考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理).pdf

基础知识 因式分解公式 b 1 2b 2 1 n 为正偶数时 b 1 2b 2 1 n 为正奇数时 b 1 2b 2 1 二项式定理 0 不等式 1 a b 位实数 则 1 ab 2 2 2 3 2 0 则 1 1 2 1 2 取整函数 x 1 x x 三角函数 和差化积 积化和差 7 sin sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 1 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 cos cos 1 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 co 2 sin sin 1 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 重要三角公式 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 tan 1 tan cot 1 cot cot cot cot tan 2 1 1 1 1 cot 2 1 1 1 1 万能公式 2 0 0 当 0 x x0 时 恒有 f x A 0 0 当 0 x x0 时 恒有 f x A 0 0 当 0 x0 x 时 恒有 f x A 0 X 0 当 x X 时 恒有 f x A 0 X 0 当 x X 时 恒有 f x A 0 X 0 当 x X 时 恒有 f x A 0 N 0 当 n N 时 恒有 Xn A 0 使 f x 在 U x 0 x x0 0 则 存 在 x0的 一 个 去 心 邻域 在该邻域内恒有 f x 0 2 戴帽 若存在 x0的一个去心邻域 在该邻域内 f x 0 且 0 A 则 A 0 计算 极限四则运算 设 0 A 0 B 则 1 0 A B 2 0 A B 3 0 B 0 等价无穷小 9 sin 1 cosx 1 2 x2 sin 1 1 x 1 x ln 1 x 1 1 1 a 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 0 洛必达法则 型 1 0 0 0 0 2f x g x 在 x0的某去心领域内可导 且 g x 0 3 0 A 或为 则 0 0 型 1 0 0 2f x g x 在 x0的某去心领域内可导 且 g x 0 3 0 A 或为 则 0 0 注 洛必达法则能不能用 用了再说 数列极限存在准则 1 单调有界数列必收敛 2 夹逼准则 如果函数 f x g x 及 h x 满足下列条件 1 g x f x h x 2 limg x A limh x A 则 limf x 存在 且 limf x A 两种典型放缩 1max 1 n max 2n min 1 n max 选取的依据是谁在和式中去决定性作用 海涅定理 归结原则 设 f x 在 0 内有定义 则 0 A 存在 对任何以x0为极限的数列 0 极限 A 存在 连续的两种定义 1 0 0 0 0 0 2 lim 0 0 间断点 第一类 可去 跳跃 第二类 无穷 振荡 一元微分学 定义 导数定义式 f x0 x x0 0 0 0 0 0 0 微分定义式 若 y A o 则 dy A 可导的判别 1 必要条件 若函数 f x 在点x0处可导 则 f x 在点x0处连续 2 充要条件 0 存在 0 0 都存在 且 0 0 注 通俗来说就是连续函数不一定可导 函数在一点可导且在该点连续 但在这 点的某个邻域未必连续 函数可导 则其导函数可能连续 也可能震荡间断 可微的判别 0 0 则 f x 可微 一元函数可微即可导 计算 几个不常见的求导公式 arccos x 1 1 2 arccot x 1 1 2 莱布尼茨公式 uv n 0u n v C1 nu n 1 v uv n 常见初等函数 n 阶导数 n lnna 1 n 1 1 sin ax b n ansin ax b 2 cos ax b n ancos ax b 2 ln ax b n 1 1 1 n 1 构造辅助函数 要证 0 只要构造 F x f x 证明 0 十大定理 最值定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 则 其中 分别 为 在 a b 上的最小值和最大值 介值定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 m M 是 f x 在该区间上的最小 值和最大值 则对任意的 a b 使得 零点定理 如果函数 f x 在闭区间 上连续 且满足 f a f b 0 则 y f x 在 I 上严格单调增加 若 y f x 在区间 I 上有f x 0 则 y f x 在 I 上严格单调减少 零点问题 方程根问题 1零点定理 存在性 2单调性 唯一性 3几何意义 4罗尔中值 构造辅助函数 F 0 5拉格朗日 柯西中值 即为定理方程的根 6费马定理 取原函数 F x 找极值 f x 0 7罗尔原话 若f n x 0 至多 k 个根 则f n 1 x 0 至多 k 1 个根 极值判定 3 第一充分条件 设 f x 在 x x0处连续 在x0某去心领域 x0 可导 在x0的左邻域f x 0 则 f x0 是极小值 在x0的左邻域f x 0 右邻域f x 0 则 f x0 是极大值 第二充分条件 设 f x 在 x x0处二阶可导 且f x 0 f x 0 0 若f x 0 0 则 f x 在x0取得极小值 第三充分条件 设 f x 在 x x0处 n 阶可导 且f m x 0 0 m 1 2 n 1 f n x 0 0 n 2 则 n 为偶数时 f n x 0 0 时 f x 在x0取得极小值 凹凸性判定 设 f x 在 I 上二阶可导 若在 I 上f x 0 则 f x 在 I 上是凹的 若在 I 上f x 0 则 f x 在 I 上是凸的 补充定义 设 f x 在 a b 内连续 如果对 a b 内任意两点 1 2 0 1 有 f x1 1 x2 f x1 1 f x2 则称 f x 在 a b 内是凸的 则 是凹的 拐点判定 3 第一充分条件 设 f x 在点 x x0处连续 在点 x x0的某去心邻域 x0 内二阶 导数存在 且在该点的左右邻域内f x 变号 则点 x0 f x0 为曲线上的拐点 第二充分条件 设 f x 在 x x0处三阶可导 且 0 0 0 0 则 0 0 为拐点 第三充分条件 设 f x 在 x x0处 n 阶可导 且 0 0 m 2 n 1 0 0 n 2 则当 n 为奇数时 0 0 为拐点 微分几何应用 曲率 y y x 在 x y x 处的曲率公式为 曲率半径 R 曲率圆 2 2 2 1 2 2 1 2 2 一元积分学 不定积分 定义 设函数 f x 定义在某区间 I 上 若存在可导函数 F x 对于该区间上任一点 都有F x f x 成立 则称 F x 在区间 I 上的一个原函数 称 F x C 为 f x 在区间 I 上的不定积分 原函数存在定理 连续函数 f x 必有原函数 F x 若间断函数有原函数 也只能 为振荡间断 定积分 定义 设函数 f x 在区间 a b 上有定义 若存在定积分 则定积分 的 值为曲边梯形的面积 x 轴上方取正 下方取负 定积分的精确定义 lim 1 注 任意切分 任意取高 定积分存在 可积 定理 1充分条件 在区间 上连续 在区间 上有界 且只有有限个间断点 则 存在 2必要条件 可积函数必有界 定积分的性质 6 1可拆性 无论 a b c 的大小 f x x c a 2保号性 若在 a b 上 f x g x 则有 特殊地 有 3估值定理 设 m M 分别是 f x 在 a b 上的最小最大值 则有 m b a M b a 4中值定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一点 使得 b a 的奇偶 周期 有界 单调关系 1 奇偶性 可导 奇 则 偶 可导f x 偶 则 奇 可积 奇 则 0 偶 偶 可积 偶 则 0 奇 不定 2 周期性 可导 以 T 为周期 则 以 T 为周期 可积 以 T 为周期 则 以 T 为周期 f x x T 0 0 3 有界性 若 在有限区间 a b 内有界 则f x 在 a b 内有界 4 单调性 无明确结论 变限积分 定义 当定积分的上限变化 下限变化或上下限都变化时 称该积分为变限积 分 变限积分的性质 1 f x 在 a b 上可积 则 F x 在 a b 上连续 2 f x 在 a b 上连续 则 F x 在 a b 上可导 即只要变限积分 F x 存在 就必然连续 变限积分求导公式 2 1 2 2 1 1 x 为 求导变量 t 为 积分变量 反常积分 通俗理解 破坏积分区间 的有界性 破坏 f x 在 上的有界性 无穷区间上的反常积分的概念和敛散性 若 则收敛 若不 则发散 若 则收敛 若不 则发散 3 1 2 1 2均收敛 则 3收敛 否则 3发散 无界函数的反常积分的概念和敛散性 若 b 是 f x 的唯一奇点 则 0 若 则收敛 若不 则发散 若 c a b 是 f x 的唯一奇点 则 3 1 2 1 2均收敛 则 3收敛 否则 3发散 计算 基本积分公式 24 凑微分 复杂处理方法 换元法 三角代换 倒代换 整体代换 不定积分 分部积分 推广 有理函数积分 N L 公式 有原函数 分部积分 换元法 定积分 华氏 点火 公式 区间再现公式 变限积分求导公式 积分几何应用 均值 设 函数 y x 在 上的平均值为 1 平面曲线弧长 1 平面光滑曲线 L 由 给出 则 L 1 2 2 平面光滑曲线 L 由参数式 给出 则 L 2 2 3 平面光滑曲线 L 由 给出 则 L 2 2 4 平面光滑曲线 L 由 f r 给出 则 L 1 2 平面图形面积 1 S 1 2 2 S 1 2 1 2 2 2 旋转曲面面积 1 曲线 y y x 在区间 a b 上的曲线弧段绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转曲面的面积 2 1 2 2 曲线 0 在区间 上的曲线 弧段绕 x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积 S 2 2 2 3 曲线 y y x 在区间 a b 上的曲线弧段绕 y 轴旋转一周所得 到的旋转曲面的面积 2 1 2 旋转体体积 1 曲线 y y x 与 x a x b a b 及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周所得到的旋转体的体积 2 2 曲线 y 1 x 0与 y 2 x 0 及 x a x b a b 所及 x 轴 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积 1 2 22 3 曲线 y y x 与 x a x b 0 a b 及 x 轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 2 4 曲线 y y1 x 与 y y2 x 及 x a x b 0 a b 所围成的图形 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 2 1 2 多元微分 基本概念 1 极限的存在性 若二元函数 f x y 在 0 0 的去心领域内有定义 且 x y 以 任意方式 不考虑无定义点 趋于 0 0 时 f x y 均趋向于 A 则 0 0 2 连续性 如果 0 0 0 0 则称 f x y 在点 0 0 处连续 3 偏导数存在性 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 4 可微 全增量 0 0 0 0 5 4 线性增量 3 6 若极限 0 0 2 2 0 则称 在 0 0 处可微 5 偏导数连续性 1用定义法求 0 0 0 0 2用公式法求 并计算 0 0 0 0 3若 1 2 则 在 0 0 处的偏导数连续 6 0 在 0处连续 0 x y0 存在 0 在 0处连续 0 0 存在 计算 多元函数微分遵循链式法则 隐函数求导法 设函数 在 0 0 0 0 的某邻域内有连续偏导数 并且 0 0 0 0 0 0 0 0 则 在点 0 0 0 0 的某邻域内恒能确定唯一的 连续函数 且满足 1 0 0 0 2 0 3 有连续偏导数 且 多元函数极值 必要条件 设 在点 0 0 处取得极值 且 在点 0 0 处存在偏 导数 则必有 0 0 0 0 0 0 充分条件 设 在点 0 0 有二阶连续偏导数 并设 0 0 是 的驻点 记 A 0 0 B 0 0 C 0 0 则 B2 AC 0 极值 A 0 极小值 0 非极值 0 不能确定 方法失效 条件极值 求 在条件 0 下的极值 1 构造拉格朗日函数 2 构造方程组 0 0 0 解出所有的 3 求备选点 其中最大值 最小值即为所求最值 在某区域 D 上的最值 1 求出 f x y 在 D 内所有可疑点处的函数值 2 求出 f x y 在 D 的边界上的最值 3 比较所有的函数值 得出最值 常微分方程 基础概念 1 未知函数是一元函数的是常微分方程 多元函数的是偏微分方程 2 未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶 3 通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同 不含任意常数的解是特解 4 线性微分方程 通解 全部解 非线性 通解 全部解 5 对于二阶线性齐次方程 设y1 x y2 x y3 x 是该方程的解 则 C1y1 x C2y2 x C3y3 x 也是该方程的解的充要条件是C1 C2 C3 0 对于二阶线性非齐次方程 设y1 x y2 x y3 x 是该方程的解 则 C1y1 x C2y2 x C3y3 x 也是该方程的解的充要条件是C1 C2 C3 1 一阶微分方程 变量可分离型 可化为变量可分离型 1 解法为 令u 则 代入原方程得 2 形