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长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-01）（1） 集合与函数* 集合与元素的关系：aA，bA。* 集合与集合的关系：子集AB,（真子集AB、相等A=B）。；* 集合与集合的运算：交集AB、并集AB、补集CUA。* n元集的子集有2n个，其中真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个。* 涉及AB的问题，要考虑A=的情况.* card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) * 从m元集A到n元集B的映射有nm个。* 求函数定义域，主要考虑：（1） y=g(x)/f(x)，(f(x)0)；（2）y=，(f(x)0)； （3）y=logaf(x)，(f(x)0).* 求函数最值和值域：配方法、求导法、均值不等式法、利用已知函数的单调 性等，(注意比较闭区间上的极值和端点值)。 * 函数的奇偶性：（1）定义域关于原点对称，(2）f(-x)=f(x) f(x)为偶函数图像关于y轴对称；f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数图像关于原点对称。(3) 对于奇函数f(x)：f(0)=0或f(0)无意义。* 在关于原点的对称区间上：奇函数的增减性相同，偶函数的增减性相反。* 函数的单调性：(1) 单调性一定要落实在“区间”上；(2)在给定的区间内任取x1、x2且x1x2,若都有f(x1)f(x2),则f(x)在该区间内为减函数。* 单调性相同的函数f与g复合，则复合函数f(g(x)为增函数；单调性相反的函数f与g复合，则复合函数f(g(x)为减函数。* 函数的周期性：,定义：存在非零常数T，对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)。（T为周期）。说明：（1）周期函数的定义域无限；（2）周期函数的图像在每一个周期内重复出现（3）T中若有最小正值，叫“最小正周期”，三角函数的周期是指最小正周期* 连续函数f(x)在区间a,b上有f(a).f(b)0,b0,m、nR)* 对数运算法则：loga(MN)=logaM+logaN,loga(M/N)=logaM-logaN, logaMn=nlogaM.* 对数换底公式：logaN=logbN/logba. (a、b0且a、b1,M、N0，nR)* 指数函数：y=ax (xR,y0) xyO1xyO1（1）a1时递增 （2）0a0,yR)（1）a1时递增 （2）0a0), （7）(lnx)/=1/x, （8）(logax)/=1/(xlna).* 导数运算法则：（1）f(x)g(x)/=f/(x)g/(x)（2）f(x) g(x)/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x),（3）/=* 导数的应用：（1）在点(x0,f(x0)处的切线斜率k=f/(x),切线方程为：y-f(x0)=f/(x0)(x-x0)；（2）讨论函数单调性：在某区间上，若f/(x)0,则f(x)递增；若f/(x)0时, f/(x)=3a(x-x1)（x-x2），f/(x)=0有两解（x10时,增、减、增； a0时，f(x)单调递增， a0时，f(x)单调递减。X1y=f(x)xX1y=f(x)x（3）当0)；f(x)无极值点。在R上： a0时，f(x)单调递增， a0ab , （2）a-b=0a=b , （3）a-b0ab,bcac；(传递性)。（2）aba+cb+c；(加法单调性)。（3）ab,c0acbc； （4）ab,c0acb,解法：(1)若a0,则解为x； (2)若a0,则解为x；（3）若a=0,则当b0,再看二次三项式能否分解因式：(1)0时： ax2+bx+c0, 化为a(x-x1)(x-x2)0,解为xx2， (大于0，两头分)。ax2+bx+c0, 化为a(x-x1)(x-x2)0,解为 x1x0, 化为a(x-x1)2 0,解为 xR,且xx1，(x1=-b/2a)。ax2+bx+c0, 化为a(x-x1)20, 无解。 （3）0, 解为xR ； ax2+bx+c0, 无解。* 当0时：（1） Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0的右侧的平面区域；（2） Ax+By+C0时：（！）By+C0表示直线By+C=0的上方的平面区域；（2）By+C0时，上移值大，下移值小；当B0,b0,当且仅当a=b时取“=”）。* 利用a+b2和ab()2 求函数最值，注意“一正二定三相等”。 (5) 三角函数* 弧度与角度的换算： rad=180,1rad=(180/)=(57.3), 1=(/180)rad=0.01745rad.* 弧长公式：L=r. 扇形面积公式：S=Lr/2=2r/2.（为圆心角的弧度数）*三角函数的定义：(1)坐标定义：在终边上任取一点P(x,y), 设=r,则sin=, cos, tan=(x0)。说明：记忆三角函数正值对应象限的口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。(2)几何定义：单位圆中三角函数线。（正弦线、余弦线、正切线）。说明：1、可利用三角函数线判断三角函数符号、值的变化和单调性；2、可利用单位圆中三角函数线解简单三角不等式。3、可利用三角函数线判断sin+cos、sin-cos的符号；yxt = -1t =0t = -1t = t =1t =0t 0t = xyu0t=sin+cos（图1） u=sin-cos（图2） xy *（图3） * 利用（图3），可由所在的象限推知所在的位置：图中数字I、II、III、IV表示所在的象限，图中各扇形表示所在的位置长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-06）* 同角三角函数的基本关系式： （1）sin2+cos2=1, （2）=tan.说明：由一个角的正（余）弦值求余（正）弦值时，涉及开平方，符号由角所在象限确定)。* 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）（1）sin(2k+)=sin, cos(2k+)=cos, tan(2k+)=tan.（2）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan(-)=-tan.（3）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan.（4）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan.（5）sin(-)=con, cos(-)=sin. （6）sin(+)=con, cos(+)=-sin. * 三角函数的性质：（1）正弦函数：y=sinx,定义域： xR；值域： y-1,1； 周期：T=2； 奇函数。递增区间：2k-, 2k+,（kZ）； （图4）减增递减区间：2k+, 2k+,（kZ）。图像对称轴：直线x=k+,（kZ）； 对称中心：点（k，0）,（kZ）。（2）余弦函数：y=cosx , 定义域：xR；值域：y-1,1；周期：T=2；偶函数。.递增区间：2k-,2k+，（kZ）； （图5）减递减区间：2k,2k+，（kZ）。增图像对称轴：直线x=k,（kZ）； 对称中心：点（k+，0）,（kZ）。（3）正切函数：y=tanx, 定义域：x(k-,k+),（kZ）； 值域：yR；周期T=； 奇函数。 增增递增区间:(k-,k+)，（kZ）. （图6） 对称中心：点（，0）（kZ）长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-07）* 三角函数的图像：xyO1-12xyO1-12xyO- (1)y=sinx,x0,2.(2)y=cosx,x0,2.(3)y=tanx,x(-,)* 函数y=Asin(x+),(A0, 0): 振幅A, 周期T=2/, 初相.作图像：（1）“五点法”作图：由=0、求出相应的x值和y=0、A、0、-A、0对应，确定五点。（2）“变换法”作图： y=sinx的图像y=sin(x+)的图像y=sin(x+)的图像y=Asin(x+)的图像。 (6) 三角恒等变换* 和差角公式：sin()=sincoscossin,cos()=coscossinsin, tan()=* 倍角公式： sin2=2sincos，cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 tan2=* 推出升幂降次公式： 1+cos=2cos2， 1-cos=2sin2； cos2=， sin2= .* 要求会推导积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆。* 三角变换常用技巧：“正切化两弦，平方和化1；复角化单角，二次先降幂。”长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-08）* 三角函数式求最值常见类型与处理方法：（a、b、c、d为常数）（1）利用-1sinx1,-1cosx1的：如y=asinx+b,y=acosx+b, y=， y=等形式。（2）配方法：如y=acos2x+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c等形式，可化为sinx的二次式,然后配方。y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bcosx+c等形式，可化为cosx的二次式,然后配方。y=asinxcosx+b(sinx+cosx)+c,可设sinx+cosx=t,则sinxcosx=(t2-1)/2化为t的二次式,配方后利用确定最值。 (3)可化为y=Asin(2x+)+C形式的：如y=asin2x+bsinxcosx,y=acos2x+bsinxcosx等。（4）利用y=asinx+bcosx=sin(x+),(为辅助角，tan=)。* 较复杂三角函数式化简终极目标一般是先化“三个一”（一名一角一次），即化为y=Asin(x+)+k的形式，再确定周期、最值、单调区间等。(7) 解三角形* 面积公式：S =absinC =bcsinA =casinB =aha =bhb =chc.* 正弦定理：a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R* 余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC,推论：(1)cosA=(b2+c2-a2)/2bc, cosB=(c2+a2-b2)/2ca, cosC=(a2+b2-c2)/2ab,(2)a2b2+c2C90, a2=b2+c2Cb2+c2C90,* 解三角形注意:(1)条件中有对边对角，则用正弦定理；无对边对角，则用余弦定理。(2)用正弦定理求得某角正弦值时，应考虑可能有锐角或钝角两解。* 直角三角形： C=90, 勾股定理a2+b2=c2, 面积公式S=, 外接圆半径R=,内切圆半径r=。长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-09） (8) 平面向量* 平行向量不包括，向量平行包括* 平面向量基本定理：在一平面内，若向量、不共线，则对这一平面内任一向量，存在唯一对实数、，使=+。（向量正交分解和坐标表示的理论依据）。* 平面向量的三个运算：设=（x1,y1）,=（x2,y2）1.向量的加减法:BC（1）向量法：三角形法则。平行四边形法则。 （图7）（2）坐标法：=(x1x2,y1y2)。2.向量的数乘法：AO（1）几何意义：向量同向或反向的伸长或缩短。（2）坐标运算：=(x1,y1)。3.向量的数量积： （1）定义和坐标运算：=cos=x1x2+y1y2. （2）几何意义：的长度与在方向上的投影的乘积。* 平面向量的三个重要结论：（1）=,（2）(+)2=+,（3）(+)(-)=-* 平面向量的两个重要关系：（1）平行：/()=（）x1y2-x2y1=0 （2）垂直：=0x1x2+y1y2=0.*平面向量的三个重要公式：（1）两向量夹角公式：cos=cos=。（2）向量的模（长度）公式：=。（3）两点间距离公式： =。长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-10）(9) 空间几何体* 棱柱、棱锥、棱台的表面积是各个面的面积之和。* 圆柱的侧面展开图是矩形，表面积S= 2r2+2rl=2r(r+l)。* 圆锥的侧面展开图是扇形，表面积S=r2+rl=r(r+l)。.* 圆台的侧面展开图是扇环，表面积S=r/2+r2+l(r/+r)= (r/2+r2+lr/+lr)。* 柱体体积V=Sh, 锥体体积V=Sh, 台体体积V=(S/+S)h。* 球的表面积S=4R2； 球的体积V=R3。* 空间两点间距离公式：=。* 长方体对角线L,L2=a2+b2+c2。正方体外接球直径2R=a；内切球直径2r=a。* 正四面体棱长为a，高h=a； 外接球半径R=h； 内切球半径r=h。 (10) 空间直线与平面* 公理1：A、Ba, A、Ba。(判断直线在平面内)。* 公理2：A、B、C不共线过A、B、C有且只有一个平面（确定平面位置）。* 公理3：A,A=l,且Al（确定两平面交线位置）。* 公理4：a/c,b/ca/b。(判断两直线平行)。* 等角定理：OA/O/A/,OB/O/B/AOB与A/O/B/相等或互补。* (1).线面平行判定定理：a, b,且a/ba/.(2).面面平行判定定理：a、b,ab=P,且a、b/. (3).线面垂直判定定理：b、c, bc=P,且ab,aca.(4).面面垂直判定定理：a,a.* (1).线面平行性质定理：a/,a,且=ba/b.(2).面面平行性质定理：/,=a,=ba/b (3).线面垂直性质定理：a,ba/b(4).面面垂直性质定理：于b, a,且aba.* 求异面直线夹角，关键是“平移”；* 求直线与平面所成的角，关键是“作垂线、连射影”；* 求二面角，关键是“作平面角”；长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-11）（11） 直线与方程 * 直线倾斜角0,180)， 直线斜率k=tan,().* 过两点的直线的斜率公式：k=,(x1x2).* 直线方程： (1.)点斜式：y-y0=k(x-x0)，（直线不与y轴平行）(2).斜截式：y=kx+b，（直线不与y轴平行）(3).两点式：=，（直线不与两轴平行）(4).截距式：+=1， （直线不与两轴平行且不过原点）(5).一般式：Ax+By+C=0， （A、B不同时为零）（当B0时，直线斜率k= -A/B,纵截距b=-C/B）* 两直线位置关系：(1).平行k1=k2且b1b2 或A1B2-A2B1=0且A2C1-A1C20(或B1C2-B2C10)；(2).相交 A1B2-A2B10； （解方程组求两直线交点坐标） (3).垂直k1k2= -1或A1A2+B1B2=0* 三个距离公式：(1).两点间距离：；(2).点到直线距离：d=； (3).两平行直线距离d=。* 与两平行直线等距离的直线方程：Ax+By+=0。* 线段中点坐标：（，）* 三角形中：求中线（两点式）；求高线（点斜式）；求中垂线（点斜式）。* 特殊对称点：（1）点P(x,y)关于原点O（0,0）的对称点为P/(-x, -y)；点P(x,y)关于中心点M（a,b）的对称点为P/(2a-x,2b-y)。(2) 点P(x,y)关于X轴的对称点为P/(x, -y)； 关于Y轴的对称点为P/(-x, y)。(3) 点P(x,y)关于直线的对称点为P/；点P(x,y)关于直线的对称点为P/。长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-12）（12） 圆与方程* 圆的方程：（1）标准方程：圆心C（a,b），半径为r：x2+y2=r2；圆心C（a,b），半径为r：（x-a）2+（y-b）2= r2 。（2）一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F0)圆心C（-,-）,半径为r=。*. 求圆的方程，用待定系数法：（1）已知圆心或半径或切线，设标准方程；（2）已知圆上三点或两点坐标，设一般方程。dr* 点P与圆的位置关系：比较点P到圆心C的距离与半径r的大小。d=r* 直线L与圆的位置关系：d）的点的轨迹。（1）.标准方程：焦点在x轴上：+=1； 焦点在y轴上：+=1。（2）.对称轴：X轴、Y轴；长轴长2a，短轴长2b，焦距2c，c2= a2- b2。（3）.离心率：e = c/a (0e1)长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-13）* 双曲线：到两定点F1、F2距离之差的绝对值为常数（2a1) * 等轴双曲线：x2-y2=a2或y2-x2=a2, 渐近线y=x, .离心率：e =。* 抛物线：平面内与一个定点F和定直线L的距离相等的点的轨迹。1.标准方程:（1）开口向右： y2=2px ； 焦点（p/2,0）； 准线x= -p/2。（2）开口向左： y2= -2px ；焦点（-p/2,0）； 准线x= p/2。（3）开口向上： x2=2py ； 焦点（0，p/2）； 准线y= -p/2。（4）开口向下： x2= -2py ；焦点（0，-p/2）； 准线y= p/2。2. 离心率：e=1。* 求圆锥曲线方程的常用解法：（1）待定系数法：由已知条件确定a、b或p，直接写出标准方程；（2）定义法：由已知几何条件，依据三种曲线的定义，确定曲线类型，再求出方程；* 求与双曲线=1共渐近线的双曲线，可设其方程为=k,再由条件求k。* 直线y=kx+m与圆锥曲线相交所截弦长公式：= （14） 极坐标* 坐标系： 1.直线（一维）坐标系：（1）数轴,(x)。2.平面（二维）坐标系：（1）平面直角坐标系,(x,y)；（2）极坐标系,()。3.空间（三维）坐标系：（1）空间直角坐标系,(x,y,z)；（2）柱坐标系,(,z)；（3）球坐标系,(r,)长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-14）* 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P/(x/、，y/)。 （说明）x/=x表示点的横坐标伸长（01)为原来的1/倍；Y/=y表示点的纵坐标伸长（1）或缩短(00时,的方向向上；t0）。* 若m+n=p+k，在等差数列中，则am+an=ap+ak；在等比数列中，则aman=apak。* 若为等差数列，则(c0)是等比数列。若(bn0)为等比数列，则(c0,c1)是等差数列* 证等差数列：（1）an+1-an=d（常数）；（2）2an=an-1+an+1（n2）。* 证等比数列：（1）an+1/an=d（常数）；（2）an2=an-1.an+1（n2）。* 等差数列中，若a10,d0，求Sn的最大值时，由an0确定n。若a10，求Sn的最小值时，由an0确定n。* 数列的通项a n与前n项和Sn的关系：a n=* 特殊数列求和法：（1）分组求和法，（2）裂项相消法，（3）错位相减法。（17）复数* 虚数单位i：i2=-1。 * i的乘方：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i，i4n=1（n）* 复数a+bi(a、bR) * 复数的几何意义：z=a+bi复平面内点Z(a,b) 向量。* 复数代数形式的加减法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i* 复数代数形式的加减法的几何意义：平行四边形法则。* 复数代数形式的乘法：(a+bi).(c+di)=（ac-bd）+（ad+bc）i。* 复数代数形式的除法：(a+bi)(c+di)=+i长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-17）（18）统计* 随机抽样方法：（1）简单随机抽样（抽签法、随机数法），（适应总体中个体数不多）；（2）系统抽样（均匀分组，每组抽样个数相同）（适应总体中个体差异不大）；（3）分层抽样(按差异分层，各层按比例抽样)，（适应总体由差异明显的几部分组成）。* 用样本估计总体，了解样本数据，理解样本数据的规律的方法：（1）图表：样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本频率分布折线图、茎叶图。（说明）：频率分布直方图中小长方形的高是“频率/组距”，各小长方形的面积表示相应各组的频率，各小长方形的面积的总和等于1。连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点就得到频率布 折线图样本数据较少时，用茎叶图表示数据，能直观展示数据分布情况（峰形、对称性、中位数、稳定性）（2）数字特征：众数、中位数、平均数、标准差、方差。（说明）：在样本频率分布直方图中，“众数”是最高长方形底边中点的横坐标；“中位数”的左边和右边的直方图面积相等；“平均数”是频率分布直方图的“重心”，等于图中各小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。“平均数”体现水平高低，“标准差”体现稳定程度。计算公式：I。平均数：=II。标准差：s=；III。方差：s2=。* 变量的相关性：（1）散点图：（要求会作两个有关联变量的数据的散点图，认识变量间的相互关系）。（2）回归直线：散点图中的点整体上大致在一条直线附近，则称这两个变量间具有相关关系，称此直线为“回归直线”，回归直线的方程简称“回归方程”。 长沙县一中 高中数学基础知识要点 （W-18）（3）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和 最小的方法。（4）回归方程：=bx+a， 计算公式：b=， a=.* 统计案例：（1）独立性检验：了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及应用。（2）回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及简单应用。（19）概率* 事件：（1）“确定事件”：必然事件：在条件S下一定发生的事件。不可能事件：在条件S下一定不发生的事件，记号：。（2）“随机事件”：在条件S下可能发生，也可能不发生的事件。* 事件的关系与运算：（1）事件A包含于事件B： （AB）(A发生B一定发生)。（2）事件A等于事件B： （A=B） (AB且BA)。（3）并事件（和事件）： （AB）=（A+B）=A发生或B发生。（4）交事件（积事件）： （AB）=（AB） =A发生且B发生。（5）互斥事件： （A与B互斥）（AB=）。（6）对立事件： （A与B对立）（P(AB)=0且P(AB)=1)。* 概率的基本性质：（1）任何事件的概率在01之间，即0P(A)1。（2）不可能事件概率P()=0；随机事件概率0P(A)1；必然事件的概率P(A)=1（3）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P（AB）=P(A)+P(B)；若事件A与事件B互为对立事件，则P（AB）=1，P(A)=1-P(B)。* 基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）