高考数学一轮复习专题9.4空间几何体中平行练习（含解析）.docx

9.4 空间几何中平行问题一线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb二.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面考向一 线面平行【例1】（1）如图1，在四棱锥中，底面是菱形，是线段上的中点，证明： 平面（2）如图2，ABCD是菱形，AF/DE，DE=2AF. 求证：AC/平面BEF.（3）如图3，在直角梯形中， ，截面交于点,求证： ；（4）如图4，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，证明： 平面；（5）如图5，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD平面BCE，平面ABCD，求证：平面ABCD；（6）如图6，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PMMABNND58. 求证：直线MN平面PBC图4图5图6【答案】见解析【解析】（1）连接交于，连接，如图A底面是菱形，是中点，又是的中点，且平面， 平面，平面.（2）证明：设ACBD=O，取BE中点G，连结FG,OG，如图B所以，OG/12DE且OG=12DE.因为AF/DE，DE=2AF，所以AF/OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FG/AO.因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO/平面BEF，即AC/平面BEF.（3）平面又平面平面（4）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，如图C则GE/AC，GF/AB， 因为GEGF=G，ACAB=A，所以平面GEF/平面ABC，所以EF/平面ABC （5）证明：如图，过点作于，连接，如图D平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，.四边形为平行四边形. 平面，平面，平面 (6)MN=MP+PB+BN=PM+PB+BN=513PA+PB+513BD=513BA-BP+PB+513BA+BC=513BP-BP+513BC=513BC-813BPMN与BC，BP共面MN平面PBCMN平面PBC，MN平面PBC【举一反三】1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，证明：MN平面BB1C1C【答案】见解析【解析】证明：连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为A1BC1的一条中位线，MNBC1，又因为MN平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.2如图四边形ABCD是平行四边形CDEF为直角梯形，AD=2DC=DE=2CF.求证：BF/平面ADE；【答案】见解析【解析】取DE的中点H，连接AH,HF.四边形CDEF为直角梯形，DE=2CF,H是DE的中点，HF=DC，且HF/DC.四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，且AB/DC，AB=HF，且AB/HF，四边形ABFH是平行四边形，BF/AH.AH平面ADE,BF平面ADE，BF/平面ADE.3如图所示， ，为棱的中点，求证: 平面【答案】见解析【解析】证明：如图，取中点，连接，因为为中点，所以且， ，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.平面， 平面，平面.4如下图，在几何体中，四边形为正方形， 是线段的中点， ， 是线段上的中点，求证: 【答案】见解析【解析】解法一：取的中点，连接， 是线段的中点， 且，四边形为正方形， 是线段上的中点 且， 且，四边形是平行四边形，。解法二：取的中点，连接， 是线段的中点，四边形为正方形， ，。又是线段上的中点，。，考向二 面面平行【例2】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】见解析【解析】证明：(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，A1G=EB四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA，平面EFA1平面BCHG.【拓展】在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.【举一反三】1如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形， BF/DE，BF=DE点M为棱AE的中点. 求证：平面BMD/平面EFC；【解析】连接AC，交BD于点N，N为AC的中点，MN/EC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN/平面EFC.BF/DE，BF=DE，BDEF为平行四边形，BD/EF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD/平面EFC.又MNBD=N，平面BDM/平面EFC.2如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB/CD/EF，AD=AB=12CD=1，点G是CD的中，求证：平面BCF/平面AGE；【答案】见解析【解析】AB/CD，AB=12CD，G是CD的中点，四边形ABCG为平行四边形，BC/AG，又AG平面AEG，BC平面AEG，BC/平面AEG，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，EF/CD/AB，EF=AB，四边形ABFE为平行四边形，BF/AE，又AE平面AEG，BF平面AEG，BF/平面AEG，BFBC=B，平面BCF/平面AGE考向三 定理性质的判断【例3】已知直线和平面，满足.则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若， ，由线面平行的判定定理可得，若， ， 与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【举一反三】1.下列命题正确的是（ ）A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行【答案】B【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；故应选答案B2.空间中，设表示不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】BD项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故D项不合题意.故选B.3.已知命题若,则/；命题若,则 ，下列是真命题的是( )A B C D 【答案】D【解析】若,则 或，故假，真，, 则 ，正确，故为真，为假，为真，故选D.考向四 动点问题【例4】如图，在等腰梯形中，为的中点，棱上是否存在一点，使得平面？请说明你的结论；【答案】见解析【解析】如图，取为的中点，连接，由均为的中点，则为的中位线，所以，又面，面，所以平面【举一反三】1如图，四边形是平行四边形，点， ， 分别为线段， ， 的中点（）证明平面；（）证明平面平面；（）在线段上找一点，使得平面，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）所找的点为与的交点【解析】（ ）证明：、分别是， 中点，平面， 平面，平面（）证明：、分别是、中点，平面， 平面，平面，又，平面， 平面，平面，点， ， 平面，平面平面（）设， 与分别交于， 两点，易知， 分别是， 中点，平面， 平面，平面，即点为所找的点1. 已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是().A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D2如图所示，四棱锥中，点在线段上，求证：平面【答案】见解析【解析】取线段上靠近的三等分点，连接，.因为，则.而，故.故四边形为平行四边形，故.因为平面，平面，故平面.3如图，四棱锥中，为中点，证明：平面；【答案】见证明【解析】证明：取中点，连接，如图，则由中位线可知，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.4如图1，在梯形中，过，分别作的垂线，垂足分别为，已知，将梯形沿，同侧折起，使得平面平面，平面平面，得到图2，证明：平面【答案】见证明【解析】设，取中点，连接，四边形为正方形，为中点，为中点，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面平面，平面平面，同理，平面，又，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.5如图，已知四棱锥底面是直角梯形，点在棱上，且证明：平面【答案】见证明【解析】（1）证明：取的三等分点，使，连接，.因为，所以，.因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.6如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，在线段上，且.证明：面【答案】详见解析【解析】连接交于点，连接因为，所以，又因为，所以，所以，又面，面，所以面.7如图，在四棱锥中，为正三角形，为线段的中点，求证：平面【答案】详见解析【解析】证明：取的中点，连接，如图所示：分别为中点为等边三角形又又平面平面又平面平面8如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，为上一点，为中，若平面，求证：为的中点【答案】见解析【解析】连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点为的中点9已知多面体中，为的中点，求证：平面【答案】见证明【解析】（取中点，连接，为的中点，且，则四边形为平行四边形，平面，平面，平面；10如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点，求证：平面【答案】见证明【解析】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，所以，又面，面，所以平面11如图，三棱锥P-ABC中，BCA=90，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP，求证：CM平面BEF.【答案】见解析【解析】取AF的中点G，连接CG，GM，因为FA=2FP，所以GF=AF=FP，又因为E为PC中点，所以EFCG，因为CG平面BEF，EF平面BEF，所以CG平面BEF，同理可证：GM平面BEF，又因为CGGM=G，所以平面CMG平面BEF，因为CM平面CGM，所以CM平面BEF.12如图，在四棱柱中，底面为梯形，平面与交于点，求证：.【答案】证明见解析【解析】因为BEAA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE平面AA1D。因为BCAD，AD平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC平面AA1D。又BEBCB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以平面BCE平面AA1D。又平面A1DCE平面BCEEC，平面A1DCE平面AA1DA1D，所以ECA1D。13如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点(1)求证：平面A1C1G/平面BEF；(2)若平面A1C1GBC=H，求证：H为BC的中点【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，E，F分别为B1C1，A1B1的中点，EF/A1C1，A1C1平面A1C1G，EF平面A1C1G，EF/平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，A1F=BG，又A1F/BG，四边形A1GBF为平行四边形，则BF/A1G，A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G，BF/平面A1C1G，又EFBF=F，平面A1C1G/平面BEF；(2)平面ABC/平面A1B1C1，平面A1C1G平面A1B1C1=A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC=H，则A1C1/GH，得GH/AC，G为AB的中点，H为BC的中点14如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN/平面OCD.【答案】证明见解析【解析】方法一：如图，取OB的中点G，连接GN、GM。M为OA的中点，MGAB.ABCD，MGCD.MG平面OCD，CD平面OCD，MG平面OCD。又G、N分别为OB、BC的中点，GNOC。GN平面OCD，OC平面OCD，GN平面OCD。又MGGNG，平面MNG平面OCD。MN平面MNG，MN平面OCD。方法二：如图，取OD的中点P，连接MP、CP。M为OA的中点，MPAD且MP=12AD。N为BC的中点，CNAD且CN=12AD，MPCN且MP=CN，四边形MNCP为平行四边形，MNPC。又MN平面OCD，PC平面OCD，M