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文档简介

定积分的概念微积分基本公式 定积分的概念 引例1 曲边梯形的面积 演示 其中 设物体的运动速度 引例2 变速直线运动的路程 细分 取近似值 作和 取极限 1 2 取近似值 3 作和 4 取极限 曲边梯形面积A 变速运动的路程S 记为 记为 定积分的概念 演示 1 若函数在上连续 2 若函数在上有界 且只有有限个间断点 定积分存在的充分条件 则在上可积 则在上可积 有界是函数在区间 a b 上可积的必要条件 表示曲线与x轴围成的图形面积的代数和 表示曲线与x轴围成的图形面积 定积分的几何意义 演示 定积分几何意义的应用 定积分几何意义的应用 解因为在上连续 所以存在 例用定义求定积分 补充规定 定积分的基本性质 无论a b c的相对位置如何 3 式均成立 可推广至有限个函数的代数和的情形 定积分的基本性质 其中是的最小值 是的最大值 设在上连续 则在上至少有一点 使 定积分之中值定理 定积分的基本性质 若是奇函数 则 若是偶函数 则 性质8在对称区间奇偶函数的积分性质 由的任意性 得 积分上限函数及其导数 若在上连续 定积分是积分上限的函数 称为函数在区间上的积分上限函数 记作 即 定理如果函数f x 在区间 a b 上连续 则积分上限函数是f x 在 a b 上的一个原函数 证明 例1求下列函数的导数 解 解 练习 解 1 2 例1求下列函数的导数 解 解 练习 3 例1求下列函数的导数 练习 解 解 4 例1求下列函数的导数 练习 解 解 5 特别地 一般地 如果变速直线运动物体的运动方程是S S t 则在时间段 T1 T2 内所发生的位移变化为S T2 S T1 如果物体的运动方程为V V t 则由定积分可知 微积分基本公式 启示 而 设在区间上连续 是它的任意一个原函数 微积分基本公式 牛顿 莱布尼兹公式 证明思路 例2求下列定积分 解因为在上连续 是它的一个原函数 所以 解原式 或 解原式 解原式 几何意义 解原式 几何意义 解原式 解原式 合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质 简化定积分的计算 解 分段函数的积分计算 应分区间选取相应的函数 函数在x 1处间断 解原式 积分变量变 积分区间变 exit 引例曲边梯形的面积 exit 定积分的定义 exit 定积分的几何意义 exit 估值定理 exit 积分中值定理 牛顿 莱布尼兹
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