沪教版初中数学知识点总结修订版-六到九年级.pdf

目 录 目 录 第一章 数的整除 1 第二章 分数 2 第三章 比和比例 3 第四章 圆和扇形 4 第五章 有理数 5 第六章 一次方程 组 及一次不等式 组 6 第七章 线段与角的画法 8 第八章 长方体的再认识 9 第九章 整 式 10 第十章 分 式 14 第十一章 图形的运动 16 第十二章 实数 18 第十三章 相交线 平行线 20 第十四章 三角形 22 第十五章 平面直角坐标系 23 第十六章 二次根式 25 第十七章 一元二次方程 26 第十八章 正比例函数和反比例函数 27 第十九章 几何证明 28 第二十章 一次函数 29 第二十一章 代数方程 30 第二十二章 四边形 32 第二十三章 概率初步 34 第二十四章 相似三角形 35 第二十五章 锐角三角比 37 第二十六章 二次函数 39 第二十七章 圆与正多边形 42 1 第一章 数的整除第一章 数的整除 1 1 整数和整除的意义 1 1 整数和整除的意义 1 在数物体的时候 用来表示物体个数的数 1 2 3 4 5 叫做整数 2 在正整数 1 2 3 4 5 的前面添上 号 得到的数 1 2 3 4 5 叫做负整数 3 零和正整数统称为自然数 4 正整数 负整数和零统称为整数 5 整数 a 除以整数 b 如果除得的商正好是整数而没有余数 我们就说 a 能被 b 整除 或 者说 b 能整除 a 1 2 因数和倍数 1 2 因数和倍数 1 如果整数 a 能被整数 b 整除 a 就叫做 b 倍数 b 就叫做 a 的因数 2 倍数和因数是相互依存的 3 一个数的因数的个数是有限的 其中最小的因数是 1 最大的因数是它本身 4 一个数的倍数的个数是无限的 其中最小的倍数是它本身 1 3 能被 2 5 整除的数 1 3 能被 2 5 整除的数 1 个位数字是 0 2 4 6 8 的数都能被 2 整除 2 整数可以分成奇数和偶数 能被 2 整除的数叫做偶数 不能被 2 整除的数叫做奇数 3 在正整数中 除 1 外 与奇数相邻的两个数是偶数 4 在正整数中 与偶数相邻的两个数是奇数 5 个位数字是 0 5 的数都能被 5 整除 6 0 是偶数 1 4 素数 合数与分解素因数 1 4 素数 合数与分解素因数 1 只含有因数 1 及本身的整数叫做素数或质数 2 除了 1 及本身还有别的因数 这样的数叫做合数 3 1 既不是素数也不是合数 4 奇数和偶数统称为正整数 素数 合数和 1 统称为正整数 5 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式 这几个素数都叫做这个合数的素因数 6 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来 叫做分解素因数 7 通常用什么方法分解素因数 树枝分解法 短除法 1 5 公因数与最大公因数 1 5 公因数与最大公因数 1 几个数公有的因数 叫做这几个数的公因数 其最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2 如果两个整数只有公因数 1 那么称这两个数互素数 3 把两个数公有的素因数连乘 所得的积就是这两个数的最大公因数 4 如果两个数中 较小数是较大数的因数 那么这两个数的最大公因数较小的数 5 如果两个数是互素数 那么这两个数的最大公因数是 1 1 6 公倍数与最小公倍数 1 6 公倍数与最小公倍数 1 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 2 2 几个数中最小的公因数 叫做这几个数的最小公倍数 3 求两个数的最小公倍数 只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘 所得的积就是他们的最小公倍数 4 如果两个数中 较大数是较小数的倍数 那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数 5 如果两个数是互素数 那么这两个数的最小公倍数是 两个数的乘积 第二章 分数第二章 分数 2 1 分数与除法 2 1 分数与除法 1 一般地 两个正整数相除的商可用分数表示 即被除数 除数 被除数 除数 用字母表示为 p q p q p q 为正整数 2 会用数轴上的点表示分数 2 2 分数的基本性质 2 2 分数的基本性质 1 分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数 分数的值不变 2 分子 分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数 3 把一个分数化成同它相等 但分子 分母都比较小的分数 叫做约分 2 3 分数的比较大小 2 3 分数的比较大小 1 同分母分数的大小只需要比较分子的大小 分子大的比较大 分子小的比较小 2 通分的一般步骤是 1 求公分母 求分母的最小公倍数 2 根据分数的基本性质 将每个分数化成分母相同的分数 3 异分母分数比较大小需要先通分成同分母分数再按照同分母分数比较大小 2 4 分数的加减法 2 4 分数的加减法 1 同分母分数相加减 分母不变 分子相加减 2 异分母分数相加减 先通分成同分母分数 再按照同分母分数相加减 3 分子比分母小的分数 叫做真分数 4 分子大于或者等于分母的分数叫假分数 5 整数与真分数相加所成的分数叫做带分数 6 假分数化为带分数 分母不变 整数部分为原分子除以分母的商 分子则为原分子除以分 母的余数 7 列方程求未知数的一般书写步骤 1 设未知数为 x 2 根据题意列出方程 3 根 据加减互为逆运算 表示出 x 等于那些数相加减 4 计算出 x 的值 并写出上结论 2 5 分数的乘法 2 5 分数的乘法 1 两个分数相乘 分子相乘作为分子 分母相乘作为分母 3 2 如果乘数是带分数 先化成假分数 再进行运算 2 6 分数的除法 2 6 分数的除法 1 一个数与其相乘的积为 1 的数为这个数的倒数 0 没有倒数 2 除以一个分数等于乘以这个分数的倒数 3 被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算 2 7 分数与小数的互化 2 7 分数与小数的互化 1 一个分数能不能化为有限小数和分数的分母有关 2 从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数叫做循环小数 3 被重复的一个或一节数码称为循环小数的循环节 4 一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数 2 8 分数 小数的四则混合运算 2 9 分数运算的应用 2 8 分数 小数的四则混合运算 2 9 分数运算的应用 第三章 比和比例第三章 比和比例 3 1 比的意义 3 1 比的意义 1 将 a 与 b 相除叫 a 与 b 的比 记作 a b 读作 a 比 b 2 求 a 与 b 的比 b 不能为零 3 a 叫做比例前项 b 叫做比例后项 前项 a 除以后项 b 的商叫做比值 4 求两个同类量的比值时 如果单位不同 先统一单位再做比 5 比值可以用整数 分数或小数表示 3 2 比的基本性质 3 2 比的基本性质 1 比的基本性质是 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数 0 除外 比值不变 2 利用比的基本性质 可以把比华为最简整数比 3 两个数的比 可以用比号的形式表示 也可以用分数的形式表示 4 三项连比性质是 如果 a b m n b c n k 那么 a b c m n k 如果 k 0 那么 a b c ak bk ck a k b k c k 5 将三个整数比化为最简整数比 就是给每项除以最大公约数 将三个分数化为最简整数比 先求分母的最小公倍数 再给各项乘以分母的最小公倍数 将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以 10 100 1000 等 化为整数比 再化为最简整 数比 6 求三项连比的一般步骤是 1 寻找关联量 求关联量对应的两个数的最小公倍数 2 根据毕的基本性质 把两个比中关联量化成相同的数 3 对应写出三项连比 3 3 比例 3 3 比例 1 a 第一比例项 b 第二比例项 c 第三比例项 d 第四比例项 其中 a d 叫 4 做比例外项 b c 叫做比例内项 2 如果两个比例内项 外项 相同 即 a b b c 那么 b 叫做 a c 的比例中项 3 利用比例的基本性质 可以把比例方程转化化为我们常见的形式 ad bc 简单的说 就 是内项之积等于外项之积 4 列方程解应用题的一般书写步骤分四步 1 设未知数 2 列方程 3 解方程 4 答 5 列比例方程时 一定要注意对应关系 一定要注意同类量的单位要对应统一 3 4 百分比的意义 3 4 百分比的意义 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数 表示 n 读作 百分之 2 把百分数化为小数 3 把小数化为百分数 3 5 百分比的应用 3 5 百分比的应用 1 三个关键词 是 占 的 2 一条主线 求部分占全体的百分数 三类情景 一般文字题 统计图和统计表 恩格尔系数 3 赢利问题的俩个基本公式 售价 成本 赢利 赢利率 赢利 成本 100 在售价 成 本和赢利三个量中 只要知道其中的两个量 就可以计算出赢利率 打折问题的一个基本公式 原 售 价 折数 现 售 价 在原价 现价和折数三个量中 只要知道其中两个量 就可以计算出第三个量 亏损时赢利意义相对的量 赢利 售价 成本 亏损 成本 售价 4 银行利息的结算和 本金 利率和期数有关 注意 贷款利息不纳税 利息 本金 利率 期数 利息税 利息 20 税后本息和 本金 税后利息 本金 利息 利息税 本金 利息 1 20 增长率 增长的量 原来的基数 100 3 6 等可能事件 3 6 等可能事件 1 从实际生活中感悟那些事件是可能事件 哪些事件是不可能事件 2 可能性的大小可以用一个真分数或百分数表示 第四章 圆和扇形第四章 圆和扇形 4 1 圆的周长 4 1 圆的周长 1 周长公式 C d 2 r 其中 是一个无限不循环小数 通常取 3 14 2 会根据题意 有其中 2 个量求第三个量的值 4 2 弧长 4 2 弧长 1 如图 圆上 A B 两点间的部分就是弧 记作 读作弧 AB AOB 称为圆心角 2 圆心角所对的弧长是圆周长的 3 设圆的半径为 r 圆心角所对的弧长是 弧长公式 l 180 n r 4 3 圆的面积 4 3 圆的面积 O A B 5 1 圆的面积 S 2 r 2 环形的面积 大圆的面积 小圆的面积 S 2 R 2 r 4 4 扇形的面积 4 4 扇形的面积 1 扇形面积公式S扇 360 n 2 r 1 2 lr 2 要求阴影部分面积 要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补 第五章 第五章 有理数有理数 5 1 有理数的意义 5 1 有理数的意义 1 整数和分数统称为有理数 2 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 5 2 数轴 5 2 数轴 1 数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫数轴 2 数轴的三要素 原点 单位长度 正方向 3 所有的数都可以用数轴上的点来表示 也可以用数轴来比较两个数的大小 4 在数轴上表示的两个数 正方向的数大于负方向的数 3 零是正数和负数的分界 4 只有符号不同的两个数 我们称其中一个数为另一个数的相反数 也称为这两个数互为相 反数 零的相反数是零 5 3 绝对值 5 3 绝对值 1 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离 叫做这个数的绝对值 2 一个正数的绝对值是它本身 3 一个负数的绝对值是它的相反数 4 零的绝对值是零 5 两个负数 绝对值大的那个数反而小 5 4 5 5 有理数的加减 5 4 5 5 有理数的加减 1 有理数加法法则 1 同号两数相加 取原来的符号 并把绝对值相加 2 异号两数相加 绝对值相等时和为零 绝对值不相等时 其和的绝对值为较大绝对值 减去较小的绝对值所得的差 其和的符号取绝对值较大的加数的符号 3 一个数同零相加 仍得这个数 2 有理数加法的运算律 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 6 3 有理数的减法法则 1 减去一个数 等于加上这个数的相反数 2 a b a b 5 6 5 7 有理数的乘除 5 6 5 7 有理数的乘除 1 两数相乘的符号法则 正正得正 正负得负 负正得负 负负得正 2 有理数的乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 2 任何数与零相乘 都得零 3 注意连成的符号 1 几个不等于零的数相乘 积的符号由负因数的个数决定 2 当负因数有奇数个时 积为负 3 当负因数有偶数个时 积为正 4 几个数相乘 有因数为零 积就为零 4 有理数除法法则 1 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 2 零除以任何一个不为零的数 都得零 5 8 有理数的乘方 5 8 有理数的乘方 1 求 N 个相同因数的积的运算 叫做乘方 乘法的结果叫做幂 在 an中 a 叫做底数 n 叫 做指数 读作 a 的 n 次方 an看做是 a 的 n 次方结果时 读作 a 的 n 次幂 5 9 有理数的混合运算 5 9 有理数的混合运算 1 正数的任何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数 负数的偶数次幂是正数 2 有理数混合运算的顺序 先乘方 后乘除 再加减 统计运算从左到右 如果有括号 先 算小括号 后算中括号 再算大括号 5 10 科学计数法 5 10 科学计数法 1 把一个数写成 a 10n 其中 1 a 10 n 是正整数 这种形式的计数方法叫做科学计数法 2 近似数与准确数的接近程度即近似程度 对近似程度的要求 叫做精确度 3 有效数字 从左边第一个不为零的数字起 到精确的位数止 所有数字 都叫这个近似数 的有效数字 第六章第六章 一次方程 组 及一次不等式 组 一次方程 组 及一次不等式 组 6 1 列方程 6 1 列方程 1 用字母 x y 等表示所要求的未知的数量 这些字母称为未知数 含有未知数的等式叫做 方程 在方程中 所含的未知数又称为元 2 为了求得未知数 在未知数和已知数之间建立一种等量关系式 就是列方程 6 2 方程的解 6 2 方程的解 1 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等 那么这个未知数的值叫做方程的解 7 6 3 一元一次方程及其解法 6 3 一元一次方程及其解法 1 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程 2 等式性质 1 等式两边同时加上 或减去 同一个数或一个含有字母的式子 说得结果仍是等式 2 等式两边同时乘以同一个数 或除以同一个不为零的数 所得结果仍是等式 3 去括号的法则是 括号前带 号 去掉括号时括号内各项都不变符号 括号前带 号 去掉括号时括 号内各项都改变符号 4 解一元一次方程的一般步骤是 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 化成 ax b a 0 的形式 5 两边同除以未知数的系数 得到方程的解 x b a 6 4 一元一次方程的应用 6 4 一元一次方程的应用 1 列方程解应用题的一般步骤是 1 设未知数 元 2 列方程 3 解方程 4 检验并作答 6 4 不等式及其性质 6 4 不等式及其性质 用不等号 表示的关系式 叫做 不等式 不等式性质 1 不等式的两边同时加上 或减去 同一个数或同一个含有字母的式子 不等号的方向不变 即 如果 a b 那么 a m b m 如果 a b 那么 a m b m 2 不等式的两边同时乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 即 如果 a b 且 m 0 那么 am bm 或 a m b m 如果 a b 且 m 0 那么 am bm 或 a m b m 3 不等式的两边同时乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 即 如果 a b 且 m 0 那么 am bm 或 a m b m 如果 a b 且 m 0 那么 am bm 或 a m b m 6 6 一元一次不等式的解法 6 6 一元一次不等式的解法 1 在含有未知数的不等式中 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 2 一般情况下 一元一次方程的解只有一个 一元一次不等式的解可以有无数个 不等式的 解的全体叫做不等式的解集 3 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式 4 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似 6 7 一元一次不等式组 6 7 一元一次不等式组 8 1 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组 叫做一元一次不等式组 2 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 3 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组 4 如果各个不等式的解集没有公共部分 那么这个不等式组无解 5 解一元一次不等式组的一般步骤是 1 求出不等式组中各个不等式的解集 2 在数轴上表示各个不等式的解集 3 确定各个不等式解集的公共部分 就得到这个不等式组的解集 6 8 二元一次方程 6 8 二元一次方程 1 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程 2 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 3 二元一次方程的解有无数个 二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集 6 9 二元一次方程组及其解法 6 9 二元一次方程组及其解法 1 由几个方程组成的一组方程叫做方程组 如果方程组中含有两个未知数 且含未知数的项 的次数都是一次 那么这样的方程组叫做二元一次方程组 2 在二元一次方程组中 使每个方程都适合的解 叫做二元一次方程组的解 3 通过 代入 消去一个未知数 将方程式转化为一元一次方程 这种解法叫做代入消元法 简称代入法 4 通过将两个方程相加 或相减 消去一个未知数 将方程组转化为一元一次方程 这种解 法叫做加减消元法 6 10 三元一次方程组及其解法 6 10 三元一次方程组及其解法 1 如果方程组中有三个未知数 且含有未知数的项的次数都是一次 这样的方程组叫做三元 一次方程组 6 11 一次方程组的应用 6 11 一次方程组的应用 1 列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数 2 对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解 对于含有三个未知数的应 用题一般采用列三元一次方程组求解 第七章第七章 线段与角的画法线段与角的画法 7 1 线段的大小比较 7 1 线段的大小比较 1 联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离 7 2 画线段的和 差 倍 7 2 画线段的和 差 倍 1 两条线段可以相加 或相减 它们的和 或差 也是一条线段 其长度等于这两条线段 的长度的和 或差 2 将一条线段分成两条相等线段的店叫做这条线段的中点 9 7 3 角概念与比较 7 3 角概念与比较 1 角是具有公共端点的两条射线组成的图形 公共端点叫做角的顶点 两条射线叫做角的边 7 4 角的大小比较 画相等的角 7 4 角的大小比较 画相等的角 1 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形 处于初始位置的那条射线叫 做角的始边 终止位置的那条射线叫做角的终边 7 5 画角的和 差 倍 7 5 画角的和 差 倍 1 两个角可以相加 或相减 它们的和 或差 也是一个角 它的度数等于这两个角的角 度的和 或差 2 从一个角的顶点引出一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分 线 7 6 余角 补角 7 6 余角 补角 1 如果两个角的度数的和是 90 那么这两个角叫做互为余角 简称互余 其中一个角成为 另一个角的余角 2 如果两个角的度数的和是 180 那么这两个角叫做互为补角 简称互补 其中一个角称 为另一个角的补角 3 注意 1 同角 或等角 的余角相等 2 同角 或等角 的补角相等 4 提问 1 一个角与它的余角相等 这个角是怎样的角 是锐角 2 一个角与它的补角相等 这个角是怎样的角 是直角 3 互补的两个角能否都是锐角 不能 4 互补的两个角能否都是直角 可能 5 互补的两个角能否都是钝角 不能 第八章第八章 长方体的再认识长方体的再认识 1 长方体有六个面 八个顶点 十二条棱 2 长方体的每个面都是长方形 3 长方体的十二条棱可以分为三组 每组中的四条棱的长度相等 4 长方体的六个面可以分为三组 每组中的两个面的形状和大小都相同 5 长方体中棱与棱位置关系的认识 一条棱与另一条棱所在的直线在同一个面内 它们有惟一的公共点 我们称这两条棱相交 一条棱与另一条棱所在的直线在同一个面内 但它们没有公共点 我们称这两条棱平行 一条棱与另一条棱所在的直线既不平行 也不相交 我们称这两条棱异面 6 一般地 如果直线 AB 与直线 CD 在同一平面内 具有惟一公共点 那么称这两条直线的位 置关系为相交 读作 直线 AB 与直线 CD 相交 7 如果直线 AB 与直线 CD 在同一平面内 但没有公共点 那么称这两条直线的位置关系为平 行 记作 AB CD 读作 直线 AB 与直线 CD 平行 10 8 如果直线 AB 与直线 CD 既不平行 也不相交 那么称这两条直线的位置关系为异面 读作 直线 AB 与直线 CD 异面 9 直线 PQ 垂直于平面 ABCD 记住 直线 PQ 平面 ABCD 读作 直线 PQ 垂直于平面 ABCD 10 如何检验直线与平面垂直呢 可以用 铅垂线 检验 如果细棒垂直于墙面 可以用 三角尺 检验 还可以用 合页型折纸 检验直线是否垂直于平面 11 直线 PQ 平行于平面 ABCD 记作 直线 PQ 平面 ABCD 读作 直线 PQ 平行于平面 ABCD 12 如何检验直线与平面平行呢 可以用 铅垂线 检验 也可以用 长方形纸片 检验 第九章第九章 整整 式式 9 1 字母表示数 9 2 代数式 9 1 字母表示数 9 2 代数式 1 代数式 用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式 单独的数或字 母也是代数式 2 代数式的书写 1 代数式中出现乘号通常写作 或省略不写 但数与数相乘不遵循此原则 2 数字与字母相乘 数字写在字母前面 而有理数要写在无理数的前面 3 带分数应写成假分数的形式 除法运算写成分数形式 4 相同字母相乘通常不把每个因式写出来 而写成幂的形式 5 代数式不能含有 符号 9 3 代数式的值 9 3 代数式的值 1 用数值代替代数式中的字母 按照代数式的运算关系计算出的结果 叫代数式的值 2 注意 1 代数式中省略了乘号 带入数值后应添加 2 若带入的值是负数时 应添上括号 3 注意解题格式规范 应写 当 时 原式 4 在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义 9 4 整式 9 4 整式 1 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式 单独一个数或字母也是单项式 2 系 数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 3 单项式的次数 一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 4 多项式 几个单项式的和叫做多项式 其中 每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项 叫做常数项 5 多项式的次数 多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 6 整式 单项式和多项式统称为整式 9 5 合并同类项 9 5 合并同类项 1 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 11 2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 一个多项式合并后含有几 项 这个多项式就叫做几项式 3 合并同类项的法则是 把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数 字母和字母的指数 不变 9 6 整式的加减 9 6 整式的加减 1 去括号法则 1 括号前面是 号 去掉 号和括号 括号里各项的不变号 2 括号前面是 号 去掉 号和括号 括号里的各项都变号 2 添括号法则 1 所添括号前面是 号 括到括号里的各项都不变符号 2 所添括号前面是 号 括到括号里的各项都改变符号 9 7 同底数幂的乘法9 7 同底数幂的乘法 1 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 a m an am n m n 都是正整数 9 8 幂的乘方9 8 幂的乘方 1 幂的乘方 底数不变 指数相乘 a m n amn m n 都是正整数 9 9 积的乘方 9 9 积的乘方 1 积的乘方等于各因式乘方的积 ab n anbn m n 都是正整数 2 任何一个不等零的数的 p p 是正整数 指数幂 等于这个数的 p 指数幂的倒数 a p 9 10 整式的乘法 9 10 整式的乘法 1 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单项式里含有的 字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘 就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即 注意 单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化 3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再把所得的积 相加 即 9 11 平方差公式 9 11 平方差公式 1 内容 2 意义 两个数的和与这两个数的差的乘积 等于这两个数的平方差 1 a p a 0 p 是正整数 12 3 特征 1 左边是两个二项式相乘 这两项中有一项相同 另一项互为相反数 2 右边是乘式中两项的平方差 3 公式中的 和 可以使有理数 也可以是单项式或多项式 4 几何意义 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式 5 拓展 1 立方和公式 2 立方差公式 9 12 完全平方公式 9 12 完全平方公式 1 内容 2 意义 两数和的平方 等于它们的平方和 加上它们积的 倍 两数差的平方 等于它们的平方和 减去它们积的 倍 3 特征 1 左边是一个二项式的完全平方 右边是一个二次三项式 其 中有两项是公式左边二项 式中每一项的平方 另一项是左边二项式中两项乘积的 倍 可简记为 首平方 尾平方 积的 倍在中央 2 公式中的 可以是单项式 也可以是多项式 4 拓展 1 c 2 3 9 13 提取公因式法 9 13 提取公因式法 1 因式分解的意义 把一个多项式化为几个整式积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式 分解 也叫做把这个多项式分解因式 即多项式化为几个整式的积 2 注意 因式分解的要求 1 结果一定是积的形式 分解的对象是多项式 2 每个因式必须是整式 3 各因式要分解到不能分解为止 因式分解与整式乘法的关系 是两种不同的变形过程 即互逆关系 13 3 提公因式法分解因式 这个变形就是提公因式法分解因式 这里的 可以代表单项式 也可以代表多项式 称为公因式 4 确定公因式方法 系数 取多项式各项系数的最大公约数 字母 或多项式因式 取各项都含有的字母 或多项式因式 的最低次幂 9 14 公式法 9 14 公式法 1 平方差公式 2 完全平方公式 3 立方和与立方差公式 4 注意 公式中的字母 可代表一个数 一个单项式或一个多项式 选择使用公式的方法 主要从项数上看 若多项式是二项式应考虑平方差或立方和 立方差公式 若多项式是三项式 可考虑用完全平方公式 9 15 十字相乘法9 15 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 9 16 分组分解法9 16 分组分解法 1 将多项式的项适当的分组后 组与组之间能提公因式或运用公式分解 2 适用范围 适合四项以上的多项式的分解 分组的标准为 分组后能提公因式或分组后能运用公式 3 其他方法 求根公式法 若 的两根是 4 因式分解的一般步骤及注意问题 1 对多项式各项有公因式时 应先提供因式 2 多项式各项没有公因式时 如果是二项式就考虑是否符合平方差公式 如果是三项式 就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解 如果是四项或四项以上的多项式 通常采用分组分解法 分解因式 必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 9 17 同底数幂的除法 9 17 同底数幂的除法 14 1 同底数幂相除 底数不变 指数相减 a m an am n a 0 mn 都是正整数 且m n 2 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1 a 0 1 a 0 9 18 单项式除以单项式 9 18 单项式除以单项式 1 单项式与单项式相除的法则 单项式与单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有 的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 2 注意 1 两个单项式相除 只要将系数及同底数幂分别相除即可 2 只在被除式里含有的字母不不要漏掉 9 19 多项式与单项式相除 9 19 多项式与单项式相除 1 多项式与单项式相除的法则 一般地 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以 这个单项式 再把所得的商相加 即 2 注意 这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式 反之 单项式除以多项式是不能这 样计算的 3 整式的混合运算 关键是注意运算顺序 先乘方 在乘除 后加减 有括号时 先去小括 号 再去中括号 最后去大括号 先做括号里的 内容整理 第十章第十章 分分 式式 10 1 分式的意义 10 1 分式的意义 两个整式 A B 相除 即 A B 时 可以表示为 A B 如果 B 中含有字母 那么 A B 叫做分式 A 叫做分式的分子 B 叫做分式的分母 如果一个分式的分母为零 那么这个分式无意义 幂 1 同 底 数 am an am n am n amn ab n anbn am an am n 单项式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多项式除以单项式 多项式的乘法 单项式的除法 15 10 2 分式的基本性质 10 2 分式的基本性质 1 整式和分式统称为有理式 即有理式 2 分式的分子和分母同时乘以 或除以 同一个不为 0 的整式 分式的值不变 用式子表示为 A B A C B C A B A C B C A B C 为整式 且 B C 0 3 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 这种变形称为分式的约分 4 分式的约分步骤 1 如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式 将它们的公因式约去 2 分式的分子和分母都是将分子和分母分别 再将公因式约去 注 公因式的提取方法 取分子和分母系数的 字母取分子和分母共有的字母 指数取公共字 母的最小指数 即为它们的公因式 5 一个分式的分子和分母没有公因式时 这个分式称为最简分式 约分时 一般将一个分式化 为最简分式 6 通分 把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式 叫做分式的通分 7 分式的通分步骤 先求出所有分式分母的最简公分母 再将所有分式的分母变为最简公分母 同时各分式按照分母所扩大的倍数 相应扩大各自的分子 8 注 最简公分母的确定方法 系数取各因式系数的最小公倍数 相同字母的及单独字母的幂的乘积 9 注 1 约分和通分的依据都是分式的基本性质 2 分式的约分和通分都是互逆运算过程 10 3 分式的运算 10 3 分式的运算 1 分式的乘法法则 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的分 母 用字母表示为 a b c d ac bd 2 分式的除法法则 1 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 a b c d ad bc 2 除以一个分式 等于乘以这个分式的倒数 a b c d a b d c 异分母分式通分时 关键 是确定公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 这样的公分母叫做最简 公分母 10 4 分式的加减 10 4 分式的加减 1 同分母分式加减法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 用字母表示为 a c b c a b c 2 异分母分式加减法则 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分 式的加减法法则进行计算 用字母表示为 a b c d ad cb bd 10 5 分式方程 10 5 分式方程 1 分式方程的意义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 分式方程的解法 1 去分母 方程两边同时乘以最简公分母 将分式方程化为整式方程 2 按解整式方程的步骤求出未知数的值 整式 分式 16 3 验根 求出未知数的值后必须验根 因为在把分式方程化为整式方程的过程中 扩大了未 知数的取值范围 可能产生增根 10 6 整数指数幂及其运算 10 6 整数指数幂及其运算 内容整理 第十一章 第十一章 图形的运动图形的运动 11 1 图形的平移 11 1 图形的平移 1 平移的定义 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动称为平 移 平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离 2 关键 1 平移不改变图形的形状和大小 也不会改变图形的方向 但改变图形的位置 2 图形平移三要素 原位置 平移方向 平移距离 3 平移的规律 性质 经过平移 对应点所连的线段平行且相等 对应线段平行且相等 对 应角相等 4 简单的平移作图 平移作图要注意 方向 距离 整个平移作图 就是把整个图案的每一个特征点按一 定方向和一定的距离平行移动 11 2 图形的旋转 11 2 图形的旋转 1 旋转的定义 在平面内 将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度 这样的运动叫 做图形的旋转 这个定点称为旋转中心 转动的角称为旋转角 2 关键 1 旋转不改变图形的形状和大小 但会改变图形的方向 也改变图形的位置 2 图形旋转四要素 原位置 旋转中心 旋转方向 旋转角 3 旋转的规律 性质 经过旋转 图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的 角度 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 对应点到旋转中心的距离相 等 旋转前后两个图形的对应线段相等 对应角相等 4 简单的旋转作图 旋转作图要注意 旋转方向 旋转角度 整个旋转作图 就是把整个图案的每一 个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动 11 3 旋转对称图形与中心对称图形 11 3 旋转对称图形与中心对称图形 1 旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后 与初始图形重合 这种图形 叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心 旋转的角度叫做旋转角 旋转角 满足 0 0 时 a a a a 2 当 a 0 时 2 a a 当 a 0 时 2 a 12 3 立方根和开立方 12 3 立方根和开立方 1 如果一个数的立方等于 a 那么这个数叫做 a 的立方根 用 表示 读作 三次根号 19 中的 叫做被开方数 3 叫做根指数 2 求一个数 的立方根的运算叫做开立方 3 正数的立方是一个正数 负数的立方是一个负数 零的立方等于零 所以正数的立方根是 一个正数 负数的立方根是一个负数 零的立方根是零 4 任意一个实数都有立方根 而且只有一个立方根 12 4 n 次方根 12 4 n 次方根 1 如果一个数的 n 次方 n 是大于 1 的整数 等于 那么这个数叫做 的 n 次方根 当 n 为奇 数时 这个数为 的奇次方根 当 n 为偶数时 这个数为 的偶次方根 2 求一个数 的 n 次方跟的运算叫做开 n 次方 叫做被开方数 n 叫做根指数 3 实数 的奇次方根有且只有一个 用 n a 表示 其中被开方数 是任意一个实数 根指 数 n 是大于 1 的奇数 4 正数 的偶次方根有两个 它们互为相反数 正 n 次方根用 n a 表示 负 n 次方根用 表示 其中被开方数 0 根指数 n 是正偶数 当 n 2 时 在 n a中省略 n 5 负数的偶次方根不存在 6 零的 n 次方根等于零 表示为 n 0 0 7 n a 读作 n 次根号 12 5 用数轴上的点表示数 12 5 用数轴上的点表示数 1 有理数范围内绝对值 相反数意义 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个 数的绝对值 实数 a 的绝对值记作 2 绝对值相等 符号相反的两个数记作互为相反数 3 零的相反数是零 非零实数 的相反数是 4 实数大小的比较 1 负数小于零 零小于正数 2 两个正数 绝对值大的数较大 两个负数 绝对值大的数较小 3 从数轴上看 右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大 5 两点间的距离 在数轴上 如果点 A 点 B 所对应的数分别为 b 那么 A B 两点的距离 AB b 12 6 实数的运算 12 6 实数的运算 设 0 b 0 可知 b 根据平方根的意义 得 同理 20 12 7 分数指数幂 12 7 分数指数幂 1 0 0 其中 m n 为正整数 n 1 2 有理数指数幂有下列性质 设 b b 0 P q 为有理数 那么 1 2 3 本章小结 有理数 实数的分类 无理数 实数 用数轴上的点表示数 运算法则及运算性质 实数的运算 近似数及近似计算 数的开方 分数指数幂 有理数指数幂 运算性质 第十三章第十三章 相交线 平行线相交线 平行线 21 13 1 邻补角 对顶角 13 1 邻补角 对顶角 1 相交线的定义 在同一平面内 如果两条直线只有一个公共点 那么这两条直线叫做相交 线 2 1 对顶角的定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角叫做 对顶角 2 对顶角的性质 对顶角相等 3 1 邻补角的定义 有公共顶点和一条公共边 并且互补的两个角称为邻补角 2 邻补角的性质 邻补角互补 13 2 垂线 13 2 垂线 1 垂线的定义 垂直是相交的一种特殊情形 两条直线互相垂直 其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线 它们的交点叫做垂足 2 垂线的性质 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 联结直线外一点与直线上各点得所有线段中 垂线段最短 3 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 13 3 同位角 内错角 同旁内角 三线八角 13 3 同位角 内错角 同旁内角 三线八角 1 同位角 两个角都在两条被截线同侧 并在截线的同旁 这样的一对角叫做同位角 2 内错角 两个角都在两条被截线之间 并且在截线的两旁 这样的一对角叫做内错角 3 同旁内角 两个角都在两条被截线之间 并且在截线的同旁 这样的一对角叫做同旁内角 平行线的概念 13 4 平行线的判定 13 4 平行线的判定 1 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也平行 被称为平行 的传递性 3 平行线的判定 1 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 同位角相等 两直线平行 2 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 内错角相等 两直线平行 3 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 同旁内角互补 两直线平行 13 5 平行线的性质 13 5 平行线的性质 1 两条直线被第经过直线外地一点 有且只有一条直线与已知直线平行 2 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 两直线平行 同位角相等 3 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 两直线平行 内错角相等 4 两条平行线被第三条直线所截 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 5 两条平行线中 任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都 22 是一个定值 这个定值叫做这两条平行线间的距离 第十四章第十四章 三角形三角形 14 1 三角形的有关概念 14 1 三角形的有关概念 1 三角形的有关线段 三角形的高 中线 角平分线 2 三角形的分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 14 2 三角形的内角和 14 2 三角形的内角和 1 三角形的内角和等于 180 三角形的外角和等于 360 2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 14 3 全等三角形的概念与性质 14 3 全等三角形的概念与性质 1 能够重合的两个图形叫做全等形 2 两个三角形是全等形 就说它们是全等三角形 两个全等三角形 经过运动后一定重合 相互重合的顶点叫做对应顶点 相互重合的边叫做对应边 相互重合的角叫做对应角 3 全等三角形的对应边相等 对应角相等 14 4 全等三角形的判定 14 4 全等三角形的判定 1 判定方法 1 在两个三角形中 如果有两条边及它们的夹角对应相等 那么这两个三角形 全等 简记为 S A S 2 判定方法 2 在两个三角形中 如果有两个角及它们的夹边对应相等 那么这两个三角形 全等 简记为 A S A 3 判定方法 3 在两个三角形中 如果有两个角及其中一个角的对边对应相等 那么这两个 三角形全等 简记为 A A S 4 判定方法 4 在两个三角形中 如果有三条边对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 S S S 5 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 和 HL 6 不能识别两个三角形全等 识别两个三角形全等时 必须有边的参与 如 果有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角 三角形全等的证明思路 三角形全等的证明思路 三角形全等的证明思路 找夹角 已知两边 找直角 找另一边 找边的对角 已知一边一角 边为角的邻边 找夹角的另一边 找夹边的另一角 边为角的对边 找任意一角 已知两角 找夹边 23 找任意一边 14 5 等腰三角形的性质 14 5 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称为 等腰三角形的 三线合一 3 等腰三角形是轴对称图形 它的对称轴是顶角平分线所在的直线 14 6 等腰三角形的判定 14 6 等腰三角形的判定 1 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 这个三角形是等腰三角形 简称为 等角对等边 14 7 等边三角形 14 7 等边三角形 1 等边三角形是特殊的等腰三角形 它的三边都相等 2 等边三角形的性质 等边三角形的每个内角等于 60 3 判定等边三角形的方法 1 三个内角都相等的三角形是等边三角形 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 第十五章第十五章 平面直角坐标系平面直角坐标系 15 1 平面直角坐标系 15 1 平面直角坐标系 1 在平面内取一点 过点 画两条互相垂直的数轴 且使它们以点 为公共原点 这样 就在平面内建立了一个直角坐标系 通常 所画的两条数轴中 有一条是水平放置的 它的 正方向向右 这条数轴叫做横轴 记作 轴 另一条是铅直放置的 它的正方向向上 这条轴叫做纵轴 记作轴 如图所示 记作平面直角坐标系 点 叫做坐标原 点 简称原点 轴和 轴统称为坐标轴 2 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 所对应的有序实数对 a b 叫做点 P 的坐标 记作 P a b 其中 叫做横坐标 b 叫做纵坐标 3 象限的划分 4 经过点 A a b 且垂直于 x 轴的直线可以表示为直线 x 经过点 A a b 且垂直于 y 轴的直线 可以表示为直线 y b 15 2 直角坐标平面内点的运动 15 2 直角坐标平面内点的运动 24 1 点的坐标 有了平面直角坐标系 平面内的点就可以用一个有序数对来表示 a 点对应 x 轴的数值 为横坐标 b 点对应 y 轴的数值为纵坐标 有序数对就叫做点 A 的坐标 记作 a b 在直角坐标平面内 2 平行于 x 轴的直线上的两点 A y B y 的距离 AB 平行于 y 轴的直线上的两点 C x D x 的距离 CD 3 点的平移 在平面直角坐标系中 m 0 将点 x y 向右平移 m 个单位长度 可以得到对应点 x m y 将点 x y 向左平移 m 个单位长度 可以得到对应点 x m y 将点 x y 向上平移 m 个单位长度 可以得到对应点 x y m 将点 x y 向下平移 m 个单位长度 可以得到对应点 x y m 4 坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的 也可以说坐标平面内的点可以分为 六个区域 x 轴上 y