研究生数学建模大赛论文初稿-面向节能的单_多列车优化决策问题

参赛密码 （由组委会填写）全第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学 校 杭州电子科技大学参赛队号 K0185队员姓名1. 苏 阳2. 李露露3. 汪大卫参赛密码 （由组委会填写） 第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题 目 面向节能的单/多列车优化决策问题摘 要：关键词：目录一 问题重述在低碳环保，节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。列车在站间运行时会根据线路条件、自身列车特性、前方线路状况计算出一个限制速度，而列车运行过程中不允许超过此限制速度。列车的动力学模型可采用单质点模型的简化方法进行分析。列车在站间运行时存在多条速度距离曲线供选择，不同速度曲线对应不同的站间运行时间和能耗。应用再生能量利用原理，列车制动时产生的能量可供相邻加速状态下的列车利用，从而减少变电站获得的能量，达到节能的目的。请研究以下问题：一、单列车节能运行优化控制问题(1)请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从站出发到达站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。(2)请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从站出发到达站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在车站停站45秒，站和站间总运行时间规定为220秒(不包括停站时间)，列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。二、多列车节能运行优化控制问题(1)当100列列车以间隔从站出发，追踪运行，依次经过，到达站，中间在各个车站停站最少秒，最多秒。间隔H各分量的变化范围是秒至秒。请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为秒，且从站到站的总运行时间不变，均为(包括停站时间)。假设所有列车处于同一供电区段，各个车站间详细线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。(2)接上问，如果高峰时间(早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200秒至50400秒)发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。请重新为他们制定运行图和相应的速度距离曲线。三、列车延误后运行优化问题接上问，若列车i在车站耽误(10秒)发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快回复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。假设为随机变量，普通延误概率为，严重延误概率为(超过，接近下一班，不考虑调整)，无延误概率为。若允许列车在各站到，发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整？二 模型假设及符号说明（全文所需）1. 假设列车参数中的列车质量为空车质量，乘客质量忽略不计。2. 将实际列车运行能耗近似为只考虑牵引能耗，不考虑辅助能耗(如本列车空调的耗能较小，通常忽略不计)3. 列车运行过程中受力状态复杂，可采用单质点模型简化其动力学模型。(单质点模型将列车整体视为单个无尺寸的刚性质点，在力学计算上忽略了车辆内部之间的纵向力。)4. 假设列车重力在轨道垂直方向上的分力与受到轨道的抵力，水平方向分力忽略不计。5. 假设列车模型为连续控制模型。6. 对于问题一，假定列车仅为机械制动，不具备再生制动的特性；7. 假定车站间距离较短，一般采用“牵引-惰行-制动”的策略运行。8. 对于问题二，研究线路的所有列车具有相同的站间运行时分和停站时分；9. 只考虑相邻两辆列车间的再生制动能利用情况，又引文列车追踪间隔较小，忽略再生制动能反馈至电网后的传输损耗；10. 只有再同一线路的相同运行方向上，且位于同一供电区段内内的相邻列车间的再生制动能可被吸收再利用；11. 站间运行时列车的加速时间和制动时间是已知的参数。符号表示意义说明单位列车速度M列车重量重力加速度常数G列车重力实际输出的牵引加速度与最大加速的百分比牵引力最大值F列车牵引力A、B、C阻力多项式系数单位基本阻力单位坡道阻力系数单位曲线阻力系数附加阻力W列车运行总阻力实际输出的制动加速度与最大加速的百分比制动力最大值列车制动力T列车站间运行时间E列车能耗制动过程中列车机械能的变化量制动过程中为克服基本阻力和附加阻力所做功产生的再生能量列车制动的时间与列车加速时间的重叠时间列车的制动时间被利用的再生能量三、问题一的解答3.1模型的假设及符号说明(1) 本问研究仅针对单列车开展，暂不考虑旅客舒适性对高速列车操纵策略的制约；(2) 不考虑列车起停对列车能耗的影响；(3) 不考虑铁路信号系统对列车操纵策略的影响；(4) 不考虑牵引网网压波动对列车性能的影响。(5) 为简化分析，假设高速列车传动系统能量利用率恒定为1(6) 假设高速列车再生制动效率为1，则可定义为制动利用率。符号表示意义说明单位高速列车的运行速度高速列车的运行距离线路对高速列车运行速度的限定值在距离为s时线路对高速列车运行速度的限定值t高速列车的运行时间M高速列车的总质量kg高速列车牵引手柄的级位信息，例如牵引手柄分10级，为2级牵引。高速列车制动手柄的级位信息，例如制动手柄分5级，为1级牵引。速度为时高速列车能发挥的最大牵引力N速度为时高速列车能发挥的最大制动力N速度为时高速列车的滚动运行阻力，其计算方法参见参考文献11N距离为s处高速列车的线路附加阻力，其计算方法参见参考文献11N速度为距离为s处高速列车的总阻力N高速列车传动系统能量利用率高速列车制动时再生制动力与总制动力的比值3.2模型的分析列车运行过程可分为牵引过程、制动过程和中间过程，典型的列车运行过程如图2.6所示。列车运行过程计算主要研究列车运行纵向力、速度和位移之间的关系，并建立相应的数学模型，列车运行过程的计算方法为下节列车运行优化问题的数学建模提供动力学基础。列车运行过程示意图上图中，牵引过程为，区段，制动过程为，区段，中间过程为，区段。（一）牵引加速过程计算列车在牵引加速过程所受的合力由牵引力和运行阻力组成，一般在如下三种情况，列车会采用牵引加速过程：(1) 起动过程(2) 从较低限速区段过渡到较高限速区段的加速过程(3) 为了克服非增速坡道上的运行阻力列车牵引加速过程如图2.7所示，当列车加速到某一限速但还未到该限速段的终点时，可以勾速运行直至终点（段）；若下一区段的限速有所提高，则在该段末（点）继续牵引加速至下一限速（段）。列车牵引加速过程示意图在列车起动过程和中间牵引过程中，列车所受合力、运行速度以及位移的计算方法有一定差别，具体分析如下。（1）起动过程列车在起动过程受到了牵引力和起动阻力，单位合力计算如式(2.18）所示，列车运行加速度的计算如式（2.20）； （2.18） （2.19） （2.20）（2）中间牵引过程列车在中间牵引过程所受外力由牵引力和基本运行阻力组成，基于上一节对列车运行纵向力计算方法的讨论，可得出列车合力计算如式（2.21），列车运行加速度计算如式（2.20）； （2.21）列车在牵引过程中的速度与距离计算方法如式（2.22），其中和分别是第和第步长的列车运行距离，和分别是第和第步长的列车速度，是时间步长。 （2.22）（二）制动过程计算列车制动过程如图2.8所示，合力由制动力和运行阻力组成。当列车运行至速度时，接到制动指令后即可实施制动过程，经过段之后速度降至，之后若再次接收到制动指令，则继续制动过程，直至满足列车运行限速要求，否则保持速度匀速运行（）。图2.8列车制动过程的曲线示意图列车制动过程旳受力模型如式（2.23），运行加速度计算如式（2.20）,运行速度和位置的递推计算方法如式（2.24）所示； （2.23） （2.24）（三）中间过程计算列车运行的中间过程如图2.9所示，列车运行速度维持在限速的上界和下界之间波动，该过程可以选择牵引工况、惰行工况和巡航工况。图2.9列车中间过程的曲线示意图列车在中间过程运行，若采取不同的运行工况，则计算方法也相应不同。列车在牵引和制动工况下的计算方法与牵引、制动过程的计算方法相同，巡航工况下的计算方法如式（2.25），惰行工况下的计算方法如式（2.26）。 （2.25） （2.26）2.3.1列车运行工况及转换列车运行工况包括了牵引、巡航、惰行和制动工况，不同工况有相应的适用条件，具体分析如下。（1）牵引工况：适用于列车起动、由低速过渡到高速的加速过程、以及非增速坡道的运行过程，列车所受主要外力为牵引力、基本运行阻力和加算附加阻力。（2）制动工况：包括空气制动和动力制动两种，动力制动又有再生制动、液力制动和电阻制动三种制动方式82，适用于列车进站、由高速过渡到低速的减速过程，列车所受主要外力为制动力、基本运行阻力及加算附加阻力。（3）惰行工况：适用于牵引和制动工况之间的过渡过程，用于确保列车平稳运行和降低能耗，列车所受外力只有加算附加阻力。（4）巡航工况：适用于列车匀速运行过程，此时列车所受合力为零。当列车运行条件发生变化时，工况也需要相应的进行转换，工况转换需要遵循一定的原则，具体如表2.1所示，其中代表不需要转换，表示两工况之间可以转换，代表两工况之间不可以进行转换。表2.1 列车运行工况转换原则表当前工况转换工况牵引惰行巡航制动牵引惰行巡航制动列车转换工况时只考虑表2.1中的原则是不足够的，还需要根据具体情况，在上述工况转换原则的基础上进行适当的调整，根据长期积累的列车运行经验，列车运行工况转换时还需要注意以下三个方面：（1）在列车运行工况转换时，必须保证前一工况运行一段时间；同时，工况转换频率不宜过快，确保乘客的乘坐舒适度；列车在进入下坡区段之前要提前转换为惰行工况，巧妙利用重力势能保持列车速度，从而降低列车运行能耗；列车运行工况转换期间，需要尽量保持平稳运行，用以保证行车安全。（2）当列车运行工况允许转换时，要尽量避免转换为速度变化较小的工况；当下一工况的速度变化较小时，在满足限制的前提下，尽量保持当前的运行工况。（3）当列车下一运行区间出现临时限速时，鉴于工况转换后需保持运行一段时间的原则，列车运行速度可能会偏低，所以在进入临时限速区间前，需要适当调整列车运行速度，避免发生上述列车运行速度偏低的问题。综上所述，列车在进行工况转换时，不能只遵循工况转换原则或者仅依照积累经验，最合理的方式是根据具体情况，综合考虑工况转换原则和列车运行经验，做出符合列车当下运行状况的工况转换决策。2.3.2 列车运行策略根据列车运行过程对能耗和时间的具体要求，列车运行策略有三种81：最快速度运行策略，最小能耗运行策略，综合优化运行策略，具体如图2.10所示。图2.10列车运行策略示意图（一）最快速度运行策略最快速度运行策略是列车在运行全程中最大程度发挥牵引和制动能力，确保列车以最短时间完成整个运行过程。因此，列车最快速度运行策略为：列车在牵引过程采用最大牵引力，制动过程采用最大制动力，中间过程速度达到最大限速（图2.10中后），保持最大限速巡航运行（图2.10中曲线）。（二）最小能耗运行策略最小能耗运行策略是列车基于节能原则的运行方式，大量研究表明，列车能耗最小的运行原则为：加速过程釆用最大牵引力加速，中间运行过程保持巡航运行和尽可能惰行，进站过程釆用最大制动力。另外，在运行时间充裕的情况下，列车运行速度越低、波动越小，能耗越低。因此，列车最小能耗运行策略可描述为：在规定时间内，以最大牵引力加速至经济速度（如图2.10中，列车以经济速度运行，单位时间的能耗最小，然后以此速度巡航运行至惰行转换点，在时间不足时，列车惰行至制动点，然后采用最大制动力制动，在时间充裕时，可采用惰行至终点（如图2.10中曲线）。（三）综合优化运行策略综合优化运行策略是在结合上述两种策略的基础上，综合考虑列车运行能耗和速度的优化策略。列车在实际运行中只采取节时或节能运行策略是不现实的，需要采用一种考虑多种因素的综合优化运行策略。列车在运行过程中，一方面，可以通过调节牵引加速度和制动减速度，改变列车运行时间；另一方面，列车在运行至经济速度后，应尽量保持以该速度巡航运行和惰行，以降低能耗（如图2.10中）。考虑到论文对列车运行过程展开多目标优化研究，因而选择列车综合优化运行策略，在此基础上，研究列车运行过程，为建立列车运行优化模型和设计列车运行优化算法奠定基础。2.4小结本章在系统研究列车运行多质点模型的基础上，研究了列车运行过程的计算方法，分析了列车运行策略对列车运行过程的影响，总结了列车运行策略的选择方法和运行工况转换的原则，为列车运行优化问题的建模和列车多目标优化算法的设计奠定了动力。3.3模型的建立图3.1是列车运行过程的示意图，在列车运行图规定的时问内，列车由A站驶向B站，运行期问必须遵守各种限速要求，其中包括了列车运行限速、线路限速、道贫限速、信号限速、调度命令发布的临时限速等。列车运行优化是以列车运动方程和速度限制为约束条件，列车能耗、时间和停车精度等评价措标为优化目标，通过采用适当的方法，确定使得各优化目标综合最优的列车运行策略的过程，即求解列车运行最优工况序列。列车运行优化问题的约束条件为列车质点运动方程，如式（3.1）和（3.2）所示。 （3.1） （3.2）列车牵引/制动系数的可用来控制牵引制动力的大小，取值范围分别是和。其中，代表列车处于最大牵引状态，代表列车处于最大制动状态，两者取值在区间内部时，列车处于部分牵引和部分制动状态，具体如表3.1所示。表3.1列车牵引/制动系数取值范围牵引/制动系数列车牵引/制动系数取值最大牵引部分牵引惰行巡航部分制动最大制动10000000-1列车运行优化目标设定为能耗、时间和停车精度，其数学模型分别记作、和，具体建模分析过程在第3.2节展开。综上所述，列车运行优化问题的模型建立如式(3.3)所示。 （3.3）列车运行优化问题模型的约束条件除了式（3.1）和（3.2）以外，还包括一些其他的限制条件，具体分析如下：（1） 速度约束（2） 牵引/制动约束：,同一时间不可同时采用牵引和制动过程；（3） 工况转换约束：列车运行工况转换需满足一定原则，详见2.3.2节；列车运行优化问题最优解的基本形式为最优运行工况序列，记作，其中表示列车运行工况，为各工况的转换点。3.2列车运行优化目标模型在研究列车运行优化问题的过程中，首先确立能、时间和停车精度的优化目标，继而对上述各优化目标进行数学建模。3.2.1列车运行能耗模型列车运行能耗体现在四个方面：列车起动加速过程，列车制动减速过程，克服列车运行阻力做功和列车自身设备的辅助能耗。其中，前三部分占主要部分，用于列车运行牵引和制动过程，第四部分的列车设备辅助能耗，主要用于空调、照明等供电，这部分能耗基本保持不变。列车运行能耗的建模思路：根据列车运行线路的限速条件，将运行全程划分为个子区间，列车运行全程能耗是所有子区间能耗的加算求和。若列车在子区间内运行，其初速度为，目标速度为，制动速度为，末速度为，列车运行能耗为，包括了牵引能耗和辅助能耗，如式（3.4）所示。 （3.4）上式中，列车牵引能耗的计算如式（3.5），包括牵引加速能耗和巡航能耗两部分，牵引加速能耗的计算如式（3.6），主要取决于列车运行初速度和目标速度，巡航过程的能耗计算如式(3.7)，主要取决于运行阻力和巡航距离。 (3.5) (3.6) (3.7)列车运行辅助能耗计算如式（3.8），列车运行总能耗为所有子区间的能耗求和，如式（3.9）。 （3.8） （3.9）综上所述，列车运行能耗的计算方法可具体总结如算法（二）。算法（二） 列车运行能耗计算方法1：for i=1；，i+ do2： 列车运行速度记作3： 计算列车牵引阶段的能耗4： 计算列车巡航阶段的能耗5： 计算列车附加能耗，可由算法三求得6： 计算列车子区间运行总能耗7：end for8：列车在每一个运行子区间的能耗求和，就娃列车运行全程的总能耗，记作3.2.2列车运行时间模型列车运行时间的建模思路与能耗的建模思路相同，即对列车各个运行子区间内的时间进行加算求和，列车在子区间内的运行时间是对该子区间内各个运行工况的持续时间进行加算求和。为了确定列车在子区间内各工况的持续时间，需要将该子区间划分为个区段。已知，列车在子区间的最大限速为，子区间的划分间隔为，则该子区间可划分为的区段数计算如式（3.10），在每一个区段，采用平均速度计算各个决策量。 （3.10）列车在子区间内运行的初速度为，目标速度为，制动速度为，末速度为，A、B、C、D分别代表列车运行速度至，和时所需要的区段数，在区段数的计算过程中采用向上取整的原则，具体如式（3.11）。 （3.11）列车在子区间内的运行时间为，牵引加速、巡航、惰行和制动时间分别为，各运行时间计算如式（3.12）。 （3.12）综上所述，列车运行时间的计算方法可具体总结如算法（三）。算法（三） 列车运行时间计算方法1：for i=1；i+ do2：列车运行速度记作3：计算A,B,C和D，4：计算列车在子区间的牵引时间5：计算列车在子区间的惰行时间6：计算列车在子区间的巡航时间7：计算列车在子区间的制动时间8：计算列车在子区间的运行总时间9：end for10： 列车在每一个子区间内的运行时间求和，就是列车运行全程总时间，记作3.2.3列车停车精度模型3.3列车运行最优工况序列3.3.1列车运行最优工况序列存在性证明列车运行优化问题的研究包括最优运行工况序列的存在性证明和最优运行工况序列的求解两个过程，前者是后者的基础。Howlett最先证明了列车运行最优工况序列的存在性，建立了如式（3.14）的能耗优化模型，在Banach空间里证明了列车运行最优工况序列的存在性83。 （3.14)Howlett证明了基于能耗的列车运行单目标优化最优解的存在性，对于论文所研究的能耗、时间和停车精度的多目标优化问题，应用多目标优化理论也可相应的做出证明。釆用分层排序的方法84，分别进行基于单个目标的列车运行优化过程，若列车运行能耗最小、时间最短和停车精度最高的工况序列依次是,和，列车运行多目标优化的弱有效解为，则这四组最优解的关系如式（3.15）。 （3.15）若是列车运行节能优化的最优解，则其必定也是列车运行多目标优化的弱有效解。由Howlett的证明过程可知83；是非空解集，因此，列车运行多目标优化问题一定存在弱有效解，即必定存在Pareto意义下的列车运行最优工况序列。3.3.2列车运行最优工况序列基本组成列车在无坡道无曲率的平直线路上运行，当运行距离较长时，列车最优运行过程应包括最大牵引，巡航，惰行和最大制动，如图3.2所示。图3.2列车运行最优工况分析当列车进入运行区间，首先采用最大牵引加速至目标速度，然后保持目标速度巡航运行至惰行转换点，经过惰行和制动过程后进站停车。在上述过程中，惰行转换点的选择会影响列车运行的最终结果：若列车在开始惰行，则制动速度为，此时列车运行时间最长，但能耗最小；若列车在开始惰行，则制动速度为此时列车运行时间最短，但能耗最大；若列车在开始惰行，则制动速度为，列车运行时间和能耗都居中。当列车运行于变坡道线路时，上述列车运行最优工况要相应的作出调整，例如牵引（制动）过程是否釆用最大牵引（制动）力，惰行工况的转换点如何选择，是否需要同时保留惰行和巡航运行过程等。本文对列车在平直长线路和变坡道线路上的运行过程进行了仿真研究，并更加细致的探讨了如何根据不同运行情况选择列车运行最优工况序列。3.3.3列车运行最优工况求解方法在证明了列车运行最优工况序列存在性的基础上，研究了列车运行最优工况序列的基本组成，并进一步提出了一种列车运行最优工况序列的求解方法。列车运行最优工况序列的求解思路：根据列车限速将运行区间划分为若干子区间；针对各个子区间，以列车运行多目标优化模型函数值最小为原则，采用智能优化算法求解列车运行最优工况序列；各个运行子区间的最优工况序列的组合即为列车运行全程的最优工况序列。根据上述思路，列车运行最优工况序列求解分为两个过程：列车运行区间划分过程和列车运行子区间最优工况序列的求解过程。（一） 列车运行区间划分列车运行区间的划分是最优工况序列求解的基础，具体分为两个步骤：根据列车运行限速将区间划分为若干子区间；根据子区间的初始速度，末速度，目标速度和制动速度，求解各个工况的运行距离，从而将运行子区间划分为若干工况运行区段，具体分析如下。 列车运行子区间划分假设列车运行于A站和B站之间，区间内设有、，和五个限速，根据列车限速信息，将A站和B站间的运行线路划分为五个运行子区间，如图3.3所示。图3.3 列车运行子区间划分示意图 列车运行工况区段划分对于相邻的列车运行子区间，根据区间限速，和的大小关系，列车在子区间内的运行会存在四种可能情况，如图3.4所示，针对不同的运行情况，列车在内运行时，可以选择的运行工况组合以及基于所选工况组合的列车运行过程描述如表3.2所示。图3.4 列车在子区间内的四种可能运行情况列车运行情况限速条件工况组合列车运行过程简述第一种牵引+巡航/惰行+制动列车牵引速度加速至目标速度；转换为惰行或巡航工况，运行至制动点在的情况下，制动减速至，如图3.4所示第二种牵引+巡航/惰行在的情况下，列车牵引加速至目标速度，继而采用惰行或巡航工况，如图3.4所示第三种巡航/惰行在的情况下，列车仅采用巡航/惰行工况，不采用牵引和制动工况，如图3.4所示第四种巡航/惰行+制动在的情况下，列车巡航/惰行至制动点，转换为制动工况，使速度降至下一个子区间初始速度，如图3.4所示（二）列车运工况序列求解列车在子区间最优工况序列求解，即为确定列车运行速度最优解，通过列车运行过程计算方法求得牵引、惰行、巡航和制动工况距离。在求解列幸运行速度最优解的过程中，各速度需要遵守一定的规则，具体分析如下：1、列车在子区间的目标速度必须小于该区间的限制速度，同时列车初速度和末速度需满足，的规则；2、列车离开子区间的末速度作为进入子区间的初始速度；3、若相邻子区间的限速满足的关系，则对应的目标速度需满足的关系，末速度需要满足的关系；4、若相邻子区间的限速满足的关系，则相应的目标函数需满足的关系，末速度需要满足的关系；5、若列车在子区间内运行时没有牵引加速过程，则列车进入子区间的初始速度要和改子区间的目标速度相等，即； 6、若列车采用制动工况，则列车离开子区间的末速度和制动速度需满足的关系。在满足以上规则的情况下，利用智能优化算法（论文重点研究基于模拟退火的改进差分进化算法）求得列车运行速度的最优解，使得优化目标模型函数值最小，根据列车运行过程的计算方法，可以求得各个工况的运行距离，即可确定列车运行最优工况序列。根据牛顿第二运动定律，描述高速列车牵引计算模型如下算法（二） 列车运行最优工况序列求解方法1：根据列车运行全程限速信息，区间起始位置和，将列车运行全程划为n个子区间；2：for i=1；i+ do3： 根据图3.4所示的四种情况，判断子区间所属的运行情况，标号为ID（注：ID=1,2,3,4）4： while ID=2,do5： ，ID=06： end while7： while ID=3,do8： ,ID=09： end while10： while ID=4, do11： ，ID=012： end while13：列车运行速度记作14：根据算法二、算法三和算法四分别计算列车运行能耗、时间和停车精度模型函数值，通过基于模拟退火的改进差分进化算法优化列车运行过程，确定最优解，使得最小15：列车在子区间的牵引、惰行、巡航和制动距离分别为，记作，各个工况运行距离计算如式（3.12）所示16：end for17：列车各个运行子区间的最优工况序列组合即为列车运行全程的最优工况序列3.4小结本章建立了基于能耗、时间和停车精度的列车运行优化模型，阐明了列车运行优化最优解的本质，即为列车运行最优工况序列，证明了列车运行最优工况序列的存在性，在此基础上，提出了列车运行最优工况序列的求解方法，为列车运行优化算法的深入研究奠定了理论基础。因为高度列车的牵引力和制动力是有限的，必须为有效牵引和制动手柄级位，所以式（1）受下述约束条件限制 （2）高速列车在某段线路区间内运行时，列车时刻表已规定运行起始速度、时间、里程与结束速度、时间、里程，因此本文主要探讨司机如何操纵，使得时间内高速列车从运行至，全程运行速度小于线路限速，且总运行能耗最小。简言之，可建立高速列车最小能耗计算模型如下：高速列车从初态约束 （3）转移到末态约束 （4）且满足 （5）要求能耗计算模型 （6）高速列车节能运行必要条件分析为了分析高速列车节能运行的必要条件，针对式（1）式（6）引入庞特里亚金极值原理，可得到最小能耗模型对应的哈密顿函数H13： （7）式（5）包含状态变量的不等式约束，为解除约束，引入松弛算子P,可得到哈密顿函数（7）对应伴随状态方程和互补松弛方程，如式（8）所示，式中为微分算子。 将H函数中含的子项集合，可得 （9）根据庞特里亚金极值原理，能耗计算模型（6）取极小值的必要条件为H取极小值。根据式（9）可推导出H取极小值得必要条件如下当，式（10）与文献3得到的结论一致。同时，式（10）的5种工况表明：高速列车节能运行时，制动手柄与牵引手柄至少有一个保持为0级位，与列车控制要求相符合。式（10-，）分别对应高速列车的最大牵引、惰行和最大制动3种工况。式（10-，）是高速列车节能运行的奇异点，分别对应部分牵引与部分制动工况，无法确定高速列车的详细运行状态，需要进一步讨论。部分牵引工况：将式（10-）代入式（8-）得 （11）由（10-）可知列车在部分牵引力作用运行时，对微分得 （12）又有，将式（1-）代入式（12）得 （13）将式（13）代入式（11）得 （14）高速列车在部分牵引工况下节能运行时，其运行速度：要么等于线路限速；要么小于，当，由式（8-）可判断为常数，式（14）可简化为 （15）式（15）为常系数方程，求解并去其正根。因此，高速列车在部分牵引工况下节能运行时，其运行速度要么等于线路限速；要么小于，等于，由决定。部分制动工况：将式（10-）代入（8-）可推导出：高速列车在部分制动工况下节能运行时，其运行速度要么等于线路限速，要么小于，等于，由与 共同决定，计算公式如下 （16）由此可以得出高速列车节能运行的必要条件是：在运行过程中仅使用最大牵引、最大制动、惰行和匀速4种操纵策略；当高速列车匀速运行时，其运行速度由式（15）或式（16）决定。3.4模型的求解3.5结果分析与检验四 问题二的解答4.1模型的假设及符号说明为简化问题，本节做如下假设：(1) 研究线路的所有列车具有相同的站间运行时分和停站时分；(2) 只考虑相邻两辆列车间的再生制动能利用情况，又引文列车追踪间隔较小，忽略再生制动能反馈至电网后的传输损耗；(3) 只有再同一线路的相同运行方向上，且位于同一供电区段内的相邻列车间的再生制动能可被吸收再利用；(4) 站间运行时列车的加速时间和制动时间是已知的参数。(5) 假设列车运行在无隧道的平直轨道上，隧道的附加阻力忽略不计。(6) 由于附加阻力与速度无关，所以计算单位合力时，暂不考虑附加阻力。(7) 一般情况下，地铁机车进行制动时会首先采用再生制动方式使机车运行速度降低，此时可产生再生制动能；当速度降低到一定程度后切除再生制动并采用空气制动完成对位标停车，此时机械能转化为热能消散，无再生制动能回馈。符号表示意义说明单位各列车在各车站的出发时刻的集合牵引工况到惰行工况的时刻构成的集合列车在各站的到站时刻的集合惰行工况到制动工况的时刻构成的集合由到站间运行的牵引加速时间由到站间运行的制动时间从再生制动转入机械制动的最小速度制动时的加速度表示车站到车站是否处于同一个牵引降压变电所范围内的0-1变量追踪间隔：在同一个车站的出发时刻之差停站时分：从到达车站的时刻持续到达从车站出发时刻的时间间隔站间运行时间：从车站的出发时刻到同一列车到达车站的到达时刻的时间间隔表示时段中的断面客流曲线下的乘客公里数时段内车辆的期望拥挤度站点与下一站之间的距离线路长度时段中观察到的最大客流(针对所有站点)人次线路全部站点的集合，但不包括末站单量列车的给定运力时段内最小期望发车频率，并假设有个时间段时段内的断面客流大于发车频率的所有站点的集合时段内允许大于线路长度的控制参数。通过可设立一种服务水平列车最大长度停站列车前部到车站出口分区始端的空隙列车进站速度线路最大速度常用初始加速度常用减速度制动安全系数安全间隔系数超速监视器动作时间列车在车站停站时间安全运营裕量制动力增至最大所需时间驾驶员及驾驶系统反应时间4.2模型的分析再生制动能的利用是一个复杂的过程，其中包含电能转化为动能、动能转化为电能、电能传输中的损耗等阶段。反馈的制动电能一部分会馈送到直流牵引网并被该供电区段上的其他机车吸收，一般认为，当某辆列车制动的同时，有其他机车正处于加速阶段时，制动电能的利用率较高。因此，可通过合理确定开行方案中的相邻列车追踪间隔以及停站时分，达到最大化线路运行过程中列车制动时段与加速时段的重合部分，提高制动电能的利用率。城市轨道交通列车的操纵是寻找一系列工况转换点，将列车最大牵引力、惰行和最大制动这三种工况下的区间合理结合，同时满足正点需求。这其中涉及到列车的运行策略分析，列车的运行策略主要有以下三种：节时策略、节能策略和定时策略。节时策略即在确定的列车编组与线路条件下寻求最小列车运行时分的运行策略；节能策略即在列车的运行过程中尽量采用惰行并避免不必要的制动以减少动能损失从而实现节能目的，然而没有给定运行时分的节能策略研究是没有意义的；定时策略是指给定运行时分条件下的节能操纵策略。列车在实际运行过程中，受到列车牵引力、列车运行阻力（包括基本阻力、附加阻力和起动阻力）、列车制动力的共同作用。一般而言，首先根据线路限速选择合适的目标速度，列车在最大牵引力作用下加速运行，随后缓慢加速，当速度上升至目标速度后切换为匀速运行，限速下降时则通过惰行和最大制动降低列车运行速度。受力情况决定了列车运行的状态及能耗状况，因此有必要分工况进行受力分析。再生制动能产生于列车的再生制动阶段，将机械能转化为电能反馈至直流牵引供电网，若同一供电区间内有其他车辆运行，则再生制动产生的电能可被其他车辆吸收利用。若没有其他车辆在运行或产生的电能超出了变电所的所有负载之和，则再生制动能将转化为热能消散。本节研究高峰时期的再生制动能利用情况，此时的列车追踪间隔较小，前后追踪列车的制动时段与加速时段重叠的可能性相对较高，因而可对再生制动能进行较为充分的利用。4.3模型的建立城市轨道交通系统在高峰时期的运行具有发车频率较高、同一线路上列车追踪间隔较短、停站间距较小、起停频繁等特点，具备再生制动能的利用条件。本节在城市轨道交通系统的运行特点分析的基础上，设定列车的追踪间隔、停站时分约束，以重叠时间最大化作为目标函数，构建考虑再生制动能利用的时刻表优化模型。如图4-3-2所示，当两辆列车在同一线路上运行时共存在两种情形的再生制动能量利用：第辆列车抵达站处于制动过程的同时第辆列车驶离站处于牵引过程；第辆列车驶离站处于牵引过程的同时第辆列车抵达站处于制动过程。而制动过程中，当列车运行速度低于后再无再生制动能的反馈。图 4-3-2 （1）目标函数本节以同一牵引供电所内相邻列车运行中的牵引制动重叠时间最大化为目标函数，重叠时间是指相邻列车之间的牵引过程与制动过程的时间重叠。首先，分析两辆相邻列车在站的前后运行时段的2个重叠时段中的重叠时间表述。以重叠时间段(1)为例分析，按两辆相邻列车的运行时分和停站时分在时间轴上的前后顺序，共有4种可能性，如图4-3-3所示。(a) 情景1 (b) 情景2(c) 情景3(d) 情景4从图4-3-3可以看出，按第辆列车与其后一辆即第辆列车在两个相邻运行区段即与站之间的运行时段和与站之间的运行区段中，牵引时段和再生制动时段是否存在重叠，共分为四个情景：情景1：第辆列车尚未抵达站开始制动过程时，第辆列车驶离站的牵引过程已结束，此情景下无再生制动能利用的重叠时段；情景2：第辆列车抵达站处于制动过程的同时第辆列车驶离站处于牵引过程，同时，第辆列车驶离站的牵引开始时刻要早于第辆列车抵达站开始再生制动的时刻。此情景下存在再生制动能利用的重叠时段；情景3：第辆列车抵达站处于制动过程的同时第辆列车驶离站处于牵引过程，同时，第辆列车抵达站开始再生制动的时刻要早于第辆列车驶离站的牵引开始时刻。此情景下存在再生制动能利用的重叠时段；情景4：第辆列车驶离站的牵引过程结束时，第辆列车抵达站的再生制动过程已结束。此情景下无再生制动能利用的重叠时段。因此归纳(1)时段内的重叠时间如式（4-4）所示同理可得，(2)时段内的重叠时间如式（4-5）所示。由式（4-4）和式（4-5）可得线路上所有列车在所有车站的重叠时间如式（4-6）所示：而根据列车运行的相关定义，有表达式如下所示：因此，目标函数可写做：式中，和定义如式（4-12）和式（4-13）所示。（2）约束条件城市轨道交通系统在运行中，其最小追踪间隔、停站时分、站间运行时分均应满足一定约束，以保证正常运行。为简化求解，设定模型为整数规划，即变量均为整数。 追踪间隔约束间隔时间是指车站从发出一列车开始到下一列车进入之间的最小间隔时间。它是城市轨道交通系统能力限制的主要环节，设计到多方面的因素。目前公交运营企业建立发车间隔的基础是已有的拥挤时段的服务标准和法定发车间隔。此标准规定了两个要求：提供适宜的服务水平以满足乘客的需要；设置发车间隔的上限，以确定保证服务水平的最小发车频率。第一个要求针对客流量大的线路/时段，第二个要求作用于客流量小的线路/时段。公交发车频率应为发车间隔的倒数，为求得同时满足社会效益最大化、预算总额、车队规模和车辆保有量的限制条件发车间隔，可先求合理的发车频率128。由于城市轨道交通系统与公交系统存在客观差异，其最小发车间隔的制定除满足服务水平的需求外，还需考虑行车安全因素。城市轨道交通安全是指不发生行车、客运、人身伤亡，火灾爆炸，设备设施故障等事故。城市轨道交通系统的产品是实现乘客的位移和运输服务，在运输过程中必须保证运输对象安全无损。在实际运营中，主要包括列车的运行状况，如正点率统计、兑现率指标。系统作为封闭系统，处于安全方面的考虑，信号闭塞对列车追踪间隔有最低要求。目前城市轨道交通闭塞方式主要有固定闭塞、准移动闭塞、移动闭塞等三种方式。在给定的固定闭塞长度和准移动闭塞轨道电路单元长度条件下，在相同发车间隔情况下最小追踪列车间隔时间为：固定闭塞最大、准移动闭塞次之、移动闭塞最小73。结合城市轨道交通系统的安全行车需求，在选取最优的列车发车间隔时，将该条线路的最小追踪列车间隔作为硬性约束。为实现列车时刻表的优化，建立优化模型之前需对相关影响因素及边界条件进行界定。考虑车站对列车的制约，实际运营中最小列车追踪间隔应包括以下部分：车站列车出清站台区段的时间；安全间隔距离；一列列车的长度；停站时间；安全运营裕量。因此，最小列车追踪间隔也即最小车站间隔时间如式（4-15）所示。因此，综合考虑车内拥挤度、候车时间等服务水平指标以及运行成本、车队规模和车辆保有量、安全运行等限制条件，城市轨道交通系统的最小追踪间隔应满足的约束如式（4-16）所示。约束条件（4-14）通过限制客流量大于期望拥挤度的线路占总线路长度的比例来保证合适的服务水平，当取值较高，表示容许超载路段占总线路比例较高，因此，车厢较为拥挤，服务水平相对较低；而取值较低，则表示在较少的路段会出现超载现象，乘客较为舒适，服务水平相对较高。而系统的运营成本主要通过日发车对数，即法定发车间隔的倒数的取值反映出来：当最小发车频率取值相对较大时，法定发车间隔较小，日发车数较多，因此系统运营成本相对较高；相反，当最小发车频率取值相对较小时，法定发车间隔较大，则日发车数少，系统运营成本较低。此模型通过运营成本及服务水平的两方博弈确定合理的城市轨道交通发车频率。 停站时分约束条件在实际运营中，每个站点的停站时分具有一定的弹性，本文选用5s和10s作为两种情景的上下限。 总运行时长约束条件一般而言，列车运行的计划运行时分往往大于最小运行时分，两者之差为列车运行恢复时间，设置运行恢复时间的目的主要为保证列车运行的可靠性33。因此，假设总运行时长具有一定的弹性，在本章中以5%、10%作为两种情景的上下限。综上，有优化模型如下：4.4模型的求解4.4.1求解算法遗传算法是模仿自然界生物进化机制发展起来的随机全局搜索和优化方法，其本质是一种髙效、并行、全局搜索的方法，它能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应控制搜索过程以求得最优解129-131。由于遗传算法具有强大的全局搜索能力，较强的鲁棒性和计算效率高的特点，本节将采用遗传算法求解上述模型。遗传算法操作使用适者生存的原则，在潜在的解决方案种群中逐次产生一个近似最优解的方案，在遗传算法的每一代中，根据个体在问题域中的适应度值和从自然遗传学中借鉴来的再造方法进行个体选择，产生一个新的近似解，直到满足收敛准则。为简化问题，采用二进制编码方法求解，一个解集由一个染色体表示，其中基因为采用二进制编码方法表示的第个判定变量。算法基本流程如下：（1）初始种群生成：在初始化中随机生成满足种群数量的染色体；（2）适应度计算：使用目标函数式（4-17）作为适应度函数，采用评价函数计算么个染色体的适应度值，并按照升序排列种群中的染色体，并将适应度最大值作为最佳基因；（3）选择操作：采用轮盘赌选择算法进行选择操作，每次选择一个染色体作为新的子群体；（4）交叉操作：采用离散重组的方法，交叉率为，随机选择两个上代染色体和，并随机生成一个实数，如，和通过交叉算子产生两个新的染色体X和Y；如果是X和Y可行的，则用取代上代染色体和；否则保持上代染色体和不变；（5）变异操作：设为变异率，根据变异率执行变异操作，随机选择一个染色体作为上代基因，随机产生一个实数。当时，随机选择染色体的基因和随机选择一个二进制数位，如选定的位为0（或1）则取1（或0）替代。否则新的染色体可行性检验通过，则同其替代上代染色体，否则保持上代染色体不变。图4-3-3不同停站时分对应的总重叠时间4.5结果分