基于教学案例的数学概念课的建构_从_数系的扩充与复数的引入_一节课谈起.pdf

数学通报2010 年第 49 卷第 6 期 基于教学案例的数学概念课的建构 从 数系的扩充与复数的引入 一节课谈起 孙福 明 江苏常州市教育教研室2130 0 1 数学概念是数学大厦的基石 是数学体 系的 起点 数学教师都知道学习数学概念的重要性 他 们在谈论学生的错误时 总喜欢归因为学生 概念 不清 然而究其根源 教师在讲授概念时 首先没 有讲清概念 尤其是新课程实施以来 部分教师 由 于对情境 活动的功能认识不到位 导致概念教学 的弱化 如在利用情境引人概念时 概念的本质属 性突出不够 分析概念 内涵时 缺 乏思想方法 引 领 常常揪住 细枝末节 大做文章 阐述概念性质 时 不能采用演绎 的方法分清性质的层次 常把衍 生很远的结论作为性质 运用概念时 不用概念规 范和引领思维活动 一味强调程序和技巧等 本文 以 数系的扩充与复数的引人 苏教版普通高中 数学课程标准实验教科书数学选修 2 一2 下同 为例 谈谈数学概念课建构 的一些认识 数系的扩充与复数的引人 一节分成三个层 次 第一层次是数集扩充史 的简要回顾 第二层次 是虚数单位及复数 的定义 第三层次是复数概念 的运用 包括复数分类 复数相等 1引入概念 立足数学 粉眼学生 1 1以数学系统性为基础 以引发学生认知冲突 为盆点 在处理第一板块 时 有些教师通过讲故事的 方式 大篇幅的采用 了数学史 引经据典 给人的 感觉不是在上数学课 而是在上历史课 其 实 就 数学史 自身而言 数系的发展纵横数百年 枝节很 多 有些书籍 的介绍只是简约的结论 并没有完整 展示 本节课 的教学 目标定位于通过适度 经历数 的概念的发展和数 系扩充 的过程 重点 体会数 学发现和创造的过程 为数集的进一步扩充打下 基础 即 数学发生 发展的客观需要 最终达到 让学生充分体会到引入虚数是必需的 合理的 是 水到渠成的 课程标准提出的所谓 经历 不能简 单地理解为完整 走 一遍 在这里 数学史并非重 点 蕴含在数学史 中的数学 家的问题意识 和数学 家追求理性 追求数学的完美 的创新精神是值得 向同学们介绍的 部分教师简单照搬教材 内容 采取 了两条线 索来叙述数集的扩充过程 一条是社会发展 的需 要 从人类生活历史 的角度 说 明引人 数集 Z Q 的重要性 一条是数学内部运动发展使然 由于采 用 了平行引人的处理方法 使得课堂层次不清 主 题不突出 反而削弱了情境的作用 数学固然来源 于生活 但数学并不能总是在生活中找到模型 比 如 虚数单位 i 在人们 日常生活中 是无法直接 感知的 引进虚数概念 应从数学 内部矛盾运动着 手 是数学内部矛盾运动的产物 本节课引人可以 设计成以研究方程的解为线索 在 回顾求 解系列 方程 sx 一3 x 十1一 扩一2 等的过程 中 让学生 一次次感受到 由于已有 的数集 不 够用 导致 了 数系扩充 的必 然性 让学生形 成 由于数不 够用 了 导致数系必然要扩充 这一问题解决模 式 由 此在研究最简单的一元二次方程 扩 一1 时 类 似的问题情境 学生 自然想到扩充数系的必要性 这样的引人 既强调了数学的逻辑体系 又引发了 学生的认 知冲 突 学 生认 知新概 念 的 欲望 得到 调动 1 2情境设里的三五功能 提取 过渡 伏笔 在介绍数系扩充过程 中 教师 只是简单呈现 这样一条线 N Q R 即数系扩充 的结果 其实 在数系扩充过程中 情境可 以起到 三重功能的作 用 第一重功能是提取 即提取学生知识结构中有 关数系的知识 从 扩充 的视角 重新排列 学生知 识结构 中是没有数 系及扩充的概念的 有的只是 2010 年第49 卷第 6期 数学通报 数集的知识和数集 之间的包含关 系 数集 和数 系 是两个不同的概念 数系是数集 连同相应 的运算 及结构 显然 数集仅是数 系的对象 包含 和扩充 是有本质区别的 前者在学生的印象中更多的是 多少 或 大小 的概念 而扩充 既体现在范围的 增加上 更 重要 的是保持原 有 的 好 的运算结 构 没有因为引人新数产生变异 这一点是至为关 键的 可以说是数 系扩充 的核心 在呈现过程 中 教师应有意识的引导学生从 扩充 的角度重新排 列数集的知识 渗透 强化扩充 的原则 第二重功 能是过渡 即通过历次数系扩充必要性的介绍 自 然过渡到引入虚数 的重要性及合理性 第三重功 能是伏笔 情境引人要为后续知识服务 不能像火 箭升天 扔掉一节是一节 介绍数系历次扩充过程 中的扩充原则 要作为重点 每次扩充都要强化 为复数概念引人打下伏笔 扩充原则中 保持原来 的部分运算性质 要有具体 的例子 以便为虚数 引人后 虚数与实数的运算打下伏笔 解决虚数与 实数运算这个难点提供铺垫 如引人无理数后 无 理数与有理数之间的运算时 应板书 2 涯 涯 一 5涯 这样一些形式的数 以加强学生的感性认识 当后面出现虚数时 类似的 只要把无理数换成相 应的虚数 采用类 比的方法可以很好地解决虚数 与实数运算所带来的学生认知上的困难 2认识概念 整体构建 说清分类 2 1虚数单位引入的合理性 为什么称 i 为虚数单位 几乎所有教 师在 上课时都没有给与合理 的解释 都是 空投 直接作为结论呈现给学生 其实 实数表示 中 也 是有单位的 这个单位就是 1 例如数 5 意指 5 个 1 同样 为 了引人虚数 也需要 引进虚数单位 也 因为一4 4X 一1 当 a O 时 一a a x 一1 所有的负数都可以转化 为一个正数 与一1 的积 因此对负数的开平方 归根到底转化 为对一1 的 开平方 相当于实数 中 1 为单位 对 一1 开平方根 就相应称为虚数单位 有个别 教师 类 比符号 如分 数 线 一 根号 护一 等 认为引进的虚数单位 i 是个符号 这 是不对的 前面的符号都是代表某种运算 但虚数 单位 i不是 前后有本质区别 不存在类 比关系 2 2整体认识复数代数形式 根据数集的扩充原则 对虚数单位 i 规定运 算 实数可 以与 i 进行 四则 运算 进 行 四则运 算 时 原有的加法 乘法运算律仍然成立 首先考虑 最基本的加法和乘法运算 因为减法和除法是加 法与乘法的逆运算 所以作为最简单的运算结果 只需要考虑加法和乘法 其次这个数是分两步 得 到的 第一步是虚数单位 i 可以与任意实数 b 相 乘 得到结果是一个数 b i 当然也可以写成 i b 但 因为 i是虚数单位 因而习惯把 b 写在前面 再把 这个数与任意实数 a 相加 得到结果 a b i 这又 是一个数 再次 复数代数形式是简约化的约定 包括 a b 任R 及实部在前 虚部在后 的约定 a b 可以是具体的实数 也可以是代数表达式 引人虚数单位 i 并与实数进行运算后得到 a b i a be R 后 如何在学生认知结构 中纳人这 个概念是十分关键的 复数进人学生的认知结构 不是简单的同化 而是顺应 很多教师常 因为其简 单 就一带而过 事实证明 学生对复数概念模糊 相当大程度上是因为对代数形式理解不到位 对 复数的代数形式 首先应整体理解 这个整体形式 是一个数 不能因为有运算符号 就认 为它是 个式子 这是虚数与实数运算 包括化简 的结果 这个整体与 2 授 等无理数有形似之处 即无理 数无法再与有理数 合并 化简 只能保 留这样的 结果 同样的 虚数也无 法与实数进行 合并 所 以只能保持这样 的结构 复数的这种结构体现了数学概念 的两重性 即既是运算的过程 体现加法 乘法运算 是一个 动态 的 过程 又是 运 算 的结 果 是 一 个 静 态 的 形式 2 3复数 的分 类是对 复数代数 形式 认识 的精 致化 很多教师写出或让学生写出若干个各种结构 的复数 然后结合复数 的形式进行分 类 其实 从 数学逻辑关系来说 复数集是在实数集基础 上扩 充过来的 在复数 a b i a b任R 中 a b 是 字母 形式 按照高二学生的认知水平 应该 自然想到分 类讨论的思想 a b 满 足什 么条件 复数变成 说 退化更准确 实数 学生 自然能想到 b一0 进 而 分类到 b笋 的情形 对 a 是否等于 O 的讨论 不 是讨论的焦点 只不过 因为虚数集 中有这样 一类 数集 故把它们归为一类 对 a b 是否等 于 O 的讨 数 学通报 2010 年第 49 卷第 6 期 论 尽管形式相同 但数学含义是不一样 的 分类是概念 的精致化过程 是概念体系的建 立过程 即复数与实 数是 否有关系 有何 关系 通过复数概念的内涵和逻辑的关联 进而分类 系 统化 形成整体知识体系 达到相互联 系 融汇变 通 因此 有些教师前面出现了扩充体系 N Z Q斗R 但引人复数集 C 却没有及时链接上去 没 有明确指 出到此为止形成中学阶段完备的数 系扩 充体系 N Z Q R C 不能不令人遗憾 对数的分类讨论思想其实在数系的扩充过程 中是一直存在 的 每一次 的扩充就是分类思想的 体现 如有理数分为整数和分数 实数分为有理数 和无理数 同样 实数扩充到复数后 复数分 为实 数和虚数 这样的分类更能体现数学培养学生逻 辑思维能力的作用 体现数学的系统性 体现数学 思想的一脉相承 3概念应用 紧贴 内涵 渗透思想 3 1概念 应用 紧扣 复数 代数 形式 不 能走得 太远 教材设置了三道例题来认识 复数代数形式 前两道是最基 础的 但很多教 师误认为简单就一 带而过 失去 了在具体情境下认识复数的例题教 学的价值 例题教学 要引导学生学会用概念规范 和引领思维活动 首先要突 出审题 和分析 的思维 过程 判断对 象是否 是复数 的标 准代 数形式 实 部 虚部分别 是什 么 其次 如果实部 虚部 中含 有字母 如何有序分类讨论 作为例题教学 解题 的示范格式也是必不可少 的 3 2挖掘概念中的数学思想方法 教材第三道例题是 复数相等的概念运用 很 多教师感觉到如何引人复数相等是个难点 甚至 个别教师违反教材逻辑 通过点重合来说 明复数 相等 复数相等仍然是复数概念的深化 即相同的 一对有序数对只能决定一个复数 由于学生已经 学过向量 对有序数对的概念并不陌生 所以在这 里 把复数形式与有序数对对应起来 明确一个复 数 a十b i a b任R 确定一对有序数对 a b 逆过 来 一对有序数对确定一个复数 就是说两个标准 的复数代数形式 只要它们各 自的 a b 顺序对应 相等 那么这就是 同一个复数 这就渗透了数形结 合的思想 尽管不必明确指出 但数学思想 对 应 数形结合的渗透是无处不在的 教师在数学概 念的教学中 应努力在特殊的个案 中挖掘重要 的 数学思想 并适当加以强化 数学思想是数学的灵 魂 它是无处 不在 的 关键 在 于教 师有 一 双 慧 眼 4学生活动 浓厚思维含t 增加探究味道 新课程强调课堂教学中学生的主体地位 如 何在数学课堂中体现学生的主角位置呢 通过教 师精心设计知识关键点 学生理解 困难点等关节 点处的问题 激发学生探索的欲望 在学生探索过 程中 教师利用适度 的点 拨 调 引 等手段 让学 生的思维不断走 向深人 是张扬学 生主体地位 的 常用模式 在本节课的教学中 有些教师把可以探 索的内容变成 了直接的知识传授 把课上得索然 无味 学生完全处于游离的状态 其 实 本 节课可 以设计成问题串的形式 让学生进入思维的轨道 充分给予学生思考的权力 引入虚数概念后 用类 比的方法 通过与实数的比较 激发学生探求新知 的兴趣 如虚数与实数 的运算 能否类 比实施与实 数的运算 有何共性及区别 如 2 3 i 区别何在 等等 2 1 书1 二 尸一 气 二 j匕 总之 在概念教学中 应围绕概念 本着 强化 理性思维 的教学原则 本着帮助学生 认 识数学 的本质 的原则 多角度 全方位地做深人浅 出的 剖析 恩格斯 曾说 在一定意义上 科 学的 内