高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段成长学案 新人教A版选修4-1.doc

五 与圆有关的比例线段主动成长夯基达标1.点c在o的弦ab上,p为o上一点,且occp,则（）a.oc2cacbb.oc2papbc.pc2papbd.pc2cacb思路解析:根据occp,可知c为中点;再由相交弦定理即有pc2cacb.答案:d2.如图2-5-10,点a是半圆上一个三等分点,点b是弧an的中点,点p是直径mn上一动点,o的半径为1,则ap +bp的最小值为()图2-5-10a.1b.c.d.思路解析:过点b作bbmn,交o于点b,连结ab交mn于点p,此时点p使ap +bp最小.易知b与b点关于mn对称,依题意aon=60,则bon =bon =30,所以aob=90,ab=oa2+ob2=2.故pa +pb的最小值为.答案:d3.如图2-5-11,已知ab是半圆的直径,直线mn切半圆于c,bdmn于d.求证:bc2bdab.图2-5-11思路分析:简单型的比例线段问题,主要是证两个三角形相似.这样,如何证得两个三角形相似,就成为关键问题,可以利用两角对应相等,也可以利用一角相等,夹边对应成比例.证明:连结ac.ab是直径,acb90.又bdmn,bdc90.acbcdb.又mn切o于c,dcba.acbcdb.abcbcbbd.则bc2bdab.4.如图2-5-12,以o上的一点a为圆心作a,分别交o于b、c,过a作弦af交公共弦于e,交a于d.求证:ad2aeaf.图2-5-12思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条,以构成两个能够相似的三角形,注意到同圆半径相等的性质,所以将ad换成ab,通过等线段代换,可以达到目的.证明:分别连结ab、ac、bf.abac,ab =ac.abcf.又baf为公共角,abebfa.ab2aeaf.abad,ad2aeaf.5.如图2-5-13,pa切o于a,割线pbc交o于b、c两点,d为pc的中点,连结ad并延长交o于e,已知be2deea,图2-5-13求证:（1）papd;（2）bp2adde.思路分析:（1）中因为pa与pd在同一个三角形中,所以可以通过说明两角相等解决问题;（2）中则运用切割线定理转换线段.证明:(1)连结ab,证明bedaeb得dbedab.又可证padadp,papd.(2)pa2pbpc且pd cd ,pa pd,pd2pbpb+bd.pbbd.又bdcdadde,可证得结论,且pd cd.6.如图2-5-14,p为圆o外一点,pa、pb是圆o的两条切线,a、b为切点,op与ab相交于点m,且点c是上一点.求证:opc =ocm.图2-5-14思路分析:图形中有两条切线,故运用切割线定理得线段和角的关系,在rtopb中运用射影定理,有ob2=opom,代换其中的ob为oc,可得三角形相似,即得角的相等关系.证明:连结ob,由切线长定理,得pa =pb,pmab,po平分apb.又pbob,在rtopb中,ob2=opom,ob=oc,oc2=opom,即=.ocpomc.opc =ocm.7.如图2-5-15,pa切o于a,pcb、pde为o的割线,并且pde过圆心o,已知bpa30,pa,pc1,求pd的长.图2-5-15思路分析:求pd,可使用割线定理pcpbpdpe,显然pa切o,pa2pcpb.可求得pb,但pe pd +de,de为o直径,所以求o的直径成为解题的关键.解:pa切o于a,pa2pcpb.又pbpc+bc,bc11.连结ao,并延长与o交于k,与cb交于g,则gapa tangpapa tan302.又rtgpa中,gpa30,pg 2ga 4.cg 3,gb 8.由相交弦定理gcgb aggk,可得gk12,直径为14.由割线定理有pcpbpdpe,得pd -7.8.如图2-5-16,pa为o的切线,a为切点,pbc为o的割线,若pa10,pb5,bac的平分线与bc和o分别交于d、e.求adae的值.图2-5-16思路分析:由切割线定理pa2pbpc,由已知条件可得bc长.又通过aceadb,得adaecaba,从而求ca、ba的长即可.解:连结ce,pa2pbpc,pa10,pb5,pc20.bc15.又pa切o于a,pabacp,p为公共角.pabpca.= =.bc为o的直径,cab 90.ac2+ab2=bc2225.可解得, .但ae平分bac,caeeab,abce.aceadb.=.adaeabac.9.如图2-5-17,c为o直径ab的延长线上一点,过c作o的切线cd,d为切点,连结ad、od和bd,根据图中所给的已知条件（不再标注或使用其他字母,也不再添加任何辅助线）,写出两个你认为正确的结论.图2-5-17思路分析:可通过勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理、切线的性质定理以及弦切角定理、切割线定理来写结论.解:如:od,cdod,cdbbad,cd2cbca或od2cd2co2等.走近高考10.如图2-5-18,已知o1和o2相交于点a、b,过点a作o1的切线交o2于点c,过点b作两圆的割线,分别交o1、o2于点d、e,de与ac相交于点p.图2-5-18（1）求证:adec;（2）若ad是o2的切线,且pa6,pc2,bd9,求ad的长.思路分析:（1）连结ab,利用o1的弦切角bac过渡来证明de.（2）设bpx,pey,利用相交弦定理和adec可以列出关于x、y的方程组,求出x、y,再用切割线定理求ad.（1）证明:连结ab.ac为o1的切线,bacd.又bace,de.adec.（2）解:设pb x,pe y,ap6,pc2,xy12.adec,=,即=.9x 3y.由解得.de 9xy 16.ad为o2的切线,ad2dbde 916.ad 12.11.如图2-5-19,已知pa为o的切线,po交o于点b,bcpa于点c,交o于点d,图2-5-19(1)求证:ab2=pbbd.(2)若pa =15,pb =5,求bd的长.思路分析:(1)只需证pbaabd.(2)在(1)的基础上,只需求ab,因此寻找ab与be的关系式,这可以通过相似三角形和勾股定理达到目的.(1)证明:连结ad,延长po交o于e,连结ae.bcpa,p +pbc =90.be为直径,bae =90,bad +dae =90.dae =dbe =pbc,p =bad.又pab =adb,pbaabd.=,即ab2 =pbbd.(2)解:pa为切线,pa2=pbpe.又pa =15,pb =5,pe =45.be =40.pbapae,= = =.设ab =x,则ae =3x.又ab2+ae2=be2,x2+(3x)2=1 600,解得x2=160.代入ab2=pbbd,得bd=32.12.在直径为ab的半圆形区域内,划出一个三角形区域,使三角形的一边为ab,顶点c在半圆上,其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于abc的矩形水池defn,其中,de在ab上,右图的设计方案是使ac =8米,bc =6米.图2-5-20（1）求abc的边ab上的高h.（2）设dn =x,当x取何值时,水池defn的面积最大？（3）实际施工时,发现在ab上距b点1.85米的m处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.思路分析:（1）利用三角形的面积,即斜边斜边上的高=两直角边的积;（2）求最值问题时,利用三角形相