高中数学联赛高考中的复数变换.pdf

第1 8 卷 增 2 0 0 3 内江师范学院学报 J O U R N A LO FN E I J l A N GT E A C H E R SC O L L E G E V o I 18 2 0 0 3 高中数学联赛 高考 中的复数变换 杨建国1 蓝淑芳2 1 四川省威远中学校 2 威远县严陵中学 四川威远6 4 2 4 5 0 摘要 介绍复数解题的常用三种方法 代数恒等化简t 三角恒角变换 敷形结合方法 关键词 复数 变换 解题 中图分擞号 G 6 3 3 6文献标识码 A 高中数学复数一章 重点学习复数的基本根 基本性质 基本运算法则 运算规律及其本应用 这不仅是 以后学习工程数学或复变函数 泛函分析的重要基础 也是众多领域 各门学科发展 应用 创新的基础 所以 近年来全国高中数学联赛的一 二试共1 8 个题中 一般都出两个复数题 或者一个选择题和一个填空题 或 者一个选择 填空 题和一个解答题 全国高考数学试题中 每年也多是一个小题 一个大题 且与全国联赛试 题相似 历年来 无论高中数学竞赛 还是高考中的复数题 无论小题 还是大题 都容易读懂 容易下笔 容易解 答 都充分体现了高中数学教材中复数的三种表现形式 复数的代数形式 复数的三角形式 复数的点或 向量形式 周此 针对题目己知未知中所涉及的复数形式 一般地有以下三种解法 或者这三种方法的综台 运用 一 代数恒等化简 这类题目 重点是根据复数的代数结构特点 综合应用 加 减 乘 除 乘方 开方 六种运算的法则 运算 性质 运算规律 代数基本定理 方程的根与系数的关系 韦达定理 共轭复数的性质 模的有关性质 轮换 对称变换 代数替换 代数式的恒等化简 如拆项 因式分解 配方 待定系数法 解方程 组 等一些常见的代 数手段 例1 1 9 8 5 年联赛题 设z u 为复数 l l l 关于i 一如 u 有下面四个结跑 其中正确的是 1 一 等熹是这个方程的解 这个方程只有一个解 这个方程有两个解 这个方程有无穷多 1 一l l 解 A 只有I 和 是正确的 B 只有J 和 是正确的 c 只有I 和 是正确的 D 以上A B C 都不正确 解因为方程 1 i 一肚 中 为复常数 z 为复数未知数 所以 是z 的一元一次方程 根据代数基 本定理 这个方程在复数范围内有一个根 又刘 1 方程两边取 共轭 得 2 z 一 e 由 1 得 3 z c U 十 k 3 代人 2 得 1 一I 1 一如一面 由已知lA l 1 所以l l 一 l2 o 所以2 一揣为原方程的解 所 以应选A 例2 19 8 7 年高考理科六题 设复数 和z 满足关系式 i 十万zr 4 z 一o 其中A 为不等于 的复数 收稿日期 2 0 0 3 1 1 2 6 作者简介 栖建国 1 9 5 7 一 男 四J n 威远人 四 省威远中学校教师 蓝淑芳 1 9 5 5 一 士 四川威远人 威远县严陵中学教师 万方数据 7 8 内江师范学院学撤第1 8 卷 增 证明 1 i z l H jI z 十A I l A I2 2 妻车簧 l 车等I 证 1 由已知的关系式得式 z A 互 万 一4 万一 A l2 因为l 以 l z n I i 以I I 云干万j I z n l 云 万l l 翻 n 云 再 由式 1 证得式 2 1 2 A 2 十J 4 l l i A j2 I A I2 2 因为A o 由式 1 得 4 o A o 所以z A 一兰 导 z 2 十 由此得搿一雨裂南 丽 搿卜 注 本题还有两种代数方法和一种三角变换的方法可解答 略 例3 1 9 9 9 年联赛题 给定实数n 6 c 求I d 9 1 6 z c 3l 的值 解由已知 薏 薏 詈 R 所以薏十詈 等 薏 詈十署j 即得 3 式 乏十筹十署 薏 薏 筹 又由k j 一1 一l 1 2 3 所以i 一去 一1 2 3 代人 3 得 詈 筹 筹一筹十薏 罢 即 k s z z 扬一z 扬 z 分解因式得 t 一 一 s 一 9 3 一9 1 O 所以g l z z 或 一g l 如果z z 代人 2 得 1 争 争一1 所以 争 十1 o 所以争 土i 这时a z 如 十r 粕j 旧If 6 l 一 几再R 甲干7 类似地 如果9 2 z 则I 如 f 岛l 一 玎萨F 巧7 干矛 如果 一z 则J 2 如2 I 气再i 阿 注 本题还可以用一种代数变换的方法 一种三角变换的方法或一种几何变换的方法解答 略 二 三角恒等变换 这类题的重点是运用复数的 三角形式 的 三要素 复数的 三角形式 进行 六则运算 的运算规律 运 算性质 三角函数及反三角函数定义 特殊角与特殊值的对应关系 符号规律 同角三角函数的关系 和 差 倍 半角公式 诱导公式以及和与积的互化公式等知识 并注意这些概念 公式 常见的三角变换方法在复数 解题化简中的变换作用 例4 1 9 9 7 年联赛题 已知复数z 满足l2 z j l 则z 的幅角主值范围是 解设I z I r r o a r gg 口 o 2 由l2 z I 1 得12 2 2 1 l l g I 所以l2 r 2 c o s 目 l i2 r 2 s i n 2 口l r 所以r 2 一 2 r 2 c o s 2 疗 1 2 2 r s i n 2 口 2 即 r z 一4 r 4 c o s 2 曰 1 法一 由 1 得c s 2 口 1 一 4 一 专 寺 1 2 4 一 专 一一号当且仅当d 去即r 互时 一 成立 所以c s 2 口 一 即2 c s2 口一l 一号 所以c s 2 口 吉 所以一 c s 口 j 且 口 2 因 此 a g z 一口的取值范围是 a r c c s 一a r c c o s u a r c c s 生 2 一a r c c s 法二 由 1 得式 2 4 r 4 4 c o s 2 口一1 产 1 一o 关于r 2 恒有实根 所以 一 4 c o s 2 臼一1 2 16 0 得 c s 2 目 一号 将c s 2 口一一寻代人 2 解得产一丢 所以 c s 2 目 一号 以下同法一 例5 1 9 9 8 联赛题 已知复数z 一1 一s i n 口十i c o s 口 等 口 求z 的共轭复数 的幅角主值 l 一 卜 一q k 一 一 k 一 1 2 式 式 I 足满 goZ 数复知 已 万方数据 第l8 卷 增 杨建国 蓝 扫 芳高中数学联赛 高考 巾的复数变换 7 9 解设 一l s l n 口一l c o s 口的幅角主值为d 则口 o 2 由 口 o 一c o s 口 o 知口 c 号 又由t s 一主善黑 亡毒等舌端 t sc 竿一导 由号 一 得 警一导 号 故得 一 3 z 曰 i 一百 注 本题也可以把 化成复数的三角形式 从而求得其辐角主值 三 数形结合巧解 倒6 1 9 9 6 年联赛题 复数平面上 非零复数z 在以i 为圆心 1 为半径的圆上 五z 的实部为o 的 幅角主值为 则z 都直接与几何相联系 因此 凡已 未知中涉及 模 和 角 旋转 伸长或缩短 复平面上的图形或曲线 以及一些平面几何或平面解析几何的问题 都可以 数型结合 转化为复数的运算 做到简捷解答 万方数据 高中数学联赛 高考 中的复数变换高中数学联赛 高考 中的复数变换 作者 杨建国 蓝淑芳 作者单位 杨建国 四川省威远中学校 四川 威远 642450 蓝淑芳 威远县严陵中学 四川 威远 642450 刊名 内江师范学院学报 英文刊名 JOURNAL OF NEIJIANG TEACHERS COLLEGE 年 卷 期 2003 18 z1 被引用次数 0次 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 闫河 李刚 张小川 YAN He LI Gang ZHANG Xiaochuan 复数Curvelet变换域复数高斯尺度混合图像降 噪 信息与控制2009 38 6 提出了一种基于复数Curvelet变换域复数高斯尺度混合 CGSM 模型的图像去噪方法 指出Curvelet 变换重构图像存在 划痕 和 嵌入污点 的主要原 因是Curvelet变换域存在频谱混叠 为此 采用复数小波变换和改进的Radon变换分别代替原Curvelet变换中的实小波变换和Radon变换 构造了具有抗混叠 性能的复数Curvelet变换 本文同时把高斯尺度混合 GSM 模型扩展到复小波域 形成对复小波系数的幅值和相位信息具有有效捕捉能力的复数GSM模型 并 在复数Curvelet变换域 采用贝叶斯最小平方 BLS 估计器对CGSM模型下含噪复系数进行有效估计 从而实现降噪 实验结果表明 无论是用PSNR指标评估 还是在视觉效果上 本文方法的去噪性能均好于传统Curvelet去噪 Curvelet域HMT去噪和小波域BLS GSM去噪 本文方法在有效去噪的同时 具有很好的 图像边缘和细节保护能力 2 学位论文 耿云玲 电能质量扰动分析中小波变换的应用研究 2006 电网中各种稳态或非稳态扰动信号的存在 是造成电网电能质量下降的根本原因 因此它们应该是电能质量监测的主要对象 长期以来 Fourier变 换和窗口Fourier变换在信号分析方面占主导地位 然而由于其固有缺陷 它们不能有效地应用于电能质量的非稳态扰动信号的处理 小波变换的出现为 研究电网电能质量扰动信号提供了一种新的方法 与Fourier变换和窗口Fourier变换相比 小波变换的突出特点一是没有固定的核函数 二是可提供一 个可变的时 频窗 前者一方面导致小波变换的结果强烈地依赖于所用小波函数的性质 另一方面也为不断改善小波变换的结果提供了可能 而后者则使 得小波变换在非稳态信号的分析方面具有了传统分析方法无法比拟的优越性 使其成为电网电能质量扰动信号分析等相关领域中有力的分析工具 在利用小波变换对不同问题进行分析时 最佳小波函数的选择始终是决定和改善小波变换应用效果的重要因素 从小波函数及不同类型小波变换的 特性出发 本文通过利用实数连续小波 实数离散正交小波 复数连续小波和复数离散正交对称小波等变换对相同的电能质量扰动信号的检测和定位进 行了比较详细的研究 对分析结果进行了全面的对比 对影响检测和定位精度的一些因素进行了深入的探讨 展示了不同形式小波函数在相同类型电能 质量扰动信号的检测和定位中在精度 灵敏度方面存在的差异 同时给出了对不同扰动信号进行小波分析时最佳小波函数的选取原则 为今后处理类似 问题时小波函数的选取提供了有益的尝试 在小波理论发展的过程中 离散正交小波变换与完全重构滤波器组之间关系的揭示为小波变换的直观解释和小波函数的构造都开辟了一条新的途径 尽管滤波器组理论与小波理论的发展历史差不多 但相比小波这一新兴的分析工具而言 滤波器理论却是一个传统而又较为成熟的学科 因此 有关 滤波器研究的大量成果为滤波器组理论的发展和完善奠定了坚实的基础 同时也为基于滤波器组理论新型小波的研究提供了可能 本文在滤波器组理论 的基础上 着重讨论了由完全重构滤波器组来构造离散正交小波的条件 进而从理论上研究了复数完全重构滤波器组中尺度滤波器正则阶及零点分布的 不同对相应滤波器和小波函数形式的影响 提出了由实数Daubichies小波推出复数离散正交Daubichies小波的系统构造方法 同时 对相应电能质量扰 动信号进行了检测和定位 结果显示了复数小波特别是复数小波变换系数相位信息与实数小波相比所具有的优良特性 除此之外 本文还提出了利用复 数小波变换实现信号频率偏差跟踪的方法 探讨了复数小波相频特性对其性能的影响以及复数小波变换的简单信息和复合信息在改善复数小波变换效果 方面的应用 电能质量扰动信号及时 准确的分类是电能质量改善的重要环节 从不同扰动信号在其小波分解的不同尺度上具有不同的能量分布 以及不同扰动 信号在相应复数小波变换下的小波系数具有不同反映的特点出发 本文分别提出了基于实数离散正交小波变换多尺度能量曲线以及基于复数小波变换系 数相位信息和幅值信息相结合的扰动信号分类的新方法 并通过相应的算例仿真研究验证了所提方法的有效性 在探讨如何利用小波变换对影响电能质量非稳态扰动信号进行分析的同时 本文还分别从频域和时域观点出发 对低通滤波器和人工神经网络在影 响电能质量的非正弦信号相关分量检测中的应用展开了研究 构造了相应的检测电路或系统 分析了电路的特性和性能 证实了所提出方法的有效性和 可行性 在此基础上 又对造成电能质量下降的稳态扰动信号中最常见的谐波和间谐波扰动信号分别利用实数离散小波变换和复数连续小波变换进行了 检测 并从结果和影响检测精度的原因等方面对这两种不同形式的小波变换进行了详尽的研究 提出了利用离散正交小波变换中基波分量重构波形和复 数连续小波变换系数的相位信息得到基波分量的初相角 进而求解无功分量的方法 明确了要实现较好谐波 间谐波检测效果对所用小波函数的要求 同时为相应小波函数的构造设定了基本的框架 3 期刊论文 张亚利 孙典亭 ZHANG Ya li SUN Dian ting 电化学交流阻抗复数平面图和电容复数平面图上相似图 形的等效电路变换规则 含有旋转半圆的图形的等效电路的变换 青岛大学学报 工程技术版 2000 15 3 提出并证明了含有旋转半圆的电化学交流阻抗复数平面图和电容复数平面图上相似图形等效电路的变换规则 推而广之 对任意包含有复数阻抗和复 数电容的等效电路 有着同样的变换规则 应用此规则 可以将在一个复数平面图上的研究结果直接用到另一个复数平面图上 因此 变换规则在电化学交流 阻抗研究中是一种有用的的手段 4 学位论文 严奉霞 复数小波理论及其在图像去噪与增强中的应用研究 2007 非平稳信号的稀疏表示和高效处理算法是数学和信息科学研究的重要内容 其中 近年来建立起来的小波理论与算法已经成为信号稀疏表示的有效 方法 但是 传统小波变换在处理信号和图像时存在平移敏感性和方向选择性弱等缺陷 因此 研究具有更好的近似平移不变性和奇异特征表示能力的 新型小波变换 成为当前小波理论发展以及图像处理中非常重要的课题 由于图像获取方式的限制或在传输过程中受到干扰 通常导致观测的图像质量 过低或被各种噪声所污染 图像去噪的主要目的是在保留图像原有重要信息的前提下降低或消除噪声 获得高质量的为人类视觉所接受的图像 从而为 下一步的图像处理奠定基础 图像增强的目的是通过处理凸显原图像不够清晰的细节信息 使得处理后的图像更加便于人眼理解或机器识别 图像去噪 和增强都是目前计算机视觉和图像处理领域最基本的且仍未很好解决的挑战性课题 针对传统离散小波变换 DWT Discrete Wavelet Transform 的局限 本文深入研究了二元树复数小波变换 DT CWT Dual Tree Complex Wavelet Transform 的相关性质 包括近似平移不变性 方向性和实现问题等 并在此基础上提出了构造二元树复数小波滤波器组的新算法 提出了一种新型复 数小波变换一高密二元树离散小波变换 HD DI DWT Higher Densit Dual Tree DWT 研究了其相关的性质及满足各种约束条件的滤波器组的构造方 法 为更好的处理非平稳信号 初步研究了基于全变差模型和优化方法的信号和图像自适应分解问题 进一步深入研究了新型复数小波变换在图像去噪 和增强中的应用 获得了比现有方法有显著改进的实验结果 本文的主要工作和创新如下 研究了二元树复数小波中双正交Hilbert变换对的构造 对线性相位双正交小波的构造和二元树复数小波变换的相关性质进行了充分而详尽的研究 在此基础上提出了利用参数化技术和最优化方法构造二元树复数小波变换中的Hilbert变换对的方法 这种滤波器设计的优点在于 对参数作适当的调 节就能得到有理系数的二元树复数小波滤波器组 对于提高变换速度和效率 降低计算复杂度都有显著意义 针对传统DWT的缺陷 提出了高密度二元树离散小波变换这一新型复数小波变换的概念 系统深入的研究了高密度二元树离散小波变换的性质和构 造方法 利用分数阶延迟滤波器 谱因子分解等技术构造出了具有紧支撑 消失矩 较高阶的光滑性 近似Hilbert变换对关系 中间尺度等优良性质的 小波函数 为信号和图像等高维数据的分析提供了一种新的变换方法 作为用小波变换对信号和图像进行分解的一种推广 本文还初步研究了基于优化方法的信号和图像自适应分解问题 根据信号自适应的得到其低 分辨率近似和重构滤波器 使得重构信号与原信号之间的误差最小 为提高所得近似图像的视觉质量 我们进一步将全变差模型引入自适应分解方法中 为对信号或图像进行自适应分解提供了一种新思路 基于理论研究的结果 进一步深入探讨了新型复数小波变换在图像去噪和增强中的应用 提出了三种基于DT CWT的图像去噪新算法 i 复数小波 变换域利用系数尺度间和尺度内相关性的图像去噪算法 ii 基于局部参数的二元树复数小波域隐马尔可夫树 HMT Hidden Markov Free 模型图像去噪 iii 复数小波域高斯尺度混合 GSM Gaussian Scale Mixture 模型去噪 这些方法充分利用了复数小波变换的优良性质及其系数分布的统计规律 实验表明 在简化计算复杂度 提高计算效率的同时获得了比现有相关去噪算法有显著改进的的去噪效果 另外 我们还提出了一种基于尺度间和尺 度内相关性SURE方法的正交小波阈值去噪方法 解决了最近提出的正交小波域去噪算法对含较多纹理的图像处理效果不佳的缺陷 成为目前非冗余小波 变换域效果最好的去噪算法 最后 我们还探讨了结合新型复数小波变换和最优视觉表示的统计特性的图像增强问题 提出了两种图像增强算法 i 基于双密度二元树离散小 波变换 DD DT DWT Double Density Dual Tree DWT 和视觉表示的图像增强算法 取得了非常好的视觉效果 ii 基于二元树复数小波和视觉表示的噪 声图像增强算法 较好的缓解了带噪声图像增强中噪声抑制和细节保护之间的矛盾 5 期刊论文 张亚利 孙典亭 郭国霖 桂琳琳 ZHANG Ya Li SUN Dian Ting GUO Guo Lin GUI Lin Lin 电化学交流 阻抗复数平面图和电容复数平面图上相似图形的等效电路变换规则 含有Warburg阻抗的等效电路的变换 高 等学校化学学报2000 21 7 提出并证明了等效电路中含有Warburg 阻抗的电化学交流阻抗复数平面图和电容复数平面图上相似图形等效电路的变换规则 推而广之 对任意包 含有Warburg 阻抗或其变换的等效电路 有着同样的变换规则 应用此规则 可以将在一个复数平面图上的研究结果直接用到另一个复数平面图上 因 此 变换规则是一种颇为有用的电化学交流阻抗研究的手段 6 会议论文 张国星 王向阳 复数轮廓变换在图像编码中的应用 2007 以Contourlet变换为基础 以WBCT Wavelet Based Contourlet Transform 的思想为依据 本文提出了一种新的 改进Contourlet的变换 复数轮廓 变换CCT Complex Contourlet Transform DT CWT Dual Tree Complex Wavelet 复数小波因为具有近似的位移不变性以及方向可选择性 已经成功地应 用于图像压缩领域 然而无法解决小波变换方向选择性差的固有缺点 为了能够得到更多的图像方向信息 我们把DFB Directional Filter Bank 方向滤 波器引入DT CWT 从而构建CCT复数轮廓变换 实验结果表明 和WCBT相比较 CCT变换重构得到的实验图像纹理更加清晰 丰富 视觉效果更好 7 学位论文 毕凌燕 交叠正交变换与视频分割编码的研究 2003 该文的工作针对视频编码技术发展 做了两部分的研究 一部分是对第一代编码技术的改进技术进行研究 对去除块效应的交叠正交变换进行深入研究 将其扩展变换应用在视频编码上 另一部分是第二代编码技术的关键技术 视频对象分割与编码的研究 具体做了以下几个方面的工作 第一部分是对去除 块效应的交叠正交变换进行深入研究 这部分的主要工作如下 1 对去除块效应的交叠正交变换进行深入研究 给出交叠正交变换的理论分析 并进行实验 仿真 实验结果表明该方法的编码效率优于离散余弦变换编码 2 提出一种改进的复数交叠变换域的运动估计方法 该文推导出一种复数交叠交换域的相位 相关法 它是在对应交叠窗口区域进行运动估计的基础 3 针对视差估值的特性 提出了分层复数交叠变换的视差估值方法 首先构造了复数交叠变换的快 速实现算法 然后在多分辨率结构上利用复数交叠变换相位相关方法进行视觉估计 第二部分是对第二代编码技术的关键技术 视频对象分割与编码的研究 主要作了以下的工作 1 分割是视频对象编码的前提 该文对帧内图像分割进行了深入研究 提出了两种彩色空间分割方法 一种是利用RGB空间的梯度提 取标记图像 利用标记进行 特征空间的区域生长 该分割方法更有效地抑制过分割 并且更好地提取出图象的语义信息 实验结果表明该方法简单有效 复 杂度低 另一种是基于HSI空间的语义区域合并 在RGB空间分割的基础上 利用视觉感知特性进一步进行区域合并 它尽可能大地保留了较大的语义均匀区 域 又采用足够区域细致表达感知复杂的区域 2 提出一种针对视频对象的形状自适应小波编码方法 能够有效地对任意形状的视频物体进行编码 该方法 直接对任意形状区域进行形状自适应小波变换和扩展SPIHT编码 不仅保证形状自适应小波变换的空间相关性 子带自相似性等特性 而且实现对任意形状 区域嵌入式压缩 从而进一步提高编码效率 8 学位论文 薛玉利 基于Gabor变换的特征提取及其应用 2007 时频分析是信号处理中的重要手段之一 Gabor变换 又称短时或加窗FoYer变换 克服了传统FoYer变换在频域内无任何时域分辨力的缺陷 体现了 信号的联合时频分析特性 在Heisenberg测不准原理下 它被证明具有最优的联合时频分辨率 同时 通过对人的感知系统的生理学特性研究表明 二 维Gabor基函数能够很好的描述哺乳动物初级视觉系统中大多数简单视觉神经元的感受野特性 本文的目的是通过对图像信号进行基于Gabor变换的时频 分析 开展特征提取方面的相关技术研究 本文工作的贡献体现在 1 从时频分析角度出发 对Gabor变换在二维的联合空间频率域的特性进行了分析 对其在掌纹识别方面的特征提取做了一 定的尝试 利用其联合空间频率域的能量分布作为特征 得到较好的识别效果 同时还采用了传统的两通道小波和三通道小波来进行掌纹的低频特征提 取 并使用支持向量机进行分类识别 得到很好的识别效果 2 利用具有多尺度 多方向优势的Gabor小波进行纹理图像检索 采用多个尺度 多个方向 的Gabor滤波器提取纹理图像的尺度 方向的特征 得到较好的检索效果 本文主要包括以下几部分内容 介绍了复数Gabor变换的基本概念 其中包括临界采样和过采样的复数Gabor变换 为了提高运算速度 我