂函数模型 等来刻画三角函数的实际背景有：圆上一点的匀速圆周运动、弹簧振子、单摆、波浪、潮汐等这些各具特点的实际背景再次丰富了学生认识函数概念的原有背景3. 对应法则是联系新旧概念的桥梁奥苏伯尔的认知同化论把学习解释为学习者利用原有认知结构中与新学习知识有关的观念去同化新知识，将知识纳入认知结构，并对其进行改组和再构，形成新的认知结构的过程实现认知同化的最佳方式是有意义学习，其实质是新学习的知识与认知结构中有关内容存在某种合理的或逻辑基础上的联系4在具体函数的教学中，我们要明确学生对即将学习的具体函数与他们已有概念间的联系，特别关注联系新旧概念的桥梁是每一个具体的对应法则，为学习新的概念找到“同化”和“顺应”的基础例如，对数函数的概念是建立在函数概念、对数与对数运算、指数函数等概念基础上的一个新概念函数概念具有统领作用，可以指导对数函数的学习；研究指数函数的经验可以迁移；对数与对数运算是此具体函数对应法则的具体化在诸多合理的或有逻辑的联系中，对应法则求对数是联系新旧概念的桥梁，教学中可以利用细胞分裂的实例，建立细胞分裂次数与细胞个数之间的对应关系，其定义域、值域完全可以从分析指数函数中得到，研究方法也可以类比指数函数的研究方法4. 用对应的观点理解具体函数在幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体函数的学习过程中，仍然要突出函数的三要素，核心是对应法则五、在解决问题的过程中进一步深化函数概念有关函数的常见问题一般有两类：一类是数学中有关函数的问题，包括单纯的函数问题和函数与其它知识交汇的问题；另一类是建立函数模型解决实际问题灵活解决有关函数问题可以促进对函数概念的进一步深化1. 在解决数学问题的过程中把握函数概念本质研究函数三要素、性质、图象是常见的问题，问题中所给函数的形式往往更为复杂或更为抽象，如给出的函数是分段函数、由一些基本初等函数经过四则运算得到的函数、复合函数、含有字母的函数、抽象函数等，虽然函数形式发生了很多变化，但它毕竟是非本质变化，对应的本质不会改变从“形”的角度观察，两个图形都关于原点对称，左图中，当 时，与它对应的值有两个 ，这不是函数图象，此图可以加深对函数概念的理解从“数”的角度抽象函数性质，右图所描述的函数是奇函数，容易求得其解析式 ，证明它是奇函数则需要理解奇函数的本质先观察其定义域关于原点对称，然后，分类讨论 以及