[理学]电磁学与电动力学上.ppt

1 第二章静电场中的导体和电介质 目录 1 静电场中的导体2 电容电容器3 静电场中的电介质4 有电介质存在的静电场的基本定理5 边值关系和唯一性定理6 电像法 2 由于电场与物质之间相互影响 相互制约 故只能根据静电场遵守的普遍规律去研究电场与电荷之间关系 并联系物质本身的电性质 来同时确定物质上的电荷分布与电场的空间分布 静电场中的导体 一 静电感应和静电平衡 按照电荷在物质中移动的难易程度 电阻率的大小 将物质分为导体 绝缘体 半导体 超导体四大类 3 静电平衡条件是由导体的电结构特征和静电平衡的要求决定的 与导体的形状 大小无关 由于导体表面必为等势面 所以有导体时 导体外的场强分布必受导体表面形状的控制和调整 静电透镜就是根据这种基本原理设计的 4 静电透镜电场等势面分布示意图 5 二 导体上电荷的分布规律 导体所带电荷只能分布在导体表面 导体内部 包括内表面 净电荷处处为零 处于静电平衡状态的导体 其电荷分布有以下特点 由高斯定理 而静电平衡条件 6 导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外紧相邻的电场强度大小成正比 即 由导体静电平衡条件 表面附近场强垂直于表面 故得 7 孤立导体的面电荷密度与其表面的曲率有关 曲率越大面电荷密度越大 说明 设细导线连接两球体 整体可看成孤立体 且两球保持等势体 细导线很长 忽略两球之间的静电感应 两球可近似看成孤立导体 A球 B球 8 导体尖端能产生强电场这一现象 在现代科学技术中有相当广泛的应用 利用该原理制造的场致发射显微镜其放大率可高达200万倍 是分析金属微观结构的有效设备 注意 导体表面电荷的面密度不仅与该处的曲率半径有关 还与周围的带电体有关 关系复杂 9 场致发射显微镜 范德格拉夫静电加速器 10 三 导体空腔和静电屏蔽 静电平衡时导体空腔电荷分布特点 反证 设内表面上有等量异号电荷 画一根电力线 电力线首尾处电势不等 和导体等势相矛盾 内表面不可能有电荷 在导体腔内 外表面之间作一高斯面 由高斯定理得内表面上 11 2 导体空腔有带电体的情况 腔内有其它带电体时 导体空腔的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零 空腔内各点的场强分布由空腔内电荷及空腔内表面电荷的分布唯一地确定 可见 S面内总电量为零 而空腔内有带电体q 故内表面必定带电 q 2 由于静电平衡时 导体内场强处处为零 电场线不能穿越 因此 导体空腔将空间 分割 成了两部分 腔内场强分布由腔内带电体及内表面电荷的分布唯一地确定 不受外部场强的影响 起着静电屏蔽的作用 12 若将空腔导体接地 使外表面不再带电 外部便无电场 从而可保护腔外空间不受腔内带电体的影响 总之 接地的导体空腔可以有效地消除内 外电荷产生的电场的相互影响 实现静电屏蔽 金属壳是极好的导体空腔 讨论 导体空腔虽然能使它包围的空间不受外部电荷产生的电场的影响 但无法阻止空腔内部电荷对外部电场的影响 13 例题2 1 1 无限大带电平面场中平行放置一无限大金属平板 求 金属板两面电荷面密度 联立 1 和 2 可得 14 例题2 1 2导体球A 带电q 与导体球壳B 带电Q 同心放置 求 1 各表面电荷分布 2 A的电势UA B的电势UB 3 将B接地 各表面电荷分布 4 将B的地线拆掉 再将A接地 此时各表面电荷分布 由电荷守恒 15 方法二 电势叠加法 导体组可看成三层均匀带电球面 方法一 场强积分 2 A的电势UA 16 方法一 场强积分 B的电势UB 方法二 电势叠加法 17 根据电势叠加 得 3 将B接地 A分布q B内表面分布 q 外表面为零 4 将B地线拆掉后 将A接地 此时A上电荷为q B内表面 q 外表面为 q q 18 例题2 1 3一个金属球内有两个球形空腔 两空腔中心相距为a 它们的联线通过球心 在两腔中心各有一个点电荷 电量分别为 球外有一电荷量为q的点电荷 处在到的延长线上 到的距离为b 已知金属球上所有电荷量的代数和为零 试求金属球上的电荷作用在的力 19 解 金属球上的电荷包括金属球外表面上的电荷和两腔内表面上的电荷 根据对称性和高斯定理 两腔内表面上的电荷量分别为和 它们都均匀分布在各自内腔表面上 故作用在上的力为 由于是均匀分布在球面上 故它作用在的力为零 即 式中是从指向的单位矢量 20 是所引起的感应电荷 和在导体内产生的场强互相抵消 处处为零 故作用在上的力便等于作用在上的力的负值 即 于是得出 金属球上的电荷作用在上的力为 21 电容电容器 定义电容 当R确定时 例 用孤立导体球要得到1F的电容 球半径为大 单位 1F 法拉 1C V 22 二 导体组的电容 由静电屏蔽知道 导体壳内部的场只由腔内电量Q和几何尺寸及介质决定 由靠近的两金属板所组成的系统就是一种电容器 其比值则定义为它的电容 实际应用中 要设计一种导体组合 使其具备以下两点特点 这类导体系统称为电容器 电容大 体积小 导体组合的电容不受其它物体的影响 23 三 几种典型的电容器及电容 1 平行板电容器 板间场强 24 25 结论 电容器大小只决定于电容器极板的形状 大小 相对位置以及板间电介质的性质 而与电容器所带电量和两板间电压无关 计算电容的一般步骤 设电容器两个极板带有等量异号电荷 求出极板间的电场强度分布 计算两板间的电势差 由电容器电容的定义式求电容 例题2 2 1 半径都是a的两根平行长直导线相距为d d a 求单位长度的电容 实际上任何导体之间都存在电容 如导线之间 人体与仪器之间等 称为分布电荷 26 解 设两导线单位长度带电 则二导线垂直截面联线上p点场强为 两导线的电势差为 27 五 电容器的连接 2 电容器的连接方式 1 电容器主要性能参数 28 例题2 2 2五个电容联接如图 己知 试求A B间电容 解 把原图变换成右图 就可看出 因故为对称的桥路电容 若在A B两点间加上电压 则E D两点间的电势相等 因此可以去掉 即让 而不影响的值 便得 29 或者 把短路 即让 也不影响的值 这样便得 两种方法结论相同 30 静电场中的电介质 1 电介质与导体的区别 一 电介质及其极化 31 2 电介质的极化 32 几种有极分子的固有电矩 3 电介质的极化方式 33 分子有固有电矩 无外电场 由于热运动而杂乱无章 按外电场方向排列 有外电场 无外电场 34 有外电场时 正负电荷中心产生相对位移 按外电场方向排列称位移极化 极化电荷只能在分子范围内移动 故称束缚电荷 因此 两类电介质极化的机制不同 但极化的宏观效果都是使电介质表面出现束缚电荷 二 电极化强度矢量 35 2 电极化强度矢量与束缚电荷之间关系 束缚面电荷密度 以q表示每个分子的正电荷量 n表示单位体积内分子数 则由于电极化而移出dS面的总电荷为 36 讨论 如图 当为锐角时 电介质表面将出现一层正极化电荷 当为钝角时 电介质表面将出现一层负极化电荷 37 在电介质内部取一任意闭合曲面S 则通过整个闭合曲面S向外移动极化电荷总量应为 38 实验表明 各向同性电介质的极化规律是 e 电极化率 相对介电常数 3 电介质的极化规律 39 例题2 3 1半径R的介质球被均匀极化 极化强度为求 1 介质球表面电荷的分布 2 极化电荷在球心处的场强 40 2 在球面上取环带 则 在球心处的场 沿x轴方向 41 例题2 3 2 平行板电容器原场强为 在平行板电容器中充满极化率为的电介质 求 电介质中的场强及极化电荷面密度 又 42 有电介质存在的静电场的基本定理 一 有电介质时的高斯定理 引入电位移矢量 高斯定理 通过任意闭合曲面的电位移通量等于此闭合曲面所包围的自由电荷的代数和 有电介质时的高斯定理为 43 高斯定理在有电介质存在时仍成立 但高斯面内所包含的应是自由电荷和极化电荷 即 公式推导 定义电位移矢量 又 将前式乘以 与后式相加 即得 44 则得到有介质时的高斯定理 对于各向同性的电介质 45 故对各向同性电介质 其电场强度计算 先用 1 2 再用 计算D 求E 对有电介质静电场的高斯定理的微分形式 利用数学上的高斯定理 由于对任何空间体积上述积分都成立 故有 46 二 有介质电场的环路定理 自由电荷产生的外电场及极化电荷产生的退极化场都是保守场 均满足环路定理 即 利用数学上的斯托克斯定理 有 环路定理的微分形式 47 例题2 4 1金属球半径R 带电q 放入相对介电系数 r的油中求 1 球外电场分布 2 紧贴金属球的油面上q 是真空中电场的1 r倍 2 紧贴金属球面处 指向球心 与相反 48 例题2 4 2 同轴电缆R1 R2 其间充满电介质 r1 r2 分界的半径为R 求 单位长度电缆的电容 在介质中做底面半径为r长为l的圆柱面 则 49 利用电容器电容的计算公式 得 50 例题2 4 3平行金属板 带电 0及 板间U0 300V 若保持板上电荷不变 板间一半空间充介质 r 5 求 1 板间电压 2 电介质上 下表面束缚电荷面密度 3 电容 4 若改为如图二所示的情况 又如何 则 充介质后电荷重新分布 设左半部E1 D1 1 右半部E2 D2 2 左半部取高斯面如图 图一 51 则 同理 右半部 该高斯面包围的自由电荷为 故 52 左右两部分电势相等 因为金属板总电量保持不变 故 53 2 电介质上 下表面束缚电荷面密度 54 C1 C2并联 3 电容 55 4 若保持电荷不变 充介质如图 则 56 C1 C2串联 57 注 填充介质后 在电介质表面有 思考 若平板电容器两板极接在固定电源上 上述情况将如变化 58 五 边值关系和唯一性定理 介质分界面两侧的电场场强切向分量连续 当时 由环路定理知 电场强度穿过两种介质的交界面时 会发生突变 界面两侧电场满足的关系称为边值关系 59 介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续 故有 证 在介质分界面处 跨越分界面作一极小的圆柱闭合曲面S 其底为 高为 当时 由高斯定理知 故有 60 介质分界面两侧的电势连续 当介质分界面上没有自由电荷时 有 证 在介质分界面两侧取距界面为的1 2两点 两点的电势分别为 当时 两点的电势差即为 注意 由上面边值关系可以看出 由于通过分界面的E通量只和场强的法向分量有关 而和与界面平行的切向分量无关 因此电场线在介质的分界面上是不连续的 而电位移线在介质的分界面上则是连续的 61 电位移线在介质的分界面虽是连续的 但它的方向在越过界面后却要发生偏折 由上面两式 可得 由图知 代入得 电位移线折射定律 唯一性定理 静电平衡条件和边值条件可以把存在于空间的电场分布唯一地确定下来 62 平行板电容器中正插入电介质时的D线和E线 D线 E线 63 应用举例 介质界面与电场线重合的情况 如图所示 根据唯一性定理和边值关系 介质界面与电场线平行时 电场在分界面法线方向的分量 而 故介质分界面上及均匀介质内都不可能有极化电荷 极化电荷只能分布在介质与带电导体表面相邻的介质面上 平板电容器 球形电容器 64 由于导体表面必须是等势面 因而要求导体表面自由电荷分布随相邻介质上极化电荷的分布进行调整 使调整后表面处总面电荷密度 其比例常数由高斯定理确定 若无电介质时电场具有对称性 则也有对称性 选对称面作为高斯面S 则不必引出比例常数 可直接由高斯定理 65 对于球形电容器 由于球对称性 与的方向均为沿半径的向外辐射线 由高斯定理得 故 或 66 六 电像法 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷 从上半空间看 平面导体好像一面 镜子 点电荷 q在其中成了一个 虚像 q 这样的解法叫做电像法 67 若问题仅涉及单个或多个点电荷 而介质界面或导体表面具有较好的对称性 则其静电场可用电像法求解 电像法的关键是在考察区外部设定一个或多个虚拟电荷 称为像电荷 使它 们 与给定的点电荷 又称源电荷 在考察区内共同产生的电场满足介质界面的边值关系或导体表面电势等于给定电势的条件 所虚设的像电荷 实际上代表了考察区边界上的面电荷 极化电荷或感应电荷 对电场的贡献 例题2 6 3一个电量为的点电荷 与一个半无穷大接地导体表面的距离为d 求点电荷所在空间的电场分布 导体表面上的面电荷分布和点电荷所受的力 68 解如图所示 取直角坐标 导体表面位于y z平面 其电势为零 设想将一个像电荷置于与成镜面对称的位置 d 0 0 则在考察团区内 有 69 可验证 该解满足条件 它就是待求的解 导体表面的面电荷密度为 它由源电荷的感应所产生 其分布相对0 x轴对称 在0点密度绝对值最大 70 该力为负 所受的力垂直指向导体表面 为求作用在的力 需计算在处的电场 实际上就是像电荷在 d 0 0