2010年高考数学试题分章节汇编(圆锥曲线).doc

2010 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题一 选择题 2010 湖南文数 湖南文数 5 设抛物线 2 8yx 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦 点的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 2010 浙江理数 浙江理数 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若 在双曲线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴 长 则该双曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦 点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p的值为 C A 1 2 B 1 C 2 D 4 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 2 p x 因为抛物线y2 2px p 0 的准线 与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 22 0caac 解得 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线 2 8yx 的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PAl A为垂足 如果直线AF斜率为3 那么PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 解析 选 B 利用抛物线定义 易证PAF 为正三角形 则 4 8 sin30 PF 2010 辽宁理数 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的焦点 虚轴 渐近线 离心率 考查了两条直线垂 直的条件 考查了方程思想 解析 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y b x a 垂直 所以1 b b c a A 即 b2 ac 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以 15 2 e 或 15 2 e 舍去 2010 辽宁理数 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为 垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的定义 抛物线的焦点与准线 直线与抛物线的位置关系 考查了等价转化的思想 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为3 2 yx 所以点 2 4 3 A 6 4 3 P 从而 PF 6 2 8 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 12 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右焦 点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若3AFFB 则 k A 1 B 2 C 3 D 2 解析解析 B B 1122 A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e 设 设 2 3at ct b t 222 440 xyt 直线 直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 代入消去 代入消去 x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 解得 2 1 2 s 2k 2010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 1 F 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 1 FP 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近线方 程为 A x 3y 0 B 3x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 2010 重庆理数 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 2010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线与A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A 1x B 1x C 2x D 2x 答案 B 2010 四川理数 四川理数 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点 为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 20102010 天津理数 天津理数 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 答案 B 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程 属于容易题 依题意知 22 222 3 69 27 b a cab ca b 所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 温馨提示 选择 填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质 这部 分内容也是高考的热点内容之一 在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 20102010 福建文数 福建文数 11 若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭 圆上的任意一点 则OP FP A的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 00 xy 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 1 OP FPx xy 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x 因为 0 22x 所以当 0 2x 时 OP FP 取得最大值 2 2 236 4 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数 的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算 能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 PFPF A4 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 PFPF A4 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点P在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则P到x轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 2010 四川文数 四川文数 10 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为 F 其右准线与x轴 的交点为A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值 范围是 A 0 2 2 B 0 1 2 C 21 1 D 1 2 1 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 2010 四川文数 四川文数 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4 又交点到准线的距离就是 p 答案 C 2010 湖北文数 湖北文数 9 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围 是 A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 20102010 山东理数 山东理数 7 由曲线 y 2 x y 3 x围成的封闭图形面积为 来源 W A 1 12 B 1 4 C 1 3 D 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 123 0 x x dx 111 1 1 3412 故选 A 命题意图 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 2010 安徽理数 5 双曲线方程为 22 21xy 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 5 C 解析 双曲线的 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 所以右焦点为 6 0 2 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 222 cab 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b 从而得出错误结论 2010 湖北理数 9 若直线 y x b 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 12 2 B 1 2 2 12 2 C 1 2 2 3 D 12 3 9 答案 C 解析 曲线方程可化简为 22 2 3 4 13 xyy 即表示圆心为 2 3 半径 为 2 的半圆 依据数形结合 当直线yxb 与此半圆相切时须满足圆心 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得12 212 2bb 或 因为是下半 圆故可得12 2b 舍 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故 12 23 b 所以 C 正确 20102010 福建理数 福建理数 A B C D 答案 C 解析 经分析容易得出 正确 故选 C 命题意图 本题属新题型 考查函数的相关知识 20102010 福建理数 福建理数 7 若点 O 和点 2 0 F 分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y 的中心和左焦 点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则OP FP 的取值范围为 A 3 2 3 B 32 3 C 7 4 D 7 4 答案 B 解析 因为 2 0 F 是已知双曲线的左焦点 所以 2 14a 即 2 3a 所以双曲线 方程为 2 2 1 3 x y 设点 P 00 xy 则有 2 2 0 00 1 3 3 x yx 解得 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 00 2 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 此二次函数对应的抛 物线的对称轴为 0 3 4 x 因为 0 3x 所以当 0 3x 时 OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3 故OP FP 的取值范围是 32 3 选 B 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二 次函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 20102010 福建理数 福建理数 2 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A 22 x y 2x 0 B 22 x y x 0 C 22 x y x 0 D 22 x y 2x 0 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以 圆的半径为r 1 故所求圆的方程为 22 x 1 y 1 即 22 x 2x y 0 选 D 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 二 填空题 2010 上海文数 上海文数 8 动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则P的 轨迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知P的轨迹是以 2 0 F为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为 y2 8x 2010 浙江理数 浙江理数 13 设抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 0 2 A 若线段FA的中点B在抛物线上 则B到该抛物线准线的距离为 解析 利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为2 B 点坐标为 1 4 2 所 以点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4 本题主要考察抛物线的定义及几何性质 属容易 题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M且斜 率为3的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若AMMB 则p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线l于 E AMMB M 为中点 1 BMAB 2 又 斜率为3 0 BAE30 1 BEAB 2 BMBE M 为抛物线的焦点 p 2 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 15 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线 l 过 M 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p 解析解析 2 2 本题考查了抛物线的几何性质 本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB 33yx 代入 代入 2 2ypx 得得 2 3 62 30 xp x 又 又 AMMB 1 2 2 xp 解得 解得 2 4120pP 解得 解得 2 6pp 舍去 舍去 20102010 江西理数 江西理数 15 点 00 A xy 在双曲线 22 1 432 xy 的右支上 若点 A 到右焦点的距 离等于 0 2x 则 0 x 答案 2 解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取 a 2 c 6 r e d 3rd 2 000 23 2 a xxx c 2010 安徽文数 安徽文数 12 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 答案 2 0 解析 抛物线 2 8yx 所以4p 所以焦点 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求p 或求出p后 误认为焦点 0 p 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 2010 重庆文数 13 已知过抛物线 2 4yx 的焦点F的直线交该抛物线于A B两 点 2AF 则BF 解析 由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF ABx 轴 故AF BF 2 2010 重庆理数 重庆理数 14 已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx 上的两点 A B 满足3AFFB 则弦 AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 ABC 中 AC 2m AB 4m 3 AB k 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 20102010 北京文数 北京文数 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 4 0 30 xy 20102010 北京理数 北京理数 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 答案 4 0 30 xy 20102010 天津文数 天津文数 13 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx 它的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 答案 22 1 412 xy 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 222 cab 联立 解得 22 4 12ab 所以双曲线的方程为 22 1 412 xy 温馨提示 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解 注意双曲线中 c 最大 20102010 福建文数 福建文数 13 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程式为 y 1 x 2 则 等于 答案 1 解析 由题意知 1 22 b 解得 b 1 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段 BF的延长线交C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 16 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程 与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数 形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc xO y B F 1 D D 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab 设 22 D xy F 分 BD 所成的比为 2 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 代入 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 2010 湖北文数 湖北文数 15 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的两焦点为 12 F F 点 00 P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y 则 1 PF 2 PF 的取值范围为 直线 0 0 1 2 x x y y 与椭圆 C 的公 共点个数 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时 12max 2 PFPF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PFPF 为 21 21 2 2 故范围为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直 线 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 3 2010 江苏卷 江苏卷 6 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线1 124 22 yx 上一点 M 点 M 的 横坐标是 3 则 M 到双曲线右焦点的距离是 解析 考查双曲线的定义 4 2 2 MF e d d为点 M 到右准线1x 的距离 d 2 MF 4 三 解答题 2010 上海文数 上海文数 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 0 Ab 0 Bb 和 0 Q a为 的三个顶 点 1 若点M满足 1 2 AMAQAB 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b kk a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过PQ中点F的直线l 使得l与椭圆 的两个交点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 令10a 5b 点P的 坐标是 8 1 若椭圆 上的点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 求点 1 P 2 P的坐标 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消 y 得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消 y 得方程 k2 k1 x p 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由 12 PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 2 1 2 2 b k a k 从而得直 线 l 的方程 1 1 2 F 直线 OF 的斜率 2 1 2 k 直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy 消 y x2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P2 8 3 2010 湖南文数 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察 基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 12 PP 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界 线上 2010 浙江理数 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径的圆 内 求实数m的取值范围 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线 l 2 0 2 m xmy 经过 2 2 1 0 Fm 所以 2 2 1 2 m m 得 2 2m 又因为1m 所以2m 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy 解 设 1122 A x yB xy 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m 消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8 1 80 4 m mm 知 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y A 由于 12 0 0 FcF c 故O为 12 FF的中点 由2 2AGGO BHHO 可知 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设M是GH的中点 则 1212 66 xxyy M 由题意可知2 MOGH 即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 1 82 m m 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m 所以m的取值范围是 1 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C 22 22 100 xy ab ab 相交于B D两点 且 BD的中点为 1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DF BF A 证明 过A B D三点的圆 与x轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基 础知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 20102010 陕西文数 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线l与椭 圆C 相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 解 设焦距为2c 由已知可得 1 F到直线 l 的距离32 3 2 cc 故 所以椭圆C的焦距为 4 设 112212 0 0 A x yB xyyy 由题意知直线l的方程为3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆C的方程为 22 1 95 xy 2010 辽宁理数 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 因为 21 1 1 3 AByy 所以 2 22 24 315 343 ab ab 由 2 3 c a 得 5 3 ba 所以 515 44 a 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D 两点 且 BD 的 中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 解析解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 1 由直线过点 由直线过点 1 1 3 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为 1 1 3 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A BA B 的关系式即求得离心率 的关系式即求得离心率 2 2 利用离心率将条件 利用离心率将条件 FA FB 17 FA FB 17 用含 用含 A A 的代数式表示 即可求得的代数式表示 即可求得 A A 则 则 A A 点坐标可点坐标可 得 得 1 1 0 0 由于 由于 A A 在在 X X 轴上所以 只要证明轴上所以 只要证明 2AM BD2AM BD 即证得 即证得 20102010 江西理数 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 抛物线 22 2 Cxbyb 1 若 2 C经过 1 C的两个焦点 求 1 C的离心率 2 设 A 0 b 5 3 3 4 Q 又 M N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 的垂心为 3 4 Bb 0 且 QMN 的重心在 2 C上 求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 22 cb 由 2 2222 2 12 2 22 c abcce a 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 11111 0 Mx yN x yx 由AMN 的垂心为 B 有 2 111 3 0 0 4 BM ANxyb yb 由点 11 N x y在抛物线上 22 11 xbyb 解得 11 4 b yyb 或舍去 故 1 555 22424 bb xb MbNb 得QMN 重心坐标 3 4 b 由重心在抛物线上得 2 2 3 2 4 b bb 所以 11 5 5 22 MN 又因为 M N 在椭圆上得 2 16 3 a 椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy 抛物线方程为 2 24xy 2010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 12 F F在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 求 12 F AF 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能 力 解题指导 1 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 把点 2 3A代入椭圆方程 把离心率 1 2 e 用 a c表示 再根据 222 abc 求出 22 a b 得椭圆方程 2 可以设直线 l 上 任一点坐标为 x y 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 346 2 5 xy x 解 设椭圆 E 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知F所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy AFx xyxxy AF 数 设P x y 为F的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 F的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 根据题目满足的条件 求出 22 a b 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点O为中心 5 0 F为右焦点的双曲线C的离心率 5 2 e 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程 如题 21 图 已知过点 11 M x y的直线 1 l 11 44x xy y 与过点 22 N xy 其中 21 xx 的直线 2 l 22 44x xy y 的交点E在双曲线C上 直线 MN与双曲线的两条渐近线分别交于G H两点 求OG OH A的值 2010 浙江文数 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 2 2Cyps p 0 的焦点 F 在直线 2 0 2 m l xmy 上 I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线l与抛物线 C 交于 A B A 2 A F 1 BB F的重心分别为 G H 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 2010 重庆理数 重庆理数 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 5 0F为右焦点 的双曲线 C 的离心率 5 2 e I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点 11 M x y的直线 111 44lx xy y 与过点 22 N xy 其中 2 xx 的直线 222 44lx xy y 的交点 E 在双曲线 C 上 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求OGH 的面积 2010 山东文数 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 过点 2 1 2 离心率为 2 2 左 右焦点分别为 1 F 2 F 点P为直线 2l xy 上且不在x轴上的任意 一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为A B 和C D O为坐标原点 I 求椭圆的标准方程 II 设直线 1 PF 2 PF的斜线分别为 1 k 2 k i 证明 12 13 2 kk ii 问直线l上是否存在点P 使得直线OA OB OC OD的斜率 OA k OB k OC k OD k满足0 OAOBOCOD kkkk 若存在 求出所有满足条件的点P的坐 标 若不存在 说明理由 20102010 北京文数 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线 y t 椭 圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 6 3 c a 且2c 所以 22 3 1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 3 1 t 解得 3 2 t 所以点 P 的坐标是 0 3 2 由 知 圆 P 的方程 222 3 1 xytt 因为点 Q x y在圆 P 上 所以 222 3 1 3 1 yttxtt 设cos 0 t 则 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 3 即 1 2 t 且0 x y取最大值 2 20102010 北京理数北京理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 1 关于原点O对称 所以点B得坐标为 1 1 设点P的坐标为 x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34 1 xyx 故动点P的轨迹方程为 22 34 1 xyx II 解法一 设点P的坐标为 00 xy 点M N得坐标分别为 3 M y 3 N y 则直线AP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 直线BP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是PMNA得面积 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 又直线AB的方程为0 xy 2 2AB 点P到直线AB的距离 00 2 xy d 于是PABA的面积 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时 得 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 00 0 xy 所以 2 0 3 x 2 0 1 x 解得 0 5 3 x 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 解法二 若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 设点P的坐标为 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为sinsinAPBMPN 所以 PAPN PMPB 所以 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 22 00 3 1 xx 解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 2010 四川理数 四川理数 20 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 1 2 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设 P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得 x2 2 3 y 1 y 0 4 分 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 2 3 y 1 联立消去 y 得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为 x1 x2 1 所以直线 AB 的方程为 y 1 1 1 y x x 1 因此 M 点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 当直线 BC 与 x 轴垂直时 起方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 2 333 222 FM FN A 0 综上FM FN A 0 即 FM FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 分 20102010 天津文数 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Qy0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且QA QB 4 A 求y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公 式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 3 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 解得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y i 解 由