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不定积分 定积分 广义积分 第三章积分 学习重点 原函数的概念及不定积分的概念 不定积分的计算 原函数的概念 定义如果在区间内的每一点处 有或则称是在区间内的一个原函数 antiderivative 例如 因为 所以是在内的一个原函数 是的 导函数 问题 的导函数是 它的一个原函数是 问题 引例 已知物体的运动方程为 则物体运动的即时速度为 如果已知物体的运动方程为 则物体运动的位移如何计算呢 原函数的性质 1 如果有 则 2 如果 则 结论 如果函数在区间内有原函数 则有无穷多个原函数 且所有的原函数可用式子表示 原函数存在的充分条件 如果函数f x 在区间I内连续 则函数f x 在该区间内一定有原函数 原函数与导函数的关系 不定积分的概念 函数f x 在区间I内的所有的原函数构成的集合 称为函数f x 在区间I内的不定积分 记作 不定积分与导数的关系 先积分 后微分 形式不变 先微分 后积分 相差一个常数 即 解 由于 所以的一个原函数 所以 解 因为 基本积分表P94 是常数 不定积分的基本性质 不定积分的计算方法 直接积分法 换元积分法 分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法 不能漏写积分常数 直接积分法 例1 4 例1 3 解原式 分项积分法 9 例1 8 直接积分法 解原式 解原式 11 例1 10 解原式 解原式 例1 12 解原式 例1 13 解原式 我们有 但 应该是 利用一阶微分形式不变性 第一类换元积分法 例2 1 解 令 则 原式 2 解 令 则 原式 例2 3 解原式 一般地 求 令 则 例2 5 解原式 4 解原式 偶次方化倍角 乘积化和差 例2 6 解原式 一奇一偶 则将奇次方的函数拆出一个 凑成另一个的微分 几个常用的三角公式 常用凑微分公式 2 例3 1 解原式 解原式 4 例3 3 解原式 解原式 例4
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