经济数学基础微积分第一篇第一章--函数.ppt

经济数学基础微积分 本章重点1 函数概念2 函数的定义域3 函数值的计算4 函数奇偶性的判别 本章难点复合函数的分解 第一篇第一章 函数 一 函数概念 函数是微积分学的关键概念 没有函数 就没有微积分学 1 在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量 例如 复利问题 圆的面积 一般用x y z s t等表示变量 2 在某过程中始终同一数值的量称为常量 3 变量的取值范围称为该变量的变域 注 变域可用区间 不等式表示 例如 圆周率 中山到广州的直线距离S 一般用大写字母X D L等表示变域 一般用a b c k等表示常量 4 函数的定义 P 5 记作 y f x 并称y是x的函数 其中x是自变量 y是因变量 f是对应规则 函数y f x 是两个变量之间的关系 其中x是自变量 y是因变量 f是对应规则 定义域 值域 对应法则 函数的定义域 是使函数有意义的自变量x取值的全体 也就是自变量x允许取值的范围 二 求定义域 确定函数定义域的三条基本要求 1 分式的分母不能为零 即若 则要求 2 偶次方根下的表达式非负 即若 则要求 3 对数函数中的真数表达式大于零 即若 则要求 例2 1 解 于是所求的函数的定义域为 例2 2 求函数 的定义域 解 要使得表达式有意义 必须 解这组不等式 得 所以 所求函数的定义域为 写成区间的形式 得到定义域 x 3 2 2 练习1 解 公共部分 练习2 解 x 3 2 3 得到定义域 接下来将 写成区间的形式 三 计算函数的值 就是将自变量的值代入函数的表达式中 计算出因变量 函数 的值来 解 练习3 设 则 解 所以选择C 更复杂一点 可以根据函数在某个表达式上的值 反过来求该函数的计算公式 例3 2 已知 解 代入已知表达式得到 再将变量u替换成x 就得到所求函数计算公式 注 这也叫做 换元法 省管形考册 第一次作业一 1 2 3 4 9 12 13 14二 3 4 5 6 7 8 15 21 判断两个函数相同的方法 定义域和对应法则都相等 四 判断两函数相同 例4 1 判断下列函数是否相同 解 例4 2 判断下列函数是否相同 解 所以它们是不同的函数 表达式不同 定义域不同 定义域和表达式都相同 所以它们是相同的函数 五 函数的几何性质 单调性 奇偶性 有界性 周期性 重点 是奇偶性 这里主要讨论函数奇偶性的判别 单调性放在第三章再讲 函数的奇偶性 奇偶性 定义1 3 P 9 1 奇函数 2 偶函数 要注意 所有函数可以分为奇函数 偶函数和非奇非偶函数 通过图像可以看出 奇函数的图像是关于原点对称的 偶函数的图像是关于y轴对称的 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 奇 偶 非奇非偶函数 f x f x 为偶函数 f x f x 为奇函数 通过定义 我们可以证明得到下面的结论 提示 有点类似正数 偶 和负数 奇 的关系 例5 1 判断下列函数的奇偶性 解 1 对任意x 用 x代替y f x 中的x 得 由定义3 3 知f x 是偶函数 2 对任意x 用 x代替y f x 中的x 得 由定义3 3 知是偶函数 练习4 判断下列函数的奇偶性 解 对任意x 用 x代替y f x 中的x 得 由定义3 3 知是奇函数 六 四类基本初等函数 一 常数函数 要求熟记这五类函数的表达式 定义域 二 幂函数 例如 归纳幂函数的性质 要学会将这些函数转化为幂函数的形式 三 指数函数 指数函数的运算性质可依据幂函数的运算性质 1 5 四 对数函数 其中a为底数 x为真数 就称为以3为底的对数函数 归纳对数函数的性质 其中M N 0 注意 对数一定要 同底数 才能相加减 a 0 七 函数的运算 1 四则运算 加 减 乘 除 与我们通常所知数的运算一样 2 复合运算 这对我们来说 是一种新的运算 直观地说就是两个函数 一个函数里面再套一个函数 就是复合 例7 1 解 其中u称为中间变量 由此可见 简单函数经过复合运算 会变成复杂函数 更重要的是 我们可以研究 复杂函数是由哪些简单函数通过复合运算得来的 即复合函数的分解 例如 函数 可以看作是 三个函数复合而成 例7 2将初等函数 分解为基本初等函数的复合运算或四则运算 解 有些函数在它的定义域的不同部分 其表达式不同 亦即用多个解析式表示函数 这类函数称为分段函数 例8 1 绝对值函数 八 分段函数 注意 1 分段函数的定义域是其各段定义域的并集 例8 1 求函数 的定义域 解 定义域D 分段函数在其整个定义域上是一个函数 而不是几个函数 2 求分段函数的函数值 先要确定x取值所对应的表达式 然后再代入求值 例8 2 给定函数 解 关键是要注意自变量所在的范围 不同的范围用不同的公式计算函数值 练习 给定函数 解 九 经济函数 经济函数主要包括 1 需求函数q p p为价格 2 成本函数C q 3 收入函数R q 4 利润函数L q 生产和经营活动中 人们所关心的问题是产品的成本 销售收入 又称为收益 和利润 它包括固定成本和可变成本 一 需求函数q p p为价格 二 成本函数 平均成本 三 收入函数 例9 1 某商品的需求函数为q 100 3p 求收入函数R q 解 四 利润函数 例9 2 解 生产某种产品的固定成本为1万元 每生产一个该产品所需费用为20元 若该产品出售的单价为30元 试求 1 生产x件该种产品的总成本和平均成本 2 售出x件该种产品的总收入 3 若生产的产品都能够售出 则生产x