2017高考数学全国Ⅲ卷(理)(精编).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则中元素的个数为（）ABCD【答案】B，交集，直线与圆相交2设复数满足，则（）ABCD【答案】C，复数计算3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A，数据分析4的展开式中的系数为（）ABCD【答案】C，二项式定理，5已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点则的方程为（）ABCD【答案】B，椭圆性质，双曲线性质，双曲线的一条渐近线方程为，则又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则由解得，则双曲线的方程为6设函数，则下列结论错误的是（）A的一个周期为B的图象关于直线对称C的一个零点为D在单调递减【答案】D，余弦函数图象性质7执行右图的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（）ABCD【答案】D，程序框图循环结构，8已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【答案】B，圆柱内接于球，柱体体积，圆柱体上下底面半径，则圆柱体体积9等差数列的首项为，公差不为若成等比数列，则前项的和为（）ABCD【答案】A，等差通项，等比中项，等差求和10已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）ABCD【答案】A，椭圆性质，直线与圆相切，以为直径为圆与直线相切，即，又，即11已知函数有唯一零点，则（）ABCD【答案】C，方法一：换元法，函数奇偶性，方法二：函数对称性方法一：设，则，由，得，易知为偶函数，若有唯一零点，则，解得；方法二：的对称轴为，若有唯一零点，则，解得12在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（）ABCD【答案】A，向量坐标运算，直线与圆，类线性规划，参数方程换元，三角函数最值，如图构建平面直角坐标系，设，易知点的轨迹方程为：，【过程略】由，得，即，方法一：【向量的线性分解的等系数和线】关于的方程表示斜率为的直线，且与圆有公共点，由图形易知，当与重合时，取得最小值；当与重合时，取得最大值，方法二：将代入得，即，设，二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若满足约束条件，则的最小值为_【答案】，线性规划14设等比数列满足，则_【答案】，等比通项15设函数，则满足的的取值范围是_【答案】，分段函数，图象平移，数形结合，方法一：由题意得：当时，=恒成立；当时，=恒成立；当时，由，解得方法二：画图象如下图，平移后得的图象，易得蓝线位置16为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：当直线与成角时，与成角；当直线与成角时，与成角；直线与所成角的最小值为；直线与所成角的最大值为其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】，异面直线成角，平移转换，“三余弦定理”，同角三角函数关系，三角函数最值，方法一：几何法：根据异面直线成角的定义，将平移至经过点，不会影响计算结果，过点分别作垂直于点，设，则，设与成角分别为，则，根据“三余弦定理”【证明略】有如下结论：【彩色线标角处】，已知易得结论：，即，正确；，当时，求得，正确方法二：几何法：如没看出“三余弦定理”，在三棱锥和三棱锥中依然可得上述结论，证明求解过程略；方法三：空间向量，按“方法一”所设角，如图建立平面直角坐标系，设，则，则，的方向向量为，同理，下同法一得出结论三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）的内角的对边分别为，已知，（）求；（）设为边上一点，且，求的面积【解】（）【两角和差的三角函数】【特殊角三角函数值】由，得，又，得，由余弦定理，将，代入并整理得，故；（），由余弦定理，即为直角三角形，则，得，由勾股定理，又，则，【三角形面积】18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【解】（）【离散型随机变量分布列】【古典概型】易知需求量可取，；，则分布列为：（）【分段函数】【温度、销售量、进货量、利润之间的关系】设每天的进货量为瓶，由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑，（1）当时，若最高气温不低于，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于，则；因此，（2）当时，若最高气温不低于，则；若最高气温低于，则；因此，综上所述，当时，取得最大值；【一次函数单调性】19（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（）证明：平面平面；（）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分求二面角的余弦值【解】（）【二面角的平面角-面面垂直】取中点，连接，由题设可得，从而，又为直角三角形，则，又由于是正三角形，故，为二面角的平面角，在Rt中，又，故，平面平面；（）【空间向量-二面角，体积分割】由题设及（）知，两两垂直，以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点得，故，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，解得，由，解得，设二面角为，易知为锐角，则20（12分）已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆（）证明：坐标原点在圆上；（）设圆过点，求直线与圆的方程【解】（）【直线与抛物线，韦达定理，向量数量积】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于点，不符合题意设，由，得，恒大于，则，即在圆上；（）【直线的方程、圆的方程】若圆过点，则，即，即，化简得，解得或，当时，直线方程为，此时，圆方程为；当时，直线方程为，此时，圆方程为21（12分）已知函数（）若，求的值；（）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【解】（）【导数求极值】的定义域为，且，若满足，则是的极小值点，求得，由，解得，此时，若，则，在此区间内单调递减；若，则，在此区间内单调递增，即当时，；（）【换元思想，应用结论，等比求和，不等式-放缩法】由（）可知，即，当且仅当时等号成立，【考虑原式需要大于的整数，特殊值】当时，综上所述：，的最小值为22选修4-4：【坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（）写出的普通方程；（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径【解】（）【参数方程，参化普，消参】将直线参数方程转化为一般方程为：得：，即的轨迹方程为；（）【极坐标，极化普】将方程化为一般方程：由，解得，由，解