高考数学总复习测评课件45.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 基础梳理 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面 内的一条直线都垂直 就说直线a与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条垂直 那么这条直线垂直于这个平面 3 直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线 任意 相交直线 平行 2 点面 线面距离及线面角 1 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线 的距离 叫做这个点到这个平面的距离 2 直线和平面的距离一条直线和一个平面 这条直线上到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 3 直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的所成的 叫做这条直线与这个平面所成的角 一条直线于平面 则称它们所成的角是直角 一条直线与平面或 则称它们所成的角是0 的角 这个点和垂足间 平行 任意一点 射影 锐角 垂直 平行 在平面内 3 二面角及其平面角 4 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是 那么就说这两个平面互相垂直 1 二面角的定义一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的 每个半平面叫做二面角的 2 二面角平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的射线 这两条射线所成的角叫做二面角的 二面角 棱 面 平面角 直二面角 2 平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面互相垂直 典例分析 题型一线线垂直 例1 如图 cd ea 垂足为a eb 垂足为b 求证 cd ab 分析要证cd ab 只需证cd 平面abe即可 3 平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面 一条垂线 交线 证明 cd cd cd 又 ea cd ea cd 同理eb cd ea cd eb cd ea eb e cd 平面eab ab 平面eab ab cd 学后反思证明空间中两直线互相垂直 通常先观察两直线是否共面 若两直线共面 则一般用平面几何知识即可证出 如勾股定理 等腰三角形的性质等 若两直线异面 则转化为线面垂直进行证明 举一反三1 如图所示 四边形abcd为正方形 sa垂直于abcd所在的平面 过a且垂直于sc的平面分别交sb sc sd于e f g 求证 ae sb ag sd 证明 sa 平面abcd bc 平面abcd sa bc 又 bc ab sa ab a bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae sc 平面aefg ae 平面aefg sc ae bc sc c ae 平面sbc 又 sb 平面sbc ae sb 同理可证 ag sd 题型二线面垂直 例2 如图 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc 平面aef 分析要证明线面垂直 只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可 证明 1 pa 平面abc pa bcab bcbc 平面pab pa ab a 2 ae 平面pab 由 1 知ae bcae pbae 平面pbc pb bc b 3 pc 平面pbc 由 2 知pc aepc af pc 平面aef ae af a 学后反思本题的证明过程是很有代表性的 即证明线面垂直 可先证线线垂直 而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直 在线线垂直和线面垂直的相互转化中 平面在其中起着至关重要的作用 由于线线垂直是相互的 应充分考虑线和线各自所在平面的特征 以顺利实现证明需要的转化 举一反三2 已知p为rt abc所在平面外的一点 且pa pb pc d为斜边ab的中点 求证 pd 平面abc 证明 如图 连接cd pa pb d为斜边ab的中点 pd ab d为斜边ab的中点 cd ab ad 又 pa pc pd dc 又ab cd d pd 平面abc 题型三面面垂直 例3 如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面mbd 平面eca 3 平面dea 平面eca 分析 1 要证明de da 只需证明取ec中点f构造的rt def rt adb 2 注意到m为ea中点 可取ca中点n 先证明n点在平面bdm内 再证明bn与平面eca垂直即可 3 仍需证明平面dea经过平面eca的一条垂线 证明 1 方法一 如图 取ec的中点f 连接df ec 平面abc ec bc ce 2bd bd cf 又 bd ce bdcf 四边形bdfc是平行四边形 bcdf df ec 在rt def和rt adb中 ef ec bd fd bc ab rt def rt adb de da 方法二 如图 取ac中点n 连接bn mn abc是正三角形 bn ac于点n 又 ec 平面abc ec 平面cae 平面ace 平面abc 交线为ac bn 平面ace 又 m n分别是ae ac中点 在 ace中 mnce 又bd ce且2bd ce bdcemn 四边形bdmn是平行四边形 mdbn dm 平面ace 又ae 平面ace dm ae于点m 又 m是ae中点 da de 2 取ca的中点n 连接mn bn 则mnec 又 bd ec且ec 2bd mndb n点在平面bdm内 学后反思在求证面面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 要熟练掌握 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的转化条件和转化运用 这种转化方法是本节内容的显著特征 掌握转化思想方法是解决这类问题的关键 ec 平面abc bn 平面abc ec bn abc为正三角形 bn ac 又ac ec c ec 平面ace ac 平面ace bn 平面ace bn 平面mbn 平面mbn 平面eca 即平面mbd 平面eca 3 dm bn bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 举一反三3 如图所示 在三棱锥s abc中 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求证 ab bc 证明 如图 作ah sb于h 连接eh ae 平面sab 平面sbc ah 平面sbc ah bc 又sa 平面abc sa bc 又sa ah a sa ah 平面sab bc 平面sab bc ab 题型四二面角的求法 例4 14分 如图 在长方体abcda1b1c1d1中 ad aa1 1 ab 2 点e在棱ab上移动 1 求证 d1e a1d 2 ae等于何值时 二面角d1 ec d的大小为 3 当e为ab的中点时 求点e到面acd1的距离 分析 1 线面垂直的性质 2 二面角的逆用 3 根据三棱锥等体积法 解 1 证明 ae 平面aa1d1d ae a1d 2 又 aa1d1d为正方形 a1d ad1 a1d 面ad1e a1d d1e 4 2 过d作dh ce于h 连接d1h de 则d1h ce 5 dhd1为二面角d1ecd的平面角 7 设ae x 则be 2 x 在rt d1dh中 dhd1 dh 1 在rt dae中 de 在rt dhe中 eh x 在rt dhc中 ch 在rt cbe中 ce 9 当ae 时 二面角d1 ec d的大小为 10 3 设点e到面acd1的距离为h 在 acd1中 ac cd1 ad1 故s acd1 而s ace ae bc vd1ace s ace dd1 s acd1 h 13 1 h h 14 学后反思确定二面角的平面角的方法 1 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 2 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 3 垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 此种方法通用于求二面角的所有题目 具体步骤为 一找 二证 三求 4 如图 已知平行六面体abcd a1b1c1d1的底面为正方形 o1 o分别为上 下底面的中心 且a1在底面abcd上的射影是o 1 求证 面o1dc 面abcd 2 若点e f分别在棱aa1 bc上 且ae 2ea1 问 点f在何处时 ef ad 3 若 a1ab 60 求二面角c aa1 b的余弦值的大小 举一反三 解析 1 证明 连接ac bd a1c1 则o为ac bd的交点 o1为a1c1 b1d1的交点 由平行六面体的性质可知 a1o1 oc 所以四边形a1oco1为平行四边形 a1o o1c 又a1o 平面abcd 所以o1c 平面abcd 又o1c 平面o1dc 所以平面o1dc 平面abcd 2 当f为bc的三等分点 靠近b 时 有ef ad 3 连接a1c a1b 作bg a1a与a1a交于点g 连接og 可证og aa1 则 ogb为二面角c aa1 b的平面角 设ab 1 则ob bg ab sin60 ag 又oa 所以og 在 ogb中 利用余弦定理得 易错警示 例 设平面 与平面 的交线为l 直线ab在平面 内 且ab l 垂足为b 直线cd垂直于平面 且cd 平面 求证 ab 平面 错解如图1所示 cd 平面 且cd 平面 而ab l ab cd ab 平面 错解分析错解仅将已知条件复述一遍 就直接从cd 平面 得出cd ab 这是没有根据的 犯了论据不足的错误 正解如图2所示 过cd及平面 内任一异于ab的点p作平面 设平面 与平面 的交线为ef cd 平面 ef cd cd 平面 ef 平面 ef l ef ab均在平面 内 且ef ab均与l垂直 ab ef 又ef 平面 ab 平面 解析 如图 连接cd mc 平面abc md 13 11 2009 江苏 如图 在直三棱柱中 e f分别是 的中点 点d在上 求证 1 ef 平面abc 2 平面 平面 证明 1 e f分别是 的中点 ef bc ef 平面abc bc 平面abc ef 平面abc 2 三棱柱为直三棱柱 平面 又 平面又 平面 平面 平面 12 2010 淮安质检 如图 在三棱柱bce adf中 四边形abcd是正方形 df 平面abcd m n分别是ab ac的中点 g是df上的一点 1 求证 gn