2018年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 含答案_第1页
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文档简介

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷第卷（共64分）一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数，在复平面上对应的三点共线，且，则 2.设是正整数，且满足，则 3.函数的最小正周期= 4.设点，分别在函数和的图象上，则的最小值= 5.从中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率= 6.在边长为的正方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值= 7.设是的垂心，且，则 8.把按照顺时针螺旋方式排成行列的表格，第一行是.例如：.设在的第行第列，则 第卷（共86分）二、解答题 （本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. 如图所示，设是矩形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，点，关于线段的垂直平分线对称.求证：.10. 设是坐标原点，双曲线上动点处的切线交的两条渐近线于，两点.（1）求证：的面积是定值；（2）求的外心的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数，都有.（2）是否存在实数，使得对于任意实数，下式恒成立？试证明你的结论.12. 在正边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.试卷答案一、填空题1.或2.3. .8.二、解答题9.解：由，分别是，的中点，得.设是关于的对称点，则，故四边形是等腰梯形.进而，从而.再由，得.因此.10.解：（1）处的切线方程.与渐近线方程联立，得，.从而，是定值.（2）由（1）可设，为非零常数.由，得.从而有，.上述两式相乘，得的轨迹方程为.11.解：（1）由均值不等式，.故.（2）上式恒成立当且仅当且.化简得且.显然，满足要求.12.设是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，是以第个顶点为端点的红色线段数目，则有，
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