新北师大版八年级数学下第一章三角形的证明：1.3.1 线段垂直平分线

1 3 1线段垂直平分线 制作人靳军强 新北师大版八年级上册数学第一章三角形的证明 学习目标 动手操作并验证垂直平分线定理及其逆定理的正确性 并会运用它们进行相关的证明和计算 自学指导 阅读课本22页到24页 回答问题1什么是垂直平分线 它有什么性质 请给与证明 2线段垂直平分线的逆命题的内容是 是真命题么 请试着证明它们 3欣赏例题观察定理的应用要点4用所学知识解决随堂练习 A B A B A B C 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理 直线MN AB 垂足是C 且AC CB 点P在MN上 已知 PA PB 求证 证明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直的定义 在 PCA和 PCB中 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 当点P与点C重合时 上述证明有什么缺陷 PCA与 PCB将不存在 PA与PB还相等吗 相等 此时 PA CA PB CB已知AC CB PA PB 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的逆命题是什么呢 请试着写出来 它是真命题吗 如果是 请试着证明它 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线垂直垂直平分线上 A B P 已知 线段AB 且PA PB 求证 点P在线段AB的垂直平分线MN上 过点P作PC AB垂足为C 在Rt PCA和Rt PCB中PA PB PC PC PCA PCB HL PC是线段AB的垂直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线MN上 证明 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 逆定理 小结 1 线段的垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等 2 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线可以看作是 例已知 如图 ABC中 边AB BC的垂直平分线相交于点P 求证 PA PB PC PA PB 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等 证明 点A在线段AB的垂直平分线上 已知 同理PB PC PA PB PC 问题 如图 A B C三个村庄合建一所学校 要求校址P点距离三个村庄都相等 请你帮助确定校址 A B C 点P为校址 作图题 如图 在直线l上求一点P 使PA PB l B A P 点P为所求作的点 填空 1 已知 如图 AD是 ABC的高 E为AD上一点 且BE CE 则 ABC为三角形 1题图 等腰 填空 1 已知 如图 AD是 ABC的高 E为AD上一点 且BE CE 则 ABC为三角形 2 已知 等腰 ABC AB AC AD为BC边上的高 E为AD上一点 则BEEC 填 或 号 1题图 2题图 等腰 3 已知 如图 AB AC A 30o AB的垂直平分线MN交AC于D 则 1 2 30o 1 2 75o 30o 60o 45o 填空 4 已知 如图 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AE 3cm ABD的周长为13cm 则 ABC的周长为cm A B D C E 3cm 19 13cm 5 如图 CD EF分别是AB BC的垂直平分线 请你指出图中相等的线段有哪些 AD BD CF BF AC BC CE BE 1 2 3 CF DF 即 BF CF DF 证明题 1 已知 ABC中 C 90 A 30o BD平分 ABC交AC于D 求证 D点在AB的垂直平分线上 证明 30o C 90o A 30o 已知 ABC 60o 三角形内角和定理 A ABD 等量代换 D点在AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 AD BD 等角对等边 证明题 2 已知 如图 线段CD垂直平分AB AB平分 CAD 求证 AD BC 证明 线段CD垂直平分AB 已知 CA CB 线段垂直平分线的性质定理 1 3 等边对等角 又 AB平分 CAD 已知 1 2 角平分线的定义 2 3 等量代换 AD BC 内错角相等 两直线平行 证明题 3 已知 如图 在 ABC中 AB AC A 120o AB的垂直平分线交AB于E 交BC于F 求证 CF 2BF 300 CF 2AF AF BF CF 2BF 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 小结 证明题 4 已知 如图 AD平分 BAC EF垂直平分AD交BC的延长线于F 连结AF 求证 CAF B 1 2 4 等边对等角 又 4 B 3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1 2 B 3 AD平分 BAC 已知 2 3