[工学]第四章 冲击与脆值.ppt

第一节冲击基本理论 一 概念二 包装件跌落冲击的力学模型三 产品的跌落冲击过程四 产品对跌落冲击的响应 一 概念 冲击 物体在极短的时间内速度或能量产生突然的变化 根据牛顿第二定律 F ma可知冲击的特点 冲击力的作用时间极短 冲击力极大 产生极大的冲击加速度 包装件在流通过程中主要受到的冲击为垂直冲击 跌落冲击 和水平碰撞冲击 在这些冲击环境中 跌落冲击最为强烈 因此我们研究的冲击理论主要是针对跌落冲击的 一 概念 动量 物体的质量与速度的乘积 表示为K mv动量是矢量 方向与速度方向一致 单位为kg m s所以牛顿第二定律可写为 冲量 为了描述物体动量的改变 把作用在物体上的力在作用的时间内积累起来的效应 叫做这个力的冲量 设作用在物体上的力F从时刻t0到t1 所以 一 概念 动量定理 物体动量的改变等于在同一时间内作用在物体上的合力的冲量 若设冲击时间为t t1 t0 平均冲击力为F 冲击前后的速度为v0 v1 动量定理的数学表达式为 由上式可见 冲击时间t越长 冲击力F越小 那么所产生的冲击加速度也就越小 因此 在分析包装件的跌落冲击的过程中 冲击持续时间和产品所产生的响应加速度是运输包装冲击理论中的两个重要参数 二 包装件跌落冲击的力学模型 设包装件从高度H处跌落 落地后地板通过缓冲衬垫冲击产品 产品又将冲击传递给易损部件 从而产生极大的加速度 分析包装件跌落冲击可以用前面分析振动理论相同的方法 因为振动与冲击的性质是一样的 都是外部对包装件的激励 只不过振动是一个周期性的激励 而冲击则是一个瞬时激励 二 包装件跌落冲击的力学模型 一般包装件的各种参数是通过实验室获得的 冲击理论的主要作用就是为测试技术提供理论依据 而缓冲包装设计就是以跌落冲击理论为基础 由于易损部件的质量和尺寸都很小 而且大部分都封闭在产品内部 很难测出其响应加速度 因此常用产品响应加速度来描述易损部件的破损条件 图1无阻尼跌落冲击力学模型 图2有阻尼跌落冲击力学模型 三 产品的跌落冲击过程 设包装件从高度H处自由下落 不计各种阻力 所以包装件落地时的速度为式中的负号表示速度方向向下 a 开始下落时 b 落地前瞬间 c 衬垫被压缩变形 d 衬垫变形恢复 三 产品的跌落冲击过程 变形阶段 产品的动能从最大减小到零 缓冲衬垫的变形从零增加到最大 以P1表示此阶段的冲量 得 图 b 落地前一瞬间图 c 衬垫被压缩变形图 d 衬垫变形恢复 恢复阶段 缓冲衬垫的弹性逐渐恢复 产品动能从零逐渐增大 以P2表示此阶段的冲量 得 所以 式中 v0 产品受冲击的初速度v 产品受冲击的末速度 三 产品的跌落冲击过程 设e 令 因为包装件发生碰撞时产生变形消耗了一部分能量 所以末速度v 小于初速度v0 因为得 e被称为碰撞恢复系数 它表示系统受冲击后的恢复程度 图 d 衬垫恢复变形图 e 再度跳起 三 产品的跌落冲击过程 根据e值的大小 冲击分为三类 弹性冲击 0 e 1 物体受冲击后会有残余变形 动能有损失 完全冲击 e 1 这是一种理想情况 物体受到冲击后变形完全恢复 动能无损失 塑性冲击 e 0 这是一种极限情况 冲击结束时 物体变形丝毫没有恢复 全部动能损失 一般包装件的冲击恢复系数为0 3 e 0 5因为包装件中的缓冲衬垫的内阻和塑性变形都要消耗一定的能量 三 产品的跌落冲击过程 速度改变量 产品速度在跌落冲击过程中的变化 因为 所以 因为0 e 1 所以因此速度增量为 四 产品对跌落冲击的响应 无阻尼包装件的跌落冲击1 运动方程及位移方程设产品所受的力有冲击时衬垫的弹性力P和重力W 以包装件落地前的平衡位置为原点向上取x轴 根据牛顿第二定律 产品的运动微分方程为 所以 弹性力 重力 因为 所以 运动微分方程为 四 产品对跌落冲击的响应 产品落地前一瞬间的初始条件为 代入运动方程中求得位移方程为 用 表示跌落冲击过程的持续时间 当跌落冲击过程结束时 缓冲衬垫的弹性变形完全恢复 因此将此条件代入位移方程 得 得 四 产品对跌落冲击的响应 设T为产品的固有周期 fm为产品的固有频率 而冲击持续时间为半个正弦波 所以 上式表明 跌落冲击过程中的持续时间与产品的固有频率成反比 固有频率越大 冲击持续时间越短 令代入位移方程中求出产品在跌落冲击过程中的最大位移为 上式表明 衬垫的最大变形取决于跌落高度和产品的固有频率 跌落高度越大 产品固有频率越低 跌落冲击的变形也就越大 四 产品对跌落冲击的响应 2 产品的速度和加速度 时间函数将对时间求一次导数 就得到产品速度随时间变化的规律 0 t 将上式再次求导 就得到产品在跌落过程中的加速度 时间函数 0 t 同样令以求出产品在跌落冲击过程中的最大加速度 上式表明 产品跌落高度越高 产品的冲击加速度也越大 在跌落高度确定后 降低产品的固有频率是减小产品冲击加速度的主要方法 四 产品对跌落冲击的响应 在跌落冲击过程中 衬垫对产品的最大冲击力可表示为 上式两边除以mg 得 在这里我们引入了一个无量纲量Gm 它也是产品的最大响应加速度 将代入加速度 时间函数中 就可改写为 上式为正弦半波方程 波形为脉冲波形 为脉冲峰值 为脉冲持续时间 三者称为脉冲三要素 0 t t 四 产品对跌落冲击的响应 例 产品质量m 10kg 衬垫面积A 120cm2 衬垫厚度h 3 6cm 缓冲材料的弹性模量E 0 7MPa 包装件的跌落高度H 0 75m 不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形 试求跌落冲击过程的衬垫最大变形 产品最大加速度 冲击持续时间 解 产品衬垫系统的固有频率为 产品的冲击持续时间为 衬垫的最大变形为 产品的最大加速度为 四 产品对跌落冲击的响应 用能量法求跌落冲击的最大加速度 a 开始下落时 b 落地前瞬间 c 衬垫被压缩变形 当包装件开始下落时 具有一定的势能mgH 当包装件落地前瞬间时 势能全部转化成 动能 根据能量守恒定理 解方程得 当缓冲衬垫产生最大变形量时xm 动能全部转化成弹性势能 解方程得 四 产品对跌落冲击的响应 根据胡克定律 此时缓冲衬垫有最大的变形 对产品的反力也最大 设为Pmax则 根据牛顿第二定律 此时加速度也最大 为 我们定义的Gm为最大加速度与重力加速度g的比值 以上两种方法求出的最大位移和最大加速度完全一致 四 产品对跌落冲击的响应 例 一个质量为40kg的物品从100cm高处跌落 问选用弹性系数k为多大的缓冲材料 才能使之跌落时冲击加速度不超过60g 并估计缓冲垫的最小厚度 解 已知Gm 60 H 1m W mg 392N因为所以 最大压缩量为 即缓冲垫最大的变形为3 33cm 而材料的厚度至少要比变形量大二倍 所以缓冲垫厚度不能小于6 66cm 四 产品对跌落冲击的响应 有阻尼包装件的跌落冲击1 运动方程及位移方程在系统受到冲击的任一瞬时 产品所受到的弹性冲击力为 产品所受的阻尼力为根据牛顿第二定律 产品的运动微分方程为 令 得 与振动理论相似 在n 的情况下 产品的位移方程为 四 产品对跌落冲击的响应 冲击的初始条件为设 用 表示跌落冲击过程的连续时间代入位移方程得推导出所以产品冲击时间为 求得 所以产品的位移方程可改写为 四 产品对跌落冲击的响应 2 产品的速度和加速度 时间函数将位移方程对时间求一次导数 得产品的速度 时间函数为 当时 位移达到最大值 用tm表示x xm的瞬时 由速度 时间函数求得 因为 将上两式带入位移方程 得 产品的最大位移为 由此可见 冲击时的最大位移随阻尼比的增加而减小 冲击持续时间随阻尼比的增加而延长 四 产品对跌落冲击的响应 将位移方程对时间求二次导数 得产品的加速度 时间函数为 为简化 令 得 为求最大加速度值 令 得到 令 因此 四 产品对跌落冲击的响应 将tm代入加速度 时间函数中 得 所以 取最大值的瞬时为 由上式可得知 当 0 5时 减小 当 0 5时 增加而且当 0 2 0 3时 缓冲效果最好通过上述分析 可以看出影响产品最大加速度的三个因素为 与成正比 因此包装件的跌落高度越大 产品的最大加速度也越大 与 成正比 因此产品衬垫系统的固有频率越大 或者说缓冲衬垫的弹性系数越大 产品的最大加速度也越大 当时 阻尼有缓冲作用 而当 阻尼反而会增加产品的最大加速度 四 产品对跌落冲击的响应 考虑易损部件的跌落冲击响应分析易损件对跌落冲击的响应 目的是要求解易损件的最大加速度 1 力学模型我们对系统进行无阻尼情况分析 2 易损部件的运动微分方程 将产品衬垫系统的加速度 时间函数作为输入脉冲激励 其波形为正弦半波 以产品落地后的平衡位置为原点取X轴和Xs轴 根据牛顿第二定律 求得易损件的运动微分方程为 四 产品对跌落冲击的响应 上式中 F为易损件的弹性力 因为 得 对上式求二阶导数 就可得到易损件对跌落冲击的加速度响应 将产品衬垫系统的响应 0 t 代入上式 t 得易损件加速度响应微分方程为 0 t t 四 产品对跌落冲击的响应 3 易损件对跌落冲击的响应 易损件在脉冲时间内的响应当 0 t 时 它有一个通解和一个特解 与上式对应的齐次方程的通解为 与上式对应的特解设为 将特解代入上式得 推导出 方程的解为 开始冲击时 加速加速度和加速度的变化都为0 故初始条件为t 0时 四 产品对跌落冲击的响应 代入上式中求得 所以 由上式表明 易损件在脉冲时间内的加速度响应曲线是两条频率分别为 和 s的波动幅度不同的正弦曲线的叠加 且频率为 的正弦曲线只有半波 令t 时 由上式可得到和一阶导数在脉冲时间终点 的值分别为 四 产品对跌落冲击的响应 易损件在脉冲时间后的响应当t 时 此时的初始条件就是前面当t 时的条件 令u t 得上式的通解为 所以 而在脉冲时间后的初始值等于它在脉冲时间内的终值 所以 四 产品对跌落冲击的响应 将D1和D2代入式中得 令 得 由此简化后得出 u t 0 上式表明 易损件在脉冲时间后的加速度响应曲线为正弦曲线 其频率等于易损件的固有频率 波动幅度为 初始相位为tan 四 产品对跌落冲击的响应 例 产品衬垫系统的固有圆频率为 50 rad s 易损部件系统的固有圆频率为 s 25 rad s 包装件的跌落高度为H 60cm 试求易损件对跌落冲击的响应 解 产品在跌落冲击过程中的最大加速度为 易损件与产品衬垫系统的固有圆频率比为 得到易损件在脉冲时间内的响应为 0 t 易损件的响应在脉冲时间后的初相位为 四 产品对跌落冲击的响应 所以易损件在脉冲时间后的响应为 四 产品对跌落冲击的响应 4 冲击过程中易损件的最大加速度根据牛顿第二定律 在最大加速度时系统受到的是最大冲击力 求出最大加速度的目的是用于优化缓冲设计方案 频率比 1的情况 由例题可知 易损件的最大加速度出现在脉冲时间外 t 时 频率比 1的情况 在 1在情况下 易损件的响应加速度曲线在脉冲时间内至少有一个 这其中必定有一个最大值 并大于脉冲时间后的波动幅值 四 产品对跌落冲击的响应 将 对时间求导 求出脉冲时间内的极大 值 并令其为0 得 应用和差化积的三角公式得 上式成立的条件是 有极大值 有极小值 得 因此的瞬时为 n 1 2 将tn代入加速度方程中 得 n 1 2 令 3 分别绘制出易损件在脉冲时间内有响应加速度曲线 用排除法分别求出的最大值 四 产品对跌落冲击的响应 易损件在脉冲时间内的响应 1 5 n 15 9 n 29 13 n 3 四 产品对跌落冲击的响应 例 已知产品衬垫系统的固有频率 50 rad s 易损件系统的固有频率 s 150 rad s 包装件的跌落高度H 0 75m 试求易损件跌落冲击时的最大加速度 解 产品跌落冲击时的最大加速度为 易损件对产品衬垫系统的频率比为 5 取n 1 这时易损件的 最大加速度为 第二节产品的脆值理论 一 概念二 破损边界理论三 产品破损边界曲线 一 概念 脆值的含义是产品经受振动和冲击时用以表示强度的定量指标 它代表的是产品抵抗破损的能力 1 脆值的定义 GB8166 87 缓冲包装设计方法 中定义为 产品不发生物理损伤或功能失效所能承受的最大加速度 以重力加速度g为单位 2 物理损伤 指产品破裂 松动等物理变化 3 功能失效 指产品丧失了部分或全部的使用功能 目前以产品破损前的临界加速度与重力加速度g的比值来表示脆值 用Gc表示 一 概念 破损定义指产品物理的或功能的损伤 根据损坏的性质和程度的不同 可分为三种 1 失效 又叫严重破损 指产品丧失功能不可恢复 2 失灵 也叫轻微破损 指产品功能虽丧失 但可恢复 3 商业性破损 主要指产品外观有破损 许用脆值根据产品的脆值 考虑到产品的价值 强度偏差 重要程度等而规定的产品的许用最大加速度 用 G 表示 一般在设计时的安全系数为n 1 因为 所以 G Gc 一 概念 产品在实际冲击中有一个最大加速度 Gm 此处 Gm 是实际最大响应加速度 它决定于冲击速度 缓冲材料和产品重量 Gc 是产品所能承受的临界加速度 它决定于产品自身强度 例 产品在承受50g的冲击加速度时没有破损 但到52g时出现破损 设安全系数n 1 2 求产品脆值 许用脆值 解 由题知Gc 50g 产品的脆值为50g 许用脆值为42g 一 概念 传统的脆值理论其概念基于产品的破坏性跌落试验 根据能量转换 包装件从H处跌落到缓冲衬垫受压产生最大变形 所以 因为 可以推出 令 所以 由上式可知 产品承受冲力的大小等于产品自重W和因素G的乘积 当P超过产品所能承受的极限 产品就会破损 因此 G表示产品反抗破损能力的唯一因素 产品不发生破损的最大加速度值叫脆值Gc 它是由产品的材料结构特征所确定的 与外部因素无关 一 概念 传统的脆值理论用产品的最大加速度响应来评价其破损情况 但造成产品破损的原因与下列情况有关 1 冲击加速度的大小2 冲击脉冲的形状3 脉冲持续时间4 产品的固有频率因此无法用传统的脆值理论来描述 在这里引入一个破损边界理论 二 破损边界理论 通常采用产品加速度值来描述易损件的破损条件 在分析破损边界理论时 首先要介绍几种冲击谱 冲击谱 是易损件的最大响应加速度与脉冲时间之间的函数关系 它集中的反映了易损件的最大响应加速度与脉冲三要素 波形 峰值 持续时间 及其自身振动特性之间的关系 常用的冲击谱有三种 正弦半波形 矩形 后峰锯齿形 冲击谱都是通过实验测试出来的 正弦半波形矩形后峰锯齿形 二 破损边界理论 易损件系统的正弦半波冲击谱在包装件跌落冲击时 易损件的最大加速度为 产品的最大加速度为 两者之间的比值称为系统易损件的动力放大系数 也用 表示 设 为跌落冲击时产品缓冲衬垫系统的冲击脉冲时间 所以 设易损件系统的固有周期为Ts 我们引入一个脉冲时间比r脉冲时间比就是产品衬垫系统的脉冲时间 与易损件固有周期Ts之比 所以 二 破损边界理论 冲击过程中易损件的最大加速度由 1时 1时 转化为 1时 1时 由此可以推出正弦半波脉冲的冲击谱公式为 二 破损边界理论 正弦半波脉冲的冲击谱 上式中 0 5 r 6 5区间内 有三个极大值 因此令 代入上式中 得 二 破损边界理论 0 5 r 2 5 2 5 r 4 5 4 5 r 6 5 冲击谱与易损件系统的脉冲波形有关 不同的脉冲波形有不同的冲击谱 正弦半波脉冲冲击谱 各种波形脉冲冲击谱 二 破损边界理论 易损件系统的矩形脉冲冲击谱作用在产品上的加速度 时间函数在冲击时间内是一个矩形 产品的最大加速度响应是在脉冲时间内作匀加速度运动 易损件跌落冲击响应的运动方程为 上式对时间求二次导数得加速度 时间函数为 二 破损边界理论 代入 中得 1 当 0 t 时 初始条件为 可以推出 0 t 所以 二 破损边界理论 2 当 t 时 设u t 0 得 其中 3 矩形脉冲冲击谱 当 0 5Ts时 将式 0 t 对时间求一次导数得 此时 为增函数 无极大值 所以出现在t 时 因此 二 破损边界理论 当 0 5Ts时 此时在脉冲时间内至少有一个加速度响应峰值 因为 所以 因此在脉冲时间后的加速度响应峰值总是小于或等于它在脉冲时间内的峰值 由此可知 易损件的最大响应加速度峰值出现在脉冲时间内 所以 因此 矩形脉冲冲击谱公式为 r 0 5 r 0 5 矩形脉冲冲击谱 三 产品破损边界曲线 产品破损边界曲线反映产品抵抗脉冲激励的能力 而产品脆值是从各种波形的产品破损边界曲线中抽象出来的 因此它在包装动力学中具有重要的意义 产品破损或失效条件用表示易损件所能承受的极限加速度 因为当时 产品就会破损或失效 将两式综合得 因此 产品破损的条件与最大冲击加速度 速度的变化值和冲击持续时间有关 速度变化与脉冲时间的关系设跌落冲击前后产品的速度为V0和Vi 不考虑能量损耗 由能量守恒定理得 三 产品破损边界曲线 正弦半波脉冲产品破损边界曲线因为 0 t 所以 推导出 所以 将代入上式中得 这就是产品破损的条件 于是用 方程组可以绘出产品破损边界曲线 三 产品破损边界曲线 矩形脉冲产品破损边界曲线矩形脉冲运动方程为 当产品的初位移x0 0 初速度为时 产品在脉冲时间内作匀加速度运动 所以 因此产品的位移方程为 当冲击过程结束时 x 0 所以 三 产品破损边界曲线 将代入上式得 由于矩形脉冲的冲击谱分为两段 所以它的破损边界方程也分为两段 r 0 5时的破损边界方程所以 破损边界方程为 r 0 5时的破损边界方程 2所以 破损边界方程为 三 产品破损边界曲线 产品破损边界曲线的绘制取一个直角坐标系 其纵坐标为 横坐标为 V 令 临界速度 当r 0 5时 矩形脉冲产品破损边界曲线有一条渐近线 垂直于横轴 V 且起点的坐标为 三 产品破损边界曲线 当r 0 5时 易损件恰好破损的产品加速度为常量 所以有一条平行于横轴的直线 这条直线称为产品的临界加速度线 其纵坐标被定义为产品脆值 用Gc表示 且当r 0 5时 得 这条直线的起点坐标为 2Gc 所以 矩形脉冲产品破损曲线如左图所示 三 产品破损边界曲线 从右图中可以看出 1 产品破损实际上受两个边界条件约束 一个是最大加速度 一个是脉冲过程的速度变化量 速度增量 V 2 速度增量的大小与跌落高度h有关 且最大