概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差.ppt

1 前面介绍了随机变量的数学期望和方差 对于多维随机变量 反映分量之间相互关系的数字特征中 最重要的 就是本节要讨论的 协方差和相关系数 2 4 4协方差和相关系数 问题对于二维随机变量 X Y 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量 除了每个随机变量各自的概率特性以外 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个什么样的数去反映这种联系 数 反映了随机变量X Y之间的某种关系 3 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵 4 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 为了克服这一缺点 对协方差进行标准化 这就引入了相关系数的概念 5 若Var X 0 Var Y 0 称 为X Y的相关系数 记为 事实上 6 利用函数的期望或方差计算协方差 7 若二维离散型随机变量 X Y 的分布律为 且Cov X Y 存在 则 8 2 若二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为f x y 且Cov X Y 存在 则 9 Cov X Y E XY E X E Y 可见 若X与Y独立 则Cov X Y 0 证明 Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y 即 E XY XE Y YE X E X E Y 10 若X Y相互独立 则上式化为 随机变量和的方差与协方差的关系 11 协方差的性质 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 12 相关系数的性质 Cauchy Schwarz不等式的等号成立 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 13 相关系数的性质 证明 令 14 15 16 17 说明 X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系 18 X Y不相关 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 19 求cov X Y XY 解 20 21 例2 设 U 0 2 X cos Y cos 是给定的常数 求 XY 解 22 23 例3设 X Y 服从二维正态分布 求 1 X和Y的相关系数 2 X和Y不相关 0 24 解 X Y 的概率密度函数为 X Y 关于X和Y的边缘概率密度分别为 25 由于 26 27 28 X Y独立 0 X Y不相关 29 例4 设 X Y N 1 1 4 4 0 5 Z X Y 求 XZ 解 30 例5 设X N 0 4 Y P 2 XY 1 2 求E X Y 2 解 E X Y 2 E X Y 2 Var X Y 注意到 EX EY 2 Var X Var Y 2cov X Y 把条件代入即得E X Y 2 由题设知 EX 0 Var X 4 EY 2 Var Y 2 XY 1 2 而 31 设二维随机变量 X Y k l为非负整数 mk E Xk 称为X的k阶原点矩 k E X E X k称为X的k阶中心矩 mkl E XkYl 称为X和Y的 k l 阶混合原点矩 kl E X E X k Y E Y l 称为X和Y的 k l 阶混合中心矩 显然数学期望为1阶原点矩 方差为2阶中心矩 而协方差为 1 1 阶混合中心矩 32 例6 设X服从