高考数学 强化双基复习课件17.ppt

35 等差数列与等比数列的综合问题 课前热身 1 观察数列 30 37 32 35 34 33 36 38的特点 在括号内适当的一个数是 2 若关于x的方程x2 x a 0和x2 x b 0 a b r且a b 的四个根组成首项为1 4的等差数列 则a b的值为 a 3 8b 11 24c 13 24d 31 723 等比数列 an 的各项都是正数 且a2 a3 2 a1成等差数列 则 a5 a6 a4 a5 的值是 a b c d 或 31 d a 4 等比数列 an 中 a4 a6 3 则a5 a3 2a5 a7 5 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则2a10 a12的值为 a 20b 22c 24d 28 c 9 课前热身 考点一 等差数列 的概念 通项公式和前n项和公式 1 等差数列的定义如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 这个数列叫做等差数列 2 通项公式等差an a1 n 1 d 3 前项和公式sn a1 a2 a3 an 典型例题1 设数列 an 的前项和为sn n2 2n 4 n n 1 写出a1 a2 a3 2 证明 数列 an 除去首项后所成的数列a2 a3 a4 是等差数列 评 由于a2 a1 5 7 2 an 1 an 2故不对任意成立 数列 an 不是等差数列 同类变式 设数列 un 是公差不为0的等差数列 u11 u51 u20 22 设数列 un 的前项和为sn un 的前项和为tn 1 求u31的值 2 求tn的表达式 考点二 等差数列的性质 1 等差中项如果在a b中间插入一个数a 使a a b成等差数列 则a叫a b的等差中项 a a b 2 am an ap aq 等差数列 3 等差数列中sn s2n sn s3n s2n skn s k 1 n成等差数列 4 若 kn 成等差数列 则 akn 成等差数列 同类变式 一个等差数列的前12项和为354 前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27 求公差d d 5 由s偶 s奇 6d 考点三 求sn的最大 小 值 1 在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn有最小值 2 求sn的最值的几种方法 由转化为二次函数求最值 利用则sn为最大 典型例题3 在等差数列 an 中 1 若a1 0 s4 s9 求sn取最大值时 n的值 2 a1 15 s4 s12 求sn的最大值 同类变式 若数列 an 是等差数列 数列 bn 满足bn an an 1 an 2 n n bn 的前项和为 若 an 中满足3a5 8a12 0 试问n多大时 sn取得最大值 证明你的结论 解析 3a5 8a12 0 3a5 8 a5 7d 解得a5 0 d 0 an 是首项为正数的递减数列 由解得 n 16 即a16 0 a17a2 a3 a16 0 a17 a18 而b15 a15a16a170 s14 s13 s1 s14 s15 s15 s16 又a15 0 a18 0 a150 s16 s14 故sn中s16最大 评 解此题的关键是确定数列的单调性 利用不等式组 探讨中的正负关系 若数列 an 是等差数列 数列 bn 满足bn an an 1 an 2 n n bn 的前项和为sn 若 an 中满足3a5 8a12 0 试问n多大时 sn取得最大值 证明你的结论 b1 b2 b3 b14 0 b17 b18 考点四 等比数列 的概念 通项公式和前n项和公式 1 等比数列的定义如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 这个数列叫做等比数列 2 通项公式an a1qn 1 3 前项和公式sn a1 a2 a3 an 典型例题4 数列 an 与 bn 的通项公式分别为an 2n bn 3n 2 它们的公共项由小到大排成的数列是 cn 1 写出 cn 前5项 2 证明 cn 是等比数列 同类变式 1 已知数列 cn 其中cn 2n 3n 且数列 cn 1 tcn 为等比数列 求常数t 2 设 an bn 是公比不相等的两个等比数列 cn an bn 证明数列 cn 不是等比数列 评 依定义或通项公式 判定一个数列为等差或等比数列 是数列中的基本问题之一 提示 1 2 t 3 t 2n3n 0p 2或p 3 2 为证 cn 不是等比数列只需证c22 c1 c3 考点五 等比数列的性质 1 等比中项如果在a b中间插入一个数g 使a g b成等差数列 则g叫a b的等差中项 g2 ab aman apaq 等比数列 4 等差比列中sn s2n sn s3n s2n skn s k 1 n成等比数列 5 若 kn 成等差数列 则 成等比数列 3 a1an a2an 1 akan k 1 若an 0 a1a2 an 6 重要性质 am an ap aq 等差数列 am an ap aq 等比数列 m n p q n 特别地m n 2pam an 2ap 等差数列 am an a2p 等比数列 知识要点 典型例题5 在等比数列 an 中 sn表示前n项和 1 a1 an 66 a2an 1 128 sn 126 求n和公比q 2 sn 2 s2n 12 求s3n 同类变式 在1 n和n 1之间插入n个正数 使这n 2个数依次成等比数列 求所插入的n个数之积 解 设这n个数为x1 x2 x3 xn 且公比为q 则有 典型例题6 设等比数列 an 的各项均为正数 项数是偶数 它的所有项的和等于偶数项和的4倍 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍 问数列 lgan 的前多少项和最大 lg2 0 3 lg3 0 4 解法一 设公比为q 项数为2m m n 依题意有 化简得 设数列 lgan 前n项和为sn 则sn lga1 lga1q2 lga1qn 1 lga1n q1 2 n 1 nlga1 n n 1 lgq n 2lg2 lg3 n n 1 lg3 n2 2lg2 lg3 n 可见 当n sn最大 5 5 故 lgan 的前5项和最大 设等比数列 an 的各项均为正数 项数是偶数 它的所有项的和等于偶数项和的4倍 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍 问数列 lgan 的前多少项和最大 lg2 0 3 lg3 0 4 解法二 接前 于是lgan lg 108 n 1 lg108 n 1 lg 数列 lgan 是以lg108为首项 以lg为公差的等差数列 令lgan 0 得2lg2 n 4 lg3 0 n 5 5 由于n n 可见数列 lgan 的前5项和最大 1 等比数列 an 的首项a1 1 前n项和为sn 若 则sn等于 c 2d 2 b 2 已知a b a b成等差数列 a b ab成等比数列 且0 logm ab 1 则m的取值范围是 3 等差数列 an 共有2n 1项 其中奇数项之和为319 偶数项之和为290 则其中间项为 4 已知a b c成等比数列 如果a x b和b y c都成等差数列 则 8 第11项a11 29 2 5 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s12中哪一个值最大 并说明理由 2 解法一 由d 0可知a1 a2 a3 a12 a13 因此 在s1 s2 s12中sk为最大值的条件为 5 1 解 依题意有 ak 0且ak 1 0 a3 12 d 0 2 k 3 d 3 4 得5 5 k 7 解之得公差d的取值范围为 d 3 因为k是正整数 所以k 6 即在s1 s2 s12中 s6最大 解法二 由d 0得a1 a2 a12 a13 因此 若在1 k 12中有自然数k 使得ak 0 且ak 1 0 则sk是s1 s2 s12中的最大值 由等差数列性质得 当m n p q n 且m n p q时 am an ap aq 所以有 2a7 a1 a13 s13 0 a7 0 a7 a6 a1 a12 s12 0 a6 a7 0 故在s1 s2 s12中s6最大 解法三 依题意得 最小时 sn最大 d 3 6 5 6 5 从而 在正整数中 当n 6时 n 5 2最小 所以s6最大 点评 该题的第 1 问通过建立不等式组求解属基本要求 难度不高 入手容易 第 2 问难度较高 为求 sn 中的最大值sk 1 k 12 思路之一是知道sk为最大值的充要条件是ak 0且ak 1 0 思路之三是可视sn为n的二次函数 借助配方法可求解 它考查了等价转化的数学思想 逻辑思维能力和计算能力 较好地体现了高考试题注重能力考查的特点 而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律 找出 分水岭 从而得解 6 已知数列 an 为等差数列 公差d 0 由 an 中的部分项组成的数列a a a 为等比数列 其中b1 1 b2 5 b3 17 1 求数列 bn 的通项公式 2 记tn cb1 cb2 cb3 cbn 求 解 1 由题意知a52 a1 a17 即 a1 4d 2 a1 a1 16d a1d 2d2 d 0 a1 2d 数列 的公比q 3 a1 3n 1 又 a1 bn 1 d 由 得a1 3n 1 a1 a1 2d 0 bn 2 3n 1 1 2 tn cb1 cb2 cbn c 2 30 1 c 2 31 1 c 2 3n 1 1 c c 32 c 3n c c c 1 3 n 1 2n 1 4n 2n 7 2006北大附中中学内部试卷 设 ak 为等差数列 公差为d ak 0 k 1 2 2n 1 1 证明a a2n 1 a2n 1 2 记bk 试